专题02 第三章 圆锥曲线的方程 典型例题讲解（二）（原卷版）

专题02第三章圆锥曲线的方程典型例题讲解（二）目录TOC\o"1-2"\h\u一、基本概念回归 1二、重点例题（高频考点） 3高频考点一：弦长问题 3高频考点二：焦点弦问题 5高频考点三：中点弦问题 6高频考点四：面积问题 7高频考点五：圆锥曲线中的定点、定值问题 11高频考点六：圆锥曲线中的定直线问题 13高频考点七：圆锥曲线中的向量问题 15一、基本概念回归知识回顾1：弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；知识回顾2：中点弦点差法：设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：知识回顾3：面积问题3.1三角形面积问题直线方程：3.2焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数二、重点例题（高频考点）高频考点一：弦长问题1．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（）A．一条 B．两条C．三条 D．四条2．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，且是线段的中点，则（

）A． B． C． D．3．（多选）（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（

）A．1 B． C． D．34．（2023·全国·高二课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为．5．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则．6．（2023·全国·高二课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长．7．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长8．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，若与垂直，求的值以及弦长．10．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．11．（2023春·陕西西安·高二校考开学考试）已知抛物线的准线方程是.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.12．（2023·全国·高一专题练习）已知圆，动点在轴的右侧，到轴的距离比它到的圆心的距离小1．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过圆心作直线与轨迹和圆交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若，求及直线的方程．13．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线的焦点为.(1)求；(2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若求直线方程.高频考点二：焦点弦问题1．（2023·全国·高二专题练习）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（

）A．32 B． C． D．82．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则.3．（2023秋·高二课时练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求及的面积.4．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求.5．（2023秋·高二课时练习）过抛物线的焦点，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点，求线段的长．高频考点三：中点弦问题1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（）A． B．C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（

）A． B．C． D．4．（2023秋·高二课前预习）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·高二课时练习）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．36．（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是.7．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程．8．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.9．（2023·全国·高二课堂例题）求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.10．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.高频考点四：面积问题1．（2023秋·陕西宝鸡·高二校联考期末）设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.2．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为.(1)求抛物线方程；(2)设抛物线与轴交于点，求的面积.3．（2023秋·安徽滁州·高二校考期末）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：(1)椭圆的标准方程(2)的面积．4．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.(1)求椭圆的方程；(2)延长，并与椭圆分别相交于两点，求的面积.5．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点，在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的动直线与相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求的面积的最大值.6．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．

7．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）如图，已知椭圆C：（）的离心率为，右焦点F到上顶点的距离为．

(1)求椭圆C的方程；(2)设过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E，记的面积分别是，求的取值范围.8．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)记，分别为，的面积，若，求m的值.高频考点五：圆锥曲线中的定点、定值问题1．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.2．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.

(1)求抛物线的方程；(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.3．（2023春·云南保山·高二校联考阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，焦距为2.

(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点两点都在轴上方，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.4．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过上两点，作斜率均为的两条直线，与的另两个交点分别为，.若直线，的斜率分别为，，证明：为定值.5．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.6．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①为定值；②为定值；③为定值高频考点六：圆锥曲线中的定直线问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.（1）求抛物线C的方程.（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.2．（2023秋·北京·高三东直门中学校考开学考试）已知椭圆的离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足轴，轴，求证：点N在直线上．3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，在线段上取点满足，求证：点在某条定直线上．

4．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求C的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．(1)求椭圆的方程；(2)经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：点定在直线上；(3)椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、、为切点），使得直线过点？若存在，求出切线、的方程；若不存在，试说明理由．高频考点七：圆锥曲线中的向量问题1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．2．（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线椭圆交于、两点，且，求的值.

3．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.4．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．(1)求