抛物线（课件）高二数学（2020选择性）

2.4抛物线第2章

圆锥曲线教师xxx沪教版（2020）选择性必修第一册抛物线的标准方程抛物线的性质

0102CONTANTS目录抛物线的标准方程01情景导入我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线．(2)双曲线的离心率的范围是e＞1;(3)当e=1时，它的轨迹是什么？(1)椭圆的离心率范围为0<e<1;抛物线抛物线及其标准方程作图1：

作定点F，定直线l(l不经过定点F)，B为定直线上一个动点，过B作l2⊥l，线段BF的垂直平分线交l2于D点.拖动B点，点D随之运动。思考：D点满足什么条件？它的轨迹是什么形状？思考：D点满足什么条件？它的轨迹是什么形状？在运动过程中，始终有|BD|=|DF|，即点D与定点F的距离等于它到定直线的距离，点D的轨迹形状与二次函数的图象相似。如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．作图2：问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.问题3：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．平面内到一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.抛物线定义定点F叫做抛物线的焦点.定直线l叫做抛物线的准线.··FPlC集合表示：P＝{M||MF|＝d}，d为点M到准线l的距离对抛物线定义的认识(1)定义的实质可归结为“一动三定”；一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线.求轨迹方程★如何建立直角坐标系？想一想？使方程形式足够简洁！··FPlC

从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解,以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等,即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上,我们把方程①叫做抛物线的标准方程,它表示焦点在x轴正半轴上,焦点是，准线是的抛物线.

在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程,抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表.图像

标准方程焦点坐标准线方程1．标准方程特征：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一变量的一次项；2．标准方程中p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于零；3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.方法总结题型探究实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题抛物线的性质02

你认为应该研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？利用数形结合思想方法，从图形、方程两个角度．椭圆双曲线类比抛物线1.范围（代数法、几何法两种方法研究）

以

为例研究抛物线的几何性质

抛物线

y2=2px(p＞0)在

y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)，横坐标满足不等式

x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．范围抛物线上的点

，

，

．

几何法代数法2.对称性——关于

轴对称P1(x,-y)

轴所以抛物线关于

轴对称.

观察图象，可以发现，抛物线

关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.

抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)．

3.顶点

抛物线的标准方程为

，抛物线关于

轴对称，当

时，

．抛物线的顶点就是原点．4.离心率

抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离

的比

，叫做抛物线的离心率.用

e

表示，由抛物线的定义可知e=1．(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;【总结归纳】直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.探究点一抛物线几何性质的应用【例1】

已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围.(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.思路分析(1)利用抛物线的对应性质求解;(2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解.解

(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞).题型探究(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.因为焦点F是△OAB的重心,规律方法

抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.变式训练1已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.探究点二直线与抛物线的位置关系【例2】

已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.规律方法

1.解决中点弦问题的基本方法是点差法,因为用点差法求轨迹方程时用到了斜率,所以必须验证斜率不存在的情况.2.直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.3.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点.变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(

)答案

C解析

由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2).当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0,即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.故直线l斜率的取值范围是[-1,1].探究点三抛物线的焦点弦问题【例3】

设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解

(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.规律方法

AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论:答案

C探究点四与抛物线有关的定点、定值问题【例4】

已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.(1)解

∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.∴曲线C的方程为y2=4x.(2)证明

设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.规律方法