组合数（2）课件高二下学期数学人教Ａ版(2019)选择性

6.2.4组合数（2）第六章计数原理2024/4/15高二数学备课组6.2.3组合引

入2.组合数公式：规定性质1性质23.组合数的性质：1.组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.探究新知例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种?解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为探究新知例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种?(2)从2件次品中抽出1件的抽法有

种，从98件合格品中抽出2件的抽法有

种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为探究新知1.“至少”“至多”的问题例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种?说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解.【思路点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析．注意“至少”、“至多”问题，运用间接法解会简化思维过程．探究新知1.“至少”“至多”的问题例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有多少种?

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即

从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为(3)

解1(直接法)：解2(间接法)：探究新知1.“至少”“至多”的问题例1在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有多少种?

从100件产品抽出的3件中至多有1件是次品，包括有0件次品和有1件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至多有1件是次品的抽法种数为(4)

解：课堂练习1.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法?(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法?解：探究新知（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选.2.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？探究新知例2

有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还有2名英、法语皆通.现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？2.多面手问题：合理分类与分步策略524探究新知例3

(1)平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？(2)空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？-1探究新知元素相同（指标分配）问题隔板策略例4

有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有____种分法.一班二班三班四班五班六班七班3.元素相同（指标分配）问题：隔板策略探究新知例5

六本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲，乙，丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本;（4）分给甲，乙，丙3人，一人1本，一人2本，一人3本;（5）全部分给甲，乙，丙3人，每人至少一本.4.等分组与不等分组的分组问题探究新知例5六本不同的书（1）平均分成三堆，问有多少种分法？分析：每堆两本，分三步完成，第一步从六本中任取两本作为第一堆，有种取法，第二步从剩下的四本中任取两本作为第二堆，有种取法，第三步剩下的两本作为第三堆，有种取法.据分步乘法原理，分堆方法数是种.问题1：这样分堆会有重复吗？4.等分组与不等分组的分组问题探究新知例5六本不同的书（1）平均分成三堆，问有多少种分法？答：会造成重复分堆，例如假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取两本，取到3，4作为第一堆，再取5，6两本作为第二堆，剩下1，2作为第三堆，这是一种分堆的方法.然后第二次分堆时，先取到1，2作为第一堆，再取到5，6作为第二堆，剩下3，4作为第三堆，显然这种分堆方法跟第一种分堆方法是一样的.而且继续下去，这种分堆方法会重复3次，即次.问题2：怎么样才能去掉重复的分堆呢？答：6次只算1次，可以除以得到，所以六本不同的书，平均分成三堆，最后的分堆方法数是种.4.等分组与不等分组的分组问题问题1：这样分堆会有重复吗？探究新知例5六本不同的书（2）如果按照4，1，1分成三堆，问有多少种分法？4.等分组与不等分组的分组问题问题3：这样分堆会有重复吗？怎么样才能去掉重复的分堆呢？分析：例如，可以假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取四本，取到1，2，3，4作为第一堆，再取到5作为第二堆，剩下6作为第三堆，这是一种分堆的方法.然后第二次分堆时，先取到1，2，3，4作为第一堆，再取到6作为第二堆，剩下5作为第三堆，这两种分堆方法是一样的，所以有重复.会重复几次呢？分析：同样分三步，先取4本，再取1本，剩1本，所以有种分法.我们观察发现会重复两次，原因是5与6那两堆.按照先5作为一堆后6作为一堆与先6一堆后5作为一堆是一样的分堆方法.1，2，3，4因为个数跟他们个数不一样，所以不会产生重复，所以按照4，1，1分堆，有种分法.探究新知例5六本不同的书（1）平均分成三堆，问有多少种分法？（2）如果按照4，1，1分成三堆，问有多少种分法？4.等分组与不等分组的分组问题解：有种分法.（3）如果按照3，2，1分成三堆，问有多少种分法？元素个数相同的堆之间一般会有重复，比如第一问中的均分，每堆有两个元素，堆之间会有重复问题，还有就是第二问中4，1，1的1，1两堆之间会有重复.问题4：什么样的分堆会有重复呢？探究新知例6六本不同的书（1）平均分给三个同学，问有多少种分法？法1：边取边分，有种分法.法2：可以考虑先分组，再分配给三个同学，所以有分法.5.不同元素的分组与分配问题（3）如果按照3，2，1分给三个同学，问有多少种分法？解：先分组，后分配解：先分组，后分配（4）分给三个同学，每个同学至少有一本，问有多少种分法？（2）如果按照4，1，1分给三个同学，问有多少种分法？探究新知例6六本不同的书（4）分给三个同学，每个同学至少有一本，问有多少种分法？5.不同元素的分组与分配问题解：可以考虑，先分组，再分配.分组可以按2，2，2分，4，1，1分，3，2，1分，所以有探究新知不同元素的分组与分配问题(1)完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等.①只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消去重复；②分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可以用分步乘法计数原理解题.(2)部分平均分组：在分组时，每组的个数是不均等的，而是有一部分个数相同．需要除以相同的组的“全排列”，保证没有重复．(3)非平均分组：每组所要分的元素个数是不相同的．这种分组不考虑重复现象.解题思想：先分组、后分配探究新知例7对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的