含绝对值符号的函数最值问题与解决课件高三数学二轮复习

含绝对值符号的函数最值问题与解决本文件包含内容：一、

型函数及其

最小值二、与二次函数关联的含绝对值符号的函数类型三、与分式函数关联的含绝对值符号的函数类型山东东营

徐新华nh(x)=x2-ax+1xyo-1mxyoab这三个特殊类型的最小值都可以通过图像法和利用绝对值的几何意义两种方法求得。先来看图像法，以下为经过分类讨论后画出的图像，如图。从三个特殊类型的图像中，归纳出它们的最小值的结论：偶平奇尖取中间。

xyoa

xyoab

xyobac利用绝对值的几何意义，以上结论同样能够得到，以（2）为例：设a、b、

x分别为同一条数轴上的点A、B、P的坐标，其中点A、B为定点；点P为动点。则A、P两点的距离

，B、P两点的距离

显然，当动点P在线段AB上时，

当点P在线段AB（或BA）的延长线上时，解析：由结论得，当x为-5≤x≤2中的任意一个值时，y取得最小值,ymin=|2+5|=7.解析：转化为y=|x+3|+|x-2|+|x-2|，由结论得，当x=2时，y取得最小值,ymin=5.例1、函数y=|x+5|+|x-2|的最小值为

。例2、函数y=|x+3|+2|x-2|的最小值为

。练习1、|x-3|+|x-2|-m>0对

恒成立，则m的取值范围为

。练习4、已知关于x的方程|x+1|+|x+3|=k，若该方程无解，则m的取值范围为

。练习2、f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，

则a=

。练习3、若f(x)=|x+1|+|x-a|的图像关于直线x=1对称，则a=

。通过画出f(x)的图像能够得出这样一个结论，函数f(x)一定有最小值，并且在x=a或x=b处取得。现在，换一种思维方式，利用“胡不归原理”进一步论证如下：，点A（a，0),

B(b,

0),

P(x,

0),

则：PA=|x+a|,PB=|x+b|,

作射线BC,使得sin∠ABC=p,

作PQ⊥BC于点Q,

作AR⊥BC于点R，=AP+PBsin∠ABC=AP+PQ≥AR;即：当动点P与定点A重合时，也就是当x=a时，g（x）取得最小值AR=p|a-b|.这样，解决了函数f(x)在x=a或x=b时取得最小值的问题.有如下结论：QPCRAxyoB解析：把点A的坐标代入y=ax2上得a=2,∴y=2x2.设AB的斜率为k，则AC的斜率为

，由对称性不妨设k≤1.

整理得：2x2-kx+k-2=0,∴xA+xB=,得xB=。

|AB|=同理可得例3、已知点A(1,2)，以点A为直角顶点的⊿ABC的三个顶点都在抛物线E:y=ax2上，求证|AB|+|AC|>。由2的结论得：（此题由2023年新高考数学1卷22题改编而成）。二、与二次函数关联的含绝对值符号的函数类型例4：求函数

的最小值。事实上，f(x)min={f(a),f(b)}min={n|a-b|，m|a-b|}min.∴的最小值为f(x)min==(1)当x≥3时，f(x)=x2+x-3,∵抛物线对称轴为直线x=-，开口向上，(2)当x<3时，f(x)=x2-x+3,∵抛物线对称轴为直线x=，开口向上，解析：xyo3画出函数的简图，如图。例5、求函数

的最小值。xyoa

的最小值为f(x)min==x<a时，f(x)=x2-x+a,抛物线对称轴为直线x=，开口向上，如图.(2)当-<a≤时，x≥a时，f(x)=x2+x-a,抛物线对称轴为直线x=-，开口向上;xyoa解析：分三种情况：x<a时，f(x)=x2-x+a,抛物线对称轴为直线

，开口向上，如图。x≥a时，f(x)=x2+x-a,抛物线对称轴为直线

，开口向上;的最小值为f(x)min=f(a)=综上所述：函数

的最小值为g(a),

g(a)解析：令g(x)=ax2-2x,h(x)=x2-ax+1;则：f(x)=g(x)-∣h(x）∣.(1)、当-2≤a≤2时，⊿=（-a）2-4≤0,∵1>0,∴h(x)≥0;f(x)=g(x)-h(x）=(a-1)x2+(a-2)x-1=(x+1)[(a-1)x-1].

当a=1或a=0时，f(x)都有且只有一个零点；当a≠1且a≠0时，f(x)都有两个零点-1，

；

即当-2<a<2，且a≠1，a≠0时，f(x)有且只有两个零点。

xyoax≥a时，f(x)=x2+x-a,抛物线对称轴为直线

，开口向上;x<a时，f(x)=x2-x+a,抛物线对称轴为直线

，开口向上，如图.(3)、当a≥时，的最小值为f(x)min==例6、若函数

有且只有两个零点，

则a的取值范围为

。(2)、当a>2或a<-2时，⊿=（-a）2-4>0,h(x)=0有两个不等实数根m,n(不妨m<n);

∵1>0,∴当x<m或x>n时，h(x)>0;当m≤x<≤n时，h(x)≤0;

①.当a>2时，nh(x)=x2-ax+1xyo-1m

(x<m或x>n)(m≤x≤n)f(x)=nh(x)=x2-ax+1xyo1m

即当a>2时，函数y=f(x)有且只有两个零点-1，1.nh(x)=x2-ax+1xyo-1m②.当a<-2时，nh(x)=x2-ax+1xyo1m即当a<-2时，函数y=f(x)有且只有两个零点

，

.综上所述：a的取值范围为,例7、a>0,函数,记f(x)在[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式。解析：（1）当a≥4时，f(x)====f(x)在[0,4]上单调递减，g(a)=f(0)=（2）当0<a<4时，x[0,a],f(x)=,f(x)单调递减;x(a,4],f(x)=,f(x