第1节机械振动

第七章机械振动与机械波第1节机械振动目录CONTENT立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点锁定“目标”·提素能020301Part01立足“四层”·夯基础一、简谐运动1.简谐运动（1）定义：如果物体的位移与

时间

⁠的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x－t图像）是一条正弦曲线，这样的振动就叫作简谐运动。（2）条件：物体所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成

正比

⁠，并且总是指向

平衡位置

⁠。（3）平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。（4）回复力：使物体返回到平衡位置的力。①方向：总是指向

平衡位置

⁠。②来源：属于

效果

⁠力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。时间

正比

平衡位置

平衡位置

效果

2.简谐运动的两种模型

模型弹簧振子（水平）单摆示意图⁠⁠简谐运动条件（1）弹簧质量要忽略；（2）无摩擦等阻力；（3）在弹簧的弹性限度内（1）摆线为不可伸缩的轻细线；（2）无空气阻力等；（3）最大摆角小于或等于5°回复力弹簧的

弹力

⁠提供摆球所受

重力

⁠沿与摆线垂直方向（即切向）的分力弹力

重力

模型弹簧振子（水平）单摆平衡位置弹簧处于

原长

⁠处最低点周期与振幅无关能量转化

弹性势能

⁠与动能的相互转化，机械能守恒

重力势能

⁠与动能的相互转化，机械能守恒原长

弹性势能

重力势能

二、简谐运动的公式和图像1.表达式（1）动力学表达式：F＝

－kx

⁠，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。（2）运动学表达式：x＝

Asin（ωt＋φ0）

⁠，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作

初相

⁠。－kx

Asin（ωt＋φ0）

初相

2.图像（1）从

平衡位置

⁠开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图像如图甲所示。（2）从

最大位移

⁠处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图像如图乙所示。平衡位置

最大位移

三、受迫振动和共振1.受迫振动系统在

驱动力

⁠作用下的振动叫作受迫振动。系统做受迫振动的频率等于驱动力的频率，而与系统的固有频率

无关

⁠。2.共振驱动力的频率与系统的固有频率

相等

⁠时，系统做受迫振动的振幅达到最大，这种现象叫作共振。共振曲线如图所示。驱动力

无关

相等

⁠（1）简谐运动是匀变速运动。

（

×

）（2）周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。

（

√

）（3）振幅等于振子运动轨迹的长度。

（

×

）（4）简谐运动的回复力可以是恒力。

（

×

）（5）弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。

（

√

）（6）单摆的周期由摆球的质量和摆角共同决定。

（

×

）（7）物体做受迫振动时的频率与固有频率无关。

（

√

）（8）简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。

（

×

）×√××√×√×Part02着眼“四翼”·探考点⁠考点一

简谐运动的规律

[互动共研类]

简谐运动的五个特征受力特征回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒周期性特征对称性特征关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等【典例1】

如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin（2.5πt）m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度g＝10m/s2。以下判断正确的是（

）A.h＝1.9mB.简谐运动的周期是0.8sC.0.6s内物块运动的路程是0.2mD.t＝0.4s时，物块与小球运动方向相反

答案

B⁠1.[简谐运动的周期性、对称性]（2022·浙江6月选考）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则（

）A.小球做简谐运动C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T

2.[简谐运动的表达式]（2021·江苏高考）如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为（

）

考点二

简谐运动图像的理解和应用

[素养自修类]1.[简谐运动图像的理解]某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（

）A.t＝1s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值B.t＝2s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值C.t＝3s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零D.t＝4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

2.[两个简谐运动图像的比较分析]甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知（

）A.甲速度为零时，乙加速度最大B.甲加速度为零时，乙速度最小C.1.25～1.5s时间内，甲的回复力大小增大，乙的回复力大小减小D.甲、乙的振动频率之比f甲∶f乙＝2∶1解析：C

由题图可知，甲运动到最大位移处（速度为零）时，乙刚好运动到平衡位置，加速度为零，速度最大，A错误；甲运动到平衡位置（加速度为零）时，乙也运动到平衡位置，速度最大，B错误；结合题图由｜F｜＝k｜x｜可知，C正确；甲做简谐运动的周期T甲＝2.0

s，乙做简谐运动的周期T乙＝1.0

s，甲、乙的振动周期之比T甲∶T乙＝2∶1，根据周期与频率成反比，可知甲、乙的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D错误。3.[简谐运动图像的描绘]（2023·江苏南通模拟预测）如图所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运动。运动过程木块受到的合力F和动能Ek随相对平衡位置的位移x、运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是（

）解析：C

根据简谐运动的规律可得，浮力与重力的合力为木块做简谐运动的回复力，则有F＝－ρL2gx，则运动过程木块受到的合力F应该过二、四象限，A错误；随着x增大，势能增大，由能量守恒可得，动能应减小，B错误；因为木块在水中沿竖直方向做简谐运动，故运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系分别为正弦和余弦函数关系，C正确，D错误。⁠

由简谐运动图像可获取的信息（1）确定振动的振幅A和周期T（如图所示）。（2）确定质点在任一时刻的位移。（3）判断各时刻质点的振动方向①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；②下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。（4）判断质点各时刻的加速度（回复力）的大小和方向（5）判断质点各时刻的势能、动能的大小：质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能越小。考点三

单摆及其周期公式

[互动共研类]1.单摆的受力特征

（2）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，则F向＝FT－mgcosθ。（3）两点说明

（1）两球第1次到达C点的时间之比；

（2）若在弧形槽的最低点C的正上方h处由静止释放甲球，让其自由下落，同时将乙球从弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，甲球下落的高度h是多少。

⁠1.[单摆的图像及应用]（2023·江苏常熟中学二模）将力传感器接到计算机上可以测量快速变化的力。将单摆挂在力传感器的探头上，并让单摆小幅度摆动，计算机上显示摆线上拉力大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像进行判断，其中正确的是（

）A.摆球的周期T＝0.5sB.单摆的摆长l＝0.25mC.t＝0.5s时摆球正经过最低点D.摆球运动过程中机械能不变

2.[类单摆问题]（2023·江苏宿迁二模）某同学借鉴伽利略研究自由落体运动“冲淡重力”的方法，探究单摆周期与重力加速度的关系。先让摆球在光滑斜面上运动，然后改变下面哪个物理量，再进行合理外推，便可得到单摆周期与重力加速度的关系（

）A.斜面的倾角B.摆球的质量C.摆球的振幅D.摆线的长度解析：A

由题知借鉴“冲淡重力”使小球在斜面上摆动，即利用斜面减小加速度，重力沿斜面向下的分力使单摆摆动，则有g'＝a＝gsin

θ，要研究单摆周期与g'的关系，要改变g'，则改变倾角θ，故斜面在该实验中有两个作用，一是“冲淡重力”，增大FT，使FT易于测量，二是可改变g'，实现自变量变化并合理外推。故选A。3.[某星球上单摆的运动]

A.将摆球的质量m增加为4mD.将摆长L增长为4L

1.[对受迫振动和共振的理解]（2023·江苏常州一模）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。当a摆振动的时候，其余各摆在a摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b摆的振动图像如图乙。下列说法正确的是（

）A.稳定时b摆的振幅最大B.稳定时b摆的周期最大C.由图乙可以估算出b摆的摆长D.由图乙可以估算出c摆的摆长考点四

受迫振动和共振

[素养自修类]

2.[共振曲线的理解]（2023·江苏南京师大附中高三月考）一个单摆做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，重力加速度g约为10m/s2，则（

）A.此单摆的固有周期为0.5sB.此单摆的摆长约为2mC.若摆长增大，单摆的固有频率增大D.若摆长增大，共振曲线的峰值将向左移动

3.[共振现象的应用]（2023·江苏连云港二模）飞力士棒（Flexi－bar）是德国物理治疗师发明的一种康复器材，它由一根PVC软杆、两端的负重头和中间的握柄组成，棒的固有频率为4.5Hz，如图所示。下列说法正确的是（

）A.用力越大，棒振动得越快B.增大手驱动的频率，棒的振幅一定变大C.增大手驱动的频率，棒的振动频率可能减小D.双手驱动该棒每分钟振动270次，则棒的振幅最大

⁠1.自由振动、受迫振动和共振的比较振动类型自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力受驱动力受驱动力振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆（θ≤5°）机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等2.对共振的理解（1）共振曲线如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。（2）受迫振动中系统能量的转化做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。Part03锁定“目标”·提素能⁠1.（2023·江苏省灌云高级中学模拟）弹簧振子做简谐运动，则下列说法正确的是（

）A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值B.振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大C.振子每次通过平衡位置时，加速度为零，速度一定相同D.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

2.如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（

）A.t＝0.8s时，振子的速度方向向右B.t＝0.2s时，振子在O点右侧6cm处C.t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度完全相同D.t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的速度逐渐增大

A.周期不变，振幅不变B.周期不变，振幅变小C.周期改变，振幅不变D.周期改变，振幅变大

4.（2023·江苏镇江模拟）如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等。则（

）A.甲、乙两振子的振幅之比为1∶2B.甲、乙两振子的频率之比为1∶2C.前2s内甲、乙两振子的加速度均为正值D.第2s末甲的速度最大，乙的加速度最大解析：D

根据甲、乙两个振子做简谐运动的图像可知，两振子的振幅分别为A甲＝2

cm，A乙＝1

cm，甲、乙两振子的振幅之比为2∶1，选项A错误；甲振子的周期为4

s，频率为0.25

Hz，乙振子的周期为8

s，频率为0.125

Hz，甲、乙两振子的频率之比为2∶1，选项B错误；前2

s内，甲的加速度为负值，乙的加速度为正值，选项C错误；第2

s末甲通过平衡位置，速度最大，乙在最大位移处，加速度最大，选项D正确。5.将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到的单摆运动过程的频闪照片如图所示，以下说法不正确的是（

）A.这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9∶4C.摆球经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大D.摆球经过最低点时，角速度变大，半径减小，摆线张力不变

6.受迫振动的演示装置如图所示，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆（称为“驱动摆”）驱动另外几个单摆。下列说法正确的是（

）A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，加速度可能不相同C.如果驱动摆的摆长为l，振幅为A，若某个单摆的摆长大于l，振幅也大于AD.驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量

7.（2023·江苏南京师大附中模拟）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面连接一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当小球振动稳定时（

）A.小球振动的频率与圆盘转速无关B.小球振动的振幅与圆盘转速无关C.圆盘的转速越大，小球振动的频率越大D.圆盘的转速越大，小球振动的振幅越大解析：C

小球振动的频率与圆盘转速有关，小球做受迫振动，小球振动的频率等于圆盘转动的频率，圆盘的转速越大，小球振动的频率越大，A错误，C正确；小球振动的振幅与圆盘转速有关，圆盘转动的频率越接近小球和弹簧组成的系统的固有频率，小球振动的振幅越大，B、D错误。8.（2023·江苏扬州模拟）如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为S，S≪R。半径为r