正态分布课件高二下学期数学人教A版选择性

第七章随机变量及其分布7.5正态分布学习目标素养要求1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征数学抽象2.了解正态分布的均值、方差及其含义数据分析自学导引正态曲线正态密度函数正态曲线【预习自测】思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量． (

)(2)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述. (

)【答案】(1)√

(2)×(1)正态密度函数f(x)的图象在x轴上方，x轴和正态曲线之间的区域的面积为1.(2)曲线是单峰的，它关于直线__________对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值__________．(4)当|x|无限增大时，曲线__________x轴.x＝μ正态曲线的特点无限接近【预习自测】参数μ和σ对正态曲线的形状有什么影响？提示：1.μ为位置参数．当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1.2．σ为形状参数．参数σ的大小决定了曲线的高低和胖瘦，因此σ的变化影响曲线的形状．σ越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量的分布越分散，如图2.(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～

N(μ，σ2)，特别地，当_____________时，称随机变量X服从标准正态分布．(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝______，D(X)＝______．μ＝0，σ＝1正态分布的期望与方差μσ2【答案】C取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取________________中的值，这在统计学中称为3σ原则．0.6827正态变量在三个特殊区间内0.95450.9973[μ－3σ，μ＋3σ]【预习自测】已知随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则P(－3≤ξ≤5)＝ (

)(参考数据：P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9973)A．0.6827 B．0.9545C．0.0027 D．0.9973【答案】B【解析】由ξ～N(1，4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P(－3≤ξ≤5)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9545.课堂互动题型1正态曲线的图象及性质【答案】①③【解析】由正态分布密度曲线可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，①正确；由正态分布密度曲线可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，②错误；对于任意的正数t，由图象知P(X≤t)表示的面积始终大于P(Y≤t)表示的面积，所以P(X≤t)>P(Y≤t)，③正确．1．以下是关于正态密度曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴的上方；(2)曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)σ越大，曲线越尖陡，σ越小，曲线越扁平．其中说法正确的有________(填序号).【答案】(1)(4)(5)【解析】直接根据正态密度曲线的性质作出判断．(2)(3)(6)不符合上述性质，故错误．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5).解：∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827.题型2利用正态分布的对称性求概率【例题迁移1】

(改变问法)例2条件不变，求P(ξ≥5).【例题迁移2】

(变换条件，改变问法)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝ (

)A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2【答案】C【解析】∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是直线x＝2.∵P(ξ＜4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝0.6.∴P(0＜ξ＜2)＝0.3.利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解．2．设ξ～N(1，1)，试求：(1)P(0＜ξ≤2)；(2)P(2＜ξ≤3)；(3)P(ξ≥3).解：∵ξ～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1.(1)P(0＜ξ≤2)＝P(1－1＜ξ≤1＋1)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径如表所示(单位：μm).题型3正态分布的综合应用(1)计算平均值μ与标准差σ.(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2).该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？序号12345内径979798102105序号678910内径107108109113114则P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝P(87<Z≤123)≈0.9973，零件内径在(87，123]之外的概率大约只有0.0027，而86∉(87，123]，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．已知随机变量X服从μ＝500，σ＝20的正态分布，求X在(500，520)的取值概率．错解：由已知X～N(500，202)，则P(500＜X＜520)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.6827.易错警示不能准确理解字母的含义致误素养达成1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值求解．【答案】B2．(题型1)(多选)某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由图示曲线知下列说法中正确的是 (

)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都最大D．甲、乙、丙的总体的平均数相同【答案】AD【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选AD．3．(题型2)设随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，若P(ξ≤1)＝0.84，则P(－1<ξ≤0)等于

(

)A．0.16 B．0.32C．0.34 D．0.68【答案】C【解析】∵ξ～N(0，1)，又P(ξ≤1)＝0.84，∴P(ξ＞1)＝1－0.84＝0.16.∴P(ξ≤－1)＝0.16.∴P(－1＜ξ≤0)＝0.5－0.16＝0.34.4．(题型3)(2023年泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似为100名