向量的数量积课件高一下学期数学人教A版2

第6章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积课程目标

1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，了解投影向量并会求投影向量，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。一、平面向量数量积的物理背景力所做的功的计算★如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方

向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为

其中

是物体在位移方向上分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.

【1】功W是一个数量，既涉及长度又涉及角度，且只与这两个量有关；【2】当0≤θ＜90°时，W＞0；当θ=90°时，力的方向和位移的方向互相

垂直，W=0，力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，既力F做负功.二、向量的夹角OABOAB已知两个非零向量

和，作，，则叫做向量和的夹角．OABOAB找向量夹角，要保证两向量共起点或共终点O（1）根据向量夹角的定义，两非零向量夹角是将两个向量的

起点移到同一起点（或同一终点），这样两向量所成的角才是这两个向量的夹角

例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA与AB的夹角，∠BAD才是CA与AB的夹

角.其中AD是CA平移所得.（找向量夹角，要保证两向量共起点或共终点）（2）向量与之间的夹角θ的取值范围是[0，π]，这与两直线夹角的范围

是不一样的(向量有方向)，注意从定义上理解.

（4）向量与的夹角也可以表示为

注意：（3）三、平面向量数量积的概念平面向量数量积的定义【规定】零向量与任一向量的数量积为0（2）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其

大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定.（1）在书写数量积时，与之间用实心圆点“·”连接，不能写成“×”,更不能不写.

（3）设两个非零向量之间的夹角为θ，则当θ=0°时，；当θ为锐

角时，；当θ为直角时，；当θ为钝角

时，;当θ=180°时，

思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜

90°时为正；当90°＜θ≤180°时为负。当θ=90°时为零。数量积符号由cos

的符号所决定①两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，

其结果是数量(而不是向量)，可以为正，可以为负，也可以为零.②前面学习的向量的加法、减法和数乘，其结果全都是向量，但两个向量的数量积的结果是数量③我们规定了与任意向量的数量积为0，但由=0，不能推出或

一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°，此时，

故也有=0

.

④要注意=0，但0

注意：例1：例2：练习常用知识点四、投影及投影向量

如图①，设和是两个非零向量，AB=，CD=，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量

上的投影向量.

如图②，我们可以在平面内任取一点O，作OM=，ON=.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量在向量上的投影向量.

当θ为锐角或0度时，投影的数量为正值；当θ为钝角或180度时，投影的数量为负值；当θ为直角时，投影的数量为0；（1）投影的数量由此可得数量积的几何意义：等于的长度与在的方向上的投影的数量的乘积。（2）投影向量思考：例3、如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．E五、数量积的性质六、数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：例4：例5：

向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．例题讲解例6：

求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用

，勿忘记开方．(2)

，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．课堂练习1、判断下列各题是否正确(√)(×)(×)(×)(√)(×)(√)2、如图,边长为1的等边三角形ABC中,求：

ABC方法总结：

【解