确定二次函数的表达式课件北师大版数学九年级下册2

2.3确定二次函数的表达式九年级下

北师版1.会用待定系数法求二次函数的解析式.2.能灵活运用二次函数的不同形式求函数解析式.学习目标难点重点我们学过的二次函数解析式都有哪些？新课引入y＝ax2(a≠0)y=ax2+k(a≠0)y=a(x-h)2(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y

=ax2＋bx＋c(a≠0)问题1已知一次函数过（2,3），（-1,-3）两点，求此一次函数的解析函数.写（替换）:(写解析式)解：设一次函数解析式为：y=kx+b,待定系数法设：（解析式）代：（坐标代入）解得：解：方程（组）∴解析式为y=2x-1代入（2,3），（-1,-3）得：1.一次函数y=kx+b(k≠0)需要待定的系数是什么？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？k、b

2个待定系数法：

(1)设：（解析式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)写（替换）：（写解析式）思考例1已知二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．

解:∵将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别带入表达式y=ax2+c，得

∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.a=2，c=－5.解得{∴3=4a+c，－3=a+c，{新知学习一、一般式求二次函数表达式如果改变题目条件，将二次函数表达式换为y＝ax2＋bx+c(a≠0)，能求出来吗？探究由几个点的坐标可以确定二次函数？

由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.类似地，由不在同一直线上的三点（任意两点的连线不与y轴平行）的坐标，可以确定二次函数的解析式.例2如果一个二次函数的图象经过(-1,10

)，(1,4)，(2,7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5.解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知，图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组解得归纳这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.针对训练1.已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），∴y=-x2-6x.8=4a-2b，5=a-b，∴

{解得{a=-1,b=-6.图象经过原点(c=0)解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，∴所求的二次函数的表达式是解得2.一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？顶点坐标和图象上另一点坐标.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中一项系数，再知道图象上两点的坐标，可以确定它的表达式思考例2一名学生推铅球时，

铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4,3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗?解：根据图象是一条抛物线且顶点坐标为（4,3），因此设它的关系式为y=a(x－4)2＋3又∵图象过点（10,0）∴a(10－4)2＋3=0二、利用顶点式求二次函数的表达式归纳这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点式法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k(a≠0)；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.针对训练

1.一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数表达式为

y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得1=a(0-8)²+9.解得a=∴所求的二次函数的解析式是2.

已知二次函数

y=a(x-2)2+18的图象经过点(-1,0)．求这个二次函数的解析式.则函数解析式为y=-2(x-1)2+18.解：把(-1,0)代入二次函数解析式得9a+18=0，即a=-2，例4已知抛物线

y＝ax2＋bx＋c

与

x

轴交于点A(

1,0

)，B(5,0

)，且过点

C(

0,-5)．求抛物线的解析式.解：C(

0,-5)代入y＝ax2＋bx＋c中得c=5，∴

y＝ax2＋bx＋5，将点A(

1,0

)，B(5,0

)代入得即y＝-x2＋6x－5.a+b+5=0，25a+5b+5=0，解得还有其他方法吗？三、利用交点式求二次函数的表达式例4已知抛物线

y＝ax2＋bx＋c

与

x

轴交于点A(

1,0

)，B(5,0

)，且过点

C(

0,-5)．求抛物线的解析式.A(

1,0

)，B(5,0

)图象的对称性对称轴为x=3

y=a(x-3)2+k代入A(

1,0

)，B(5,0

)求出a，k

化为一般式y＝ax2-6ax＋3代入A(

1,0

)，B(5,0

)求出a,b例4已知抛物线

y＝ax2＋bx＋c

与

x

轴交于点A(

1,0

)，B(5,0

)，且过点

C(

0,-5)．求抛物线的解析式.解：∵抛物线与x轴交于点A(1,0)，B(5,0)，∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－5)，把(0,-5)代入得：5a＝-5，解得，a＝-1，故抛物线的解析式为y＝-(x－1)(x－5)，即y＝-x2＋6x－5.y＝a(x－x1)(x－x2)叫做交点式归纳这种知道抛物线的与x,y轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点式法.其步骤是：①设函数表达式是y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；②先代入交点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.x1,x2表示函数与x轴交点的横坐标.针对训练1.二次函数的图象经过点A(1,0)，B(0,-3)，对称轴是直线x=2，求该二次函数的解析式.解：∵图象经过点A(1,0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3,0).∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).将点(0,-3)代入，得-3=a·(-1)(-3)解得a=-1.∴该二次函数的解析式为

y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.随堂练习1.如图，若抛物线y＝ax2＋2x＋a2－1经过原点，则抛物线的解析式为()A.y＝-x2＋2x

B.y＝x2＋2x

C.y＝-x2＋2x＋1D.y＝-x2＋2x或y＝x2＋2xA

B

13.如图，抛物线

y＝x2＋bx＋c过点

A(-4，-3)，与

y轴交于点

B，对称轴是

x＝-3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；xyOx=-3AB解：把点

A(－4，－3)代入

y＝x2＋bx＋c，得16－4b＋c＝－3，即c＝4b－19.∵对称轴是

x＝－3，∴

＝－3，即

b＝6.∴c＝5.∴抛物线的解析式是

y＝

x2＋6x＋5.xyOx=-3AB(2)若和

x轴平行的直线与抛物线交于

C，D两点，点

C在对称轴左侧，且

CD＝8，求△BCD的面积．解：∵CD∥x轴，∴点

C与点

D关于x＝－3对称．∵点

C在对称轴左侧，且

CD＝8，∴点

C的横坐标为－7.∴点

C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点

B的坐标为(0，5)，∴△BCD中

CD边上的高为12－5＝7.∴△BCD的面积为×8×7＝28.用待定系数法求二次函数解析式的步骤1.

设：根据题中已知