2024年高考数学考前信息必刷卷01（甲卷理科专用）（含答案与解析）

第第页试卷第=page22页，共=sectionpages2222页绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（甲卷理科专用）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良型试题是对接新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。1.2023年的真题中就有开放性的题目，重在提升学生的创新能力，如本卷第15题2.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第7题，第8题，第10题3.结合2024年九省联考试题的结构及其特点，预测2024年新高考地区也将出现新定义问题的大题，例如本卷第17题，以新定义为背景与数列相结合。4.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点（如第9题），将中国的航天事业与排列组合有机结合，培养数学建模的核心素养一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．设，其中a、b为实数，则（

）A．， B．，C．， D．，3．已知流程图如图所示，该程序运行后，则输出的值为（

）A．28 B．40 C．54 D．704．已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．5．已知等比数列的前项和是，且，则（

）A．24 B．28 C．30 D．326．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（

）A． B． C． D．7．“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．以双曲线的一个焦点为圆心，以为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（

）A． B． C． D．9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（

）．A．14种 B．16种 C．18种 D．20种10．将函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，则函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为A． B． C． D．11．在三棱锥中，，且，，则该三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．12．已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，的平分线与x轴交于点，作交于点H，则等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数是偶函数，则常数的值为．14．已知实数x，y满足，则z＝3x－2y＋1的最大值为．15.在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为．（写出一个符合题意的答案即可）15．在棱长为6的正四面体中，已知点为该四面体的外接球的球心，则以为球心，为半径的球面与该四面体的表面形成的交线长为．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（本小题满分12分）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；18．（本小题满分12分）如图，是正方形，直线底面，，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.19．（本小题满分12分）为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车购买时补贴大于1.5万6535购买时补贴不大于1.5万4555(1)能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？(2)若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求的分布列与数学期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．(1)求抛物线N的方程；(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数,.(1)求f(x)的单调区间与零点；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.(1)写出曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于两点，定点，求的最小值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（本小题满分12分）设函数，其中.(1)当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；(2)若，且不等式的解集是，求的值.

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（甲卷理科专用）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良型试题是对接新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。1.2023年的真题中就有开放性的题目，重在提升学生的创新能力，如本卷第15题2.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第7题，第8题，第10题3.结合2024年九省联考试题的结构及其特点，预测2023年新高考地区也将出现新定义问题的大题，例如本卷第17题，以新定义为背景与数列相结合。4.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点（如第9题），将中国的航天事业与排列组合有机结合，培养数学建模的核心素养一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知集合A中元素表示被3除余1的自然数，又，则，故选A2．设，其中a、b为实数，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因为a，，，所以，，解得，．故选：C3．已知流程图如图所示，该程序运行后，则输出的值为（

）

A．28 B．40 C．54 D．70【答案】B【解析】因为，，第一次运行，；第二次运行，；第三次运行，；第四次运行，；第五次运行，.终止运行，所以输出的值为40，故选B.4．已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴（提示：见模长，取平方），∴，∴，∴．∵，∴，∴，，∴，故选C．5．已知等比数列的前项和是，且，则（

）A．24 B．28 C．30 D．32【答案】C【解析】因为，代入得：，即，解得，故，故选C.6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A，且，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过记为事件B，且由题可知，，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为：.故B，C，D错误.故选：A.7．“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，即，或，若，则，这与矛盾，故，所以或，故“是“”的必要不充分条件.故选：C.8．以双曲线的一个焦点为圆心，以为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由双曲线可得，∵双曲线的焦点到渐近线的距离，故所得弦长.故选：D.9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（

）．A．14种 B．16种 C．18种 D．20种【答案】C【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能；根据分类加法计数原理，共有种可能.故选：C.10．将函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，则函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得函数，因为,所以，由，得,解得，或，所以所求横坐标之和为，故选C.11．在三棱锥中，，且，，则该三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以为等边三角形，，在中，利用余弦定理得：，解得：，同理可得：，因为，由勾股定理逆定理可得，，所以，，取的中点，连接，则，因为，所以，由勾股定理得：，故，所以四棱锥的表面积.故选：A12．已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，的平分线与x轴交于点，作交于点H，则等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】如图，根据题意，有，且．由角平分线定理和椭圆的定义，有因此是以为斜边的直角三角形，进而可得，因此．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数是偶函数，则常数的值为．【答案】【解析】易知函数定义域为函数是偶函数对定义域内每一个都成立，，对定义域内每一个都成立，即.14．已知实数x，y满足，则z＝3x－2y＋1的最大值为．【答案】【解析】画出线性约束条件所表示的可行域，如图，由，得，由，得，由图可知，目标函数所代表的直线过点时，的值最大，且.15.在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为．（写出一个符合题意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，内的任何一个值均可）【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得周长的取值范围.【详解】由余弦定理可得，因为角A为锐角，则，可得，所以的周长.15．在棱长为6的正四面体中，已知点为该四面体的外接球的球心，则以为球心，为半径的球面与该四面体的表面形成的交线长为．【答案】【解析】取的中点，的中心，则，，．因为，所以，．设球面与平面形成的交线上一点，则，即，所以．所以点在以为圆心，为半径的圆上，如图2：设此圆与的边交于，与边交于，于，于，由得同理又所以所以球面与底面形成的交线是三段圆心角为的圆弧，所以结合对称性可知球面与该四面体的表面形成的交线长度为．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（本小题满分12分）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；【解】（1）是“等比源数列”，不是“等比源数列”．中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”；中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列，所以不是“等比源数列”．（2）不是“等比源数列”．假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，即中存在的，，三项成等比数列，也就是，即，，两边时除以得，等式左边为偶数，等式右边为奇数．所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得不是“等比源数列”．18．（本小题满分12分）如图，是正方形，直线底面，，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【解】（1）连接，交于，连接四边形为正方形

为中点，又为中点

平面，平面

平面（2）平面

直线与平面所成角即为

设，则

19．（本小题满分12分）为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车购买时补贴大于1.5万6535购买时补贴不大于1.5万4555(1)能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？(2)若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求的分布列与数学期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解】（1）2×2列联表如下：愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车合计大于1.5万6535100不大于1.5万4555100合计11090200可得，所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.（2）依题意，分层随机抽样的抽样比为，则有，，所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123故（人），所以的数学期望为人.20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．(1)求抛物线N的方程；(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．【解】（1）解：由题意得抛物线的焦点为，在方程中，令，可得，所以弦长为，即，解得，所以抛物线C的方程为．（2）解：由（1）知抛物线的方程为，设，直线AB的斜率为，因为线段的中点在直线上，由可知直线OM的方程为，设，所以，所以，又，所以，即得，设直线的方程为，即，联立方程组，所以，所以，即，由根据与系数的关系得，则，又由点到直线的距离为，所以，记，因为，所以，所以，令，可得，令，可得，当时，；当时，，所以当时，取得最大值，即有最大值为.21．（本小题满分12分）已知函数,.(1)求f(x)的单调区间与零点；(