苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题08菱形中的最值(原卷版+解析)

专题08菱形中的最值【例题讲解】如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____解：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD，取AB与CD的中点M，N，连接MN，∴点B关于MN的对称点是E，连接EC，此时CE的长就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，∴MB＝3，∠HMB＝60°，∴HM＝1.5，∴AE＝3，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，故答案为3．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（

）A． B．6 C．3 D．2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．2+24．如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（

）A．3 B． C．4 D．5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A． B． C． D．6．如图，菱形的边长为，点为边的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为__________．7．如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是_____________．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.12．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若，，则GH的最小值为___________．13．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．14．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．(1)求证：；(2)求的最小值．15．如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____专题08菱形中的最值【例题讲解】如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____解：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD，取AB与CD的中点M，N，连接MN，∴点B关于MN的对称点是E，连接EC，此时CE的长就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，∴MB＝3，∠HMB＝60°，∴HM＝1.5，∴AE＝3，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，故答案为3．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（

）A． B．6 C．3 D．【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解．【详解】解：如图，连接BD，∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=，∴EF+BF的最小值为．故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC＝PE+AP＝AE，根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．∵∠ABC＝60°，AB=BC∴△ABC为等边三角形，又∵BE＝CE，∴AE⊥BC，∴AE＝＝．故选：C．【点睛】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键．3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．2+2【答案】B【详解】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB=4，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为4×=，∴PK+QK的最小值为，故选B．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质．4．如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值，最小值为GF，求出GF即可．【详解】解：作E点关于AC的对称点点G，连接GF交AC于点P，连接PE，连接PE，由对称性可得PG=PE，AG=AE，∴PE+PF=PG+PF⩾GF，当P、G、F三点共线时，PE+PF有最小值，∵点E是AB的中点，∴点G是AD的中点，，∵F是BC的中点，，又∵四边形ABCD是菱形，∴，AD=BC，，∴四边形ABFG是平行四边形，∴GF=AB=4，∴PE+PF的最小值为4，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键．5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，求出AE＝，则△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，即为所求．【详解】解：∵菱形ABCD，∴点A与点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，连接PC，则PE＋PC＝PA＋PC＝AE，∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，∴BE＝1，AB＝2，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠EBG＝60°，∴BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，∴AE＝，∴△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，∴△PCE的周长的最小值为＋1，故选：B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE的长是解题的关键．6．如图，菱形的边长为，点为边的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为__________．【答案】3【分析】找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可．【详解】解：连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则，，即就是的最小值．四边形是菱形，，，是等边三角形，，（等腰三角形三线合一的性质）．在中，．即的最小值为3．故答案为3．【点睛】本题主要考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．7．如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是_____________．【答案】3【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵四边形菱形，∴A、C关于BD对称，∵点E，C在BD的同侧，∴当A、P、E三点共线时，的值最小，且最小值为AE；∵以为斜边的的面积为3，，∴，∴AE=3，∴的最小值是3故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．【答案】9【分析】要求PM＋PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值,即可求出△PMN周长的最小值．【详解】解：如图：连接MN，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM＋PN的最小值，∵菱形ABCD，M、N分别是AB、BC的中点，∴BN＝BM＝AM，MN=∵ME⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN＝AB，EN∥AB，而由题意可知，可得AB＝＝5，∴EN＝AB＝5，∴PM＋PN的最小值为5．∵MN不变，当PM＋PN的最小值时，△PMN周长最小，∴△PMN周长最小=9故答案为：9．【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称、平行四边形的判定及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．【答案】3【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．【答案】56【分析】连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE，根据菱形的性质和垂线段最短可得此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长，然后根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形外角的性质即可求出结论．【详解】解：连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=56°∴菱形ABCD是以BD所在直线为对称轴的轴对称图形，∠ADC=∠ABC=56°，DA=DC∴AE=CE，∠DAC=∠DCA=（180°－∠ADC）=62°∴此时AE＋EF=CE＋EF=CF，∠EAC=∠ECA根据垂线段最短可知：此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长∵CF⊥AD∴∠AFC=90°∴∠ECA=90°－∠DAC=28°∴∠EAC=28°∴∠AEF=∠EAC＋∠ECA=56°故答案为：56．【点睛】此题考查的是菱形的性质、垂线段最短的应用、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握菱形的性质、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余和等边对等角是解决此题的关键．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.【答案】【分析】首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．【详解】解：连接BD，∵菱形ABCD边长为4，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，∴△ABD与△BCD都为等边三角形，∴∠FDB=∠EAB=60°，∵AE+CF=4，而DF+CF=4，∴AE=DF，∵AB=BD，∴△BDF≌△BAE（SAS），∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等边三角形，∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，在Rt△ABE中，AE=AB=2，由勾股定理得BE=2，同理可得等边△BEF的边BE上的高为×2=3，△BEF面积的最小值=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若，，则GH的最小值为___________．【答案】【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=AF，求出AF的最小值即可解决问题．【详解】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB=BC=2∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，GH=AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=