人教版七年级数学下册同步压轴题 专题03 实数的四种特殊考法全攻略（原卷版+解析版）

专题03实数的四种特殊考法类型一、比较大小与实数估算例1．比较大小：__________．例2.比较下列实数的大小___________．【变式训练1】设a=，b=，c=3，则a，b，c的大小关系为_______．【变式训练2】比较大小______．【变式训练3】比较大小：_____；_____(填“＞”或“＜”或“＝”)【变式训练3】比较与的大小．类型二、整数部分问题例．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：(1)的整数部分是，小数部分是．(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．【变式训练1】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是这个数的小数部分，又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为，请解答：(1)的整数部分是______，小数部分是______．(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；(3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，请直接写出的值的相反数．【变式训练2】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即，要满足，．根据以上材料，完成下列问题：(1)的整数部分是________，小数部分是__________；(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的算术平方根．(3)若，则________，________．【变式训练3】规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【变式训练4】规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：(1)[]＝，的小数部分为；(2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值．类型三、新定义问题例．定义：若无理数(为正整数)：(其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数)，则称无理数的“雅区间”为．例如：因为，所以，所以的“雅区间”为，所以的雅区间为．解答下列问题：(1)的“雅区间”是___________；的“雅区间”是___________．(2)若无理数(为正整数)的“雅区间”为，的“雅区间”为，求的值．【变式训练1】若是一个大于11两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”，的“最佳邻居数”记作，令；若是一个大于111的三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依此类推．例如：50的“邻居数”为44与55，，，∵，55为50的“最佳邻居数”，∴，再如：492的“邻居数”为444和555，，，∵，∴444是492的“最佳邻居数”，∴．(1)求和的值；(2)若为一个两位数，十位数字为，个位数字为，且．求的值．【变式训练2】对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为．例如：，满足，且，所以134是“望岳数”，；例如：，满足，但是，所以237不是“望岳数”；再如：，满足，但是，所以415不是“望岳数”．(1)判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；(2)若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳数”t以及的最大值．【变式训练3】下面是小明探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．由图中面积计算，另一方面由题意知所以略去，得方程．解得．即．(1)仿照上述方法，探究的近似值．(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．(用a、b的代数式表示)类型四、规律性问题例．对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，(1)仿照以上方法计算：_____；=_____；(2)计算：；(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．【变式训练1】先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值【变式训练2】观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…(1)表格中________，________；(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知，则________；②已知，若，用含m的代数式表示b，则________；(3)试比较与a的大小．当________时，；当________时，；当________时，．【变式训练3】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?下面是小超的探究过程，请补充完整：(1)求；①由，，可以确定是___________位数；②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是___________；③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是___________；由此求得____________．(2)已知185193也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得___________．专题03实数的四种特殊考法类型一、比较大小与实数估算例1．比较大小：__________．【答案】【详解】解：∵，,∴，即，故答案为：．例2.比较下列实数的大小___________．【答案】【详解】解：∵，即，∴，∴，故答案为：【变式训练1】设a=，b=，c=3，则a，b，c的大小关系为_______．【答案】a＜c＜b【详解】解：∵，∴，即；∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：【变式训练2】比较大小______．【答案】<【详解】解：，，．故答案为：．【变式训练3】比较大小：_____；_____(填“＞”或“＜”或“＝”)【答案】

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<【详解】解：，∴，∵．∴．故答案为：＜，＜．【变式训练3】比较与的大小．【答案】【详解】解：，，，，，．类型二、整数部分问题例．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：(1)的整数部分是，小数部分是．(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．【答案】(1)4，；(2)【详解】(1)解：∵，∴，∴的整数部分为4，小数部分为，故答案为：4；；(2)解：∵，∴，∴，∴的整数部分是5，小数部分是，∴，∴．【变式训练1】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是这个数的小数部分，又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为，请解答：(1)的整数部分是______，小数部分是______．(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；(3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，请直接写出的值的相反数．【答案】(1)；(2)2；(3)【详解】(1)解：的整数部分是3，小数部分是，故答案为：；(2)的整数部分是1，小数部分为，的整数部分为3，小数部分为，(3)由题意得，的值的相反数为：．【变式训练2】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即，要满足，．根据以上材料，完成下列问题：(1)的整数部分是________，小数部分是__________；(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的算术平方根．(3)若，则________，________．【答案】(1)4，(2)3(3)，．【详解】(1)解：，的整数部分为4，小数部分为，故答案为：4，；(2)，，也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，，，，的算术平方根为；(3)，即，，，故答案为：，．【变式训练3】规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)6(2)16(3)160【详解】(1)解：；(2)∵，，，∴，，∴；(3)∵，，，，∴，，，∴【变式训练4】规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：(1)[]＝，的小数部分为；(2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值．【答案】(1)2，(2)【详解】(1)解：4，∵36＜40＜49，∴67，∴24＜3，∴原式的整数部分是2，小数部分为，故答案为：2，；(2)解：∵4＜5＜9，∴23，∴，∴，∴，，∴．类型三、新定义问题例．定义：若无理数(为正整数)：(其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数)，则称无理数的“雅区间”为．例如：因为，所以，所以的“雅区间”为，所以的雅区间为．解答下列问题：(1)的“雅区间”是___________；的“雅区间”是___________．(2)若无理数(为正整数)的“雅区间”为，的“雅区间”为，求的值．【答案】(1)，(2)2或【详解】(1)解：，，的雅区间为，，，的雅区间为，故答案为：，；(2)解：无理数(为正整数)的“雅区间”为，，即，可能为5,6,7,8，又的“雅区间”为，即，为7或8，当时，，当时，．【变式训练1】若是一个大于11两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”，的“最佳邻居数”记作，令；若是一个大于111的三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依此类推．例如：50的“邻居数”为44与55，，，∵，55为50的“最佳邻居数”，∴，再如：492的“邻居数”为444和555，，，∵，∴444是492的“最佳邻居数”，∴．(1)求和的值；(2)若为一个两位数，十位数字为，个位数字为，且．求的值．【答案】(1)，(2)73或94【详解】(1)∵83的邻居数为77和88，∴，，∵，∴88是83的邻居数，∴，∵144的邻居数为111和222，∴，，∵，∴111是144的邻居数，；(2)∵，且，，∴必大于33，∴不会再300与366之间，∴，情况1，当的最佳邻居数为333时，，∴，∴，∵，，且为整数，∴，∴，情况2，当的最佳邻居数为444时，，∴，∴，∴，∴，综上所述，的值为73或94．【变式训练2】对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为．例如：，满足，且，所以134是“望岳数”，；例如：，满足，但是，所以237不是“望岳数”；再如：，满足，但是，所以415不是“望岳数”．(1)判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；(2)若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳数”t以及的最大值．【答案】(1)347是“望岳数”，157不是“望岳数”，理由见解析(2)综上，满足条件的“望岳数”t有145，459，的最大值为【详解】(1)解：347是“望岳数”；理由如下：∵，且，∴347是“望岳数”；157不是“望岳数”，理由如下：∵，但，∴157不是“望岳数”；(2)解：设t的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为，则，t的3倍与t中十位数字的4倍的和为：，由题可知，，且，a，b均为正整数，①当时，∵能被11整除，∴，此时，，②当时，没有b值使能被11整除，③当时，没有b值使能被11整除，④当时，∵能被11整除，∴，此时，，综上，满足条件的“望岳数”t有145，459，的最大值为．【变式训练3】下面是小明探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．由图中面积计算，另一方面由题意知所以略去，得方程．解得．即．(1)仿照上述方法，探究的近似值．(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．(用a、b的代数式表示)【答案】(1)2.25，见解析(2)【详解】(1)解：面积是5的正方形的边长是，设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，∵，而，∴，略去，得方程，解得，即．(2)解：设，∴，∵，∴，解得，∴，故答案为：．类型四、规律性问题例．对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，(1)仿照以上方法计算：_____；=_____；(2)计算：；(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．【答案】(1)2；6(2)131(3)255【详解】(1)解：∵，∴；∵，∴，∴，故答案为：2；6；(2)解：∵，∴；(3)解：∵，∴，，，，∴刚好经过4次操作后的结果为1，∵，，，∴刚好经过3次操作后的结果为1，∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【变式训练1】先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值【答案】(1)(2)，49【详解】(1)解：；(2)由题干信息归纳可得：，∴．【变式训练2】观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…(1)表格中________，________；(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知，则________；②已知，若，