专题17函数与圆综合问题-【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案含答案

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17函数与圆综合问题经典例题经典例题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．动点E(m，0)(0＜m＜3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．(1)求抛物线的解析式及C点坐标；(2)连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．(3)如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F(点F在x轴上方)，若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，与x轴交于另一点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．(Ⅰ)求抛物线的解析式及顶点坐标；(Ⅱ)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；(Ⅲ)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．

培优训练培优训练1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，连接BC并延长．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a(a＞0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．(1)连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．(2)如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；(3)如图3，已知动点P(t，t)在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0，6)，抛物线的顶点坐标为E(2，8)，连结BC、BE、CE．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCE的形状，并说明理由；(3)如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)．(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；(3)判断△ABO的形状，试说明理由；(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：x…﹣10123…y…03430…(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC的最小值；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．6．如图，抛物线的顶点为A(0，2)，且经过点B(2，0)．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．(1)求抛物线的函数解析式．(2)求证：直线AB与⊙O相切．(3)已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．(1)求二次函数的解析式；(2)如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；(3)如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．8．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．(1)求二次函数的表达式；(2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；(3)在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．9．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a(a＞0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．(1)连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．(2)如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；(3)如图3，已知动点P(t，t)在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，连接BC并延长．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．(1)求抛物线的解析式．(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．(3)以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．12．如图，已知⊙A的圆心为点(3，0)，抛物线y＝ax2-376x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、(1)请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；(2)直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E(与点D不重合)在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；(3)如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．13．如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A(4，0)，点B(0，4)，△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．(1)求圆心M的坐标；(2)若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；(3)在(2)的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝45时，求点P的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；(3)在(2)的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M(如图1)，①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P(如图2)，设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中QHQP15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4，﹣4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F(1)求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM16．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A(0，2)．(1)若点(-2，0)也在该抛物线上，求a，b(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，y1)，N(x2，y2)都满足：当x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．17．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．(1)求二次函数的表达式；(2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；(3)在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．18．我们把方程(x﹣m)2+(y﹣n)2＝r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1，﹣2)、半径长为3的圆的标准方程是(x﹣1)2+(y+2)2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为(8，0)，与y轴相切于点D(0，4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为E．(1)求⊙C的标准方程；(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．19．如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A(﹣1，0)和点C(0，3)与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．20．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN＝5或3．(1)【类比探究】如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点(AM＜MN＜NB)，连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．(2)【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．(3)【拓展应用】如图4，点P(a，b)是反比例函数y=2x(x＞0)上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17函数与圆综合问题经典例题经典例题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【分析】(1)将点A(﹣1，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；(2)过点P作PH⊥BC交于点H，设P(0，t)，CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P(0，﹣)，与x轴对称点为(0，)，此点也满足所求；(3)当M点在B点处时，N点在F(0，﹣4)处，当M点在O点处时，N点在E(2，0)处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'(1，﹣2)，NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．【解析】(1)将点A(﹣1，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴y＝﹣x2+x+2；(2)过点P作PH⊥BC交于点H，设P(0，t)，CH＝x，∵C(0，2)，B(4，0)，∴BC＝2，∴BH＝2﹣x，∵∠OBP+∠OBC＝45°，∴∠CBP＝45°，∴HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，∴＝，＝，∴x＝，t＝﹣，∴P(0，﹣)，P点关于x轴对称点为(0，)，此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，∴满足条件的P点坐标为(0，﹣)或(0，)；(3)当M点在B点处时，N点在F(0，﹣4)处，当M点在C点处时，N点在E(2，0)处，∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值，∴O'(1，﹣2)，∵A(﹣1，0)，∴O'A＝2，∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，∴2﹣≤NA≤2+．【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．动点E(m，0)(0＜m＜3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．(1)求抛物线的解析式及C点坐标；(2)连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．(3)如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F(点F在x轴上方)，若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．【分析】(1)利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可得C点坐标；(2)由抛物线的解析式可得M(m，﹣m2+2m+3)，利用待定系数法求出直线BM的解析式，可得点N的坐标，根据平行线的性质可得∠NAO＝∠MOE，根据等角的正切值相等即可求解；(3)由题意得点Q与点C重合时，点P纵坐标最小，设点P(1，a)，则点F(1，2a)，根据勾股定理求出a的值，即可得点P纵坐标的取值范围．【解析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，故点C(0，3)；(2)∵点E(m，0)(0＜m＜3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M，∴M(m，﹣m2+2m+3)，∵点B(3，0)，∴直线BM的表达式为y＝(﹣m﹣1)x﹣(﹣m﹣1),当x＝0时，3m+3，∴点N(0，3m+3)，∵AN∥OM，∴∠NAO＝∠MOE，∴tan∠NAO＝tan∠MOE，∴，即，解得：m1＝，m2＝﹣1(舍去)，∴m的值为；(3)由题意得点Q与点C重合时，点P纵坐标最小，设点P(1，a)，则点F(1，2a)，∵点A(﹣1，0)，点C(0，3)，∴CF2+CE2＝EF2，即1+(2a﹣3)2+1+32＝(2a)2，解得：a＝，∵点A(﹣1，0)，点C(0，3)，∴AC:y＝3x+3,设Q(a，3a+3)(﹣1≤a≤0)，过点Q作QG⊥x轴于G，过点F作FH⊥QG于H，连接QF，QE，∵∠FQE＝90°，∴∠FQH+∠EQG＝90°，∵∠FQH+∠HFQ＝90°，∴∠EQG＝∠HFQ，又∵∠H＝∠QGE，∴△HFQ∽△GQE，∴，∴，∴HQ＝，∴FE＝HQ+QG＝+3a+3，令1+a＝t，(0≤t≤1)，∴a＝t﹣1，∴FE＝+3t＝t+t﹣，当t＝1时，FE＝，∵t+t﹣≥2﹣，∴t+t﹣≥，∴yF最小值是，∴yP最小值是，∴当yP＞时，⊙P与线段AC有一个交点，当＜yP≤时，⊙P与线段AC有两个交点，yP＝时，⊙P与线段AC有一个交点，0＜yP＜时，⊙P与线段AC没有交点，∴点P纵坐标的取值范围为yp＞或0＜yP≤．【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，与x轴交于另一点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【分析】(1)把A(﹣1，0)、B(3，2)代入y＝ax2+bx+2，列方程组求a、b的值；(2)作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE，作BF⊥x轴于点F，证明∠ABC＝90°及△BCF≌△EAO，从而证明四边形ABCE是矩形且求出点E的坐标；(3)在(2)的基础上，作FL⊥BC于点L，证明△FCL∽△BCF及△DCL∽△BCD，得到LD＝DB，再根据DA+LD≥AL，求出AL的长即为所求的最小值．【解析】(1)把A(﹣1，0)、B(3，2)代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．(2)存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F(3，0)．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C(4，0)，∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣(﹣1)＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO(ASA)，∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E(0，﹣2)．(3)如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由(2)得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF(公共角)，∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD(公共角)，∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝()2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．(Ⅰ)求抛物线的解析式及顶点坐标；(Ⅱ)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；(Ⅲ)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【分析】(Ⅰ)由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；(Ⅱ)当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝(yM+yD)，即可求解；(Ⅲ)在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB＝2(PB+PC)＝2(BP+PG)，故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．【解析】(Ⅰ)∵对称轴是直线x＝2，故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣(x﹣2)2+4，∴抛物线的顶点为(2，4)；(Ⅱ)对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为(﹣2，0)、(6，0)、(0，3)，设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，设点M的坐标为(x，﹣x2+x+3)，则点D的坐标为(x，﹣x+3)，当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝(yM+yD)，即3＝(﹣x2+x+3﹣x+3)，解得x＝0(舍去)或2，故点M的坐标为(2，4)；(Ⅲ)在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G(0，)，∵，∠GOP＝∠COP，∴△POG∽△COP，∴，故PG＝PC，则2PC+3PB＝3(PB+PC)＝3(BP+PG)，故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝2．培优训练培优训练1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，连接BC并延长．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】(1)将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛物线的解析式；(2)1°用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；2°分三种情况：当∠PMN＝90°时；当∠PNM＝90°时；当∠MPN＝90°时．分别求出符合条件的P点坐标便可．【解析】(1)把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；(2)1°设直线BC的解析式为y＝mx+n(m≠0)，则，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设M(t，﹣t+3)(0＜t＜3)，则N(t，t2﹣4t+3)，∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，∴△PMN为直角三角形，由1°知，当MN取最大值时，M()，N()，①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为，当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝，或x＝(舍去)，∴P()；②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，解得，x＝，或x＝(舍去)，∴P(，)；③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q()，半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜(舍)，或x＝，∴K(，)，∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l(2，﹣1)，连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分(除N点外)在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分(除N点外)与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为()或()．2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a(a＞0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．(1)连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．(2)如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；(3)如图3，已知动点P(t，t)在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】(1)令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；(2)过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；(3)取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解析】(1)连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A(4，0)，B(8，0)，令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C(0，32a)，又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝，解得，a＝；(2)过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH＝＝2，∴OH＝6，设M(6，d)，∵MA＝MC，∴4+d2＝36+(d﹣32a)2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+＝，∴当4时，有，即当a＝时，有；(3)∵P(t，t)，∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M(6，d)，而T(6，0)，∴S(6，6)，∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB＝，∴MS＝＝，∵MS+MT＝ST＝6，∴，解得，d＝2(负根舍去)，经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M(6，2)，∴MB＝2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0，6)，抛物线的顶点坐标为E(2，8)，连结BC、BE、CE．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCE的形状，并说明理由；(3)如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；(3)如图，在CE上截取CF＝(即CF等于半径的一半)，连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．【解析】(1)∵抛物线的顶点坐标为E(2，8)，∴设该抛物线的表达式为y＝a(x﹣2)2+8，∵与y轴交于点C(0，6)，∴把点C(0，6)代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；(2)△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣(x﹣2)2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A(﹣2，0)，B(6，0)，∴BC2＝62+62＝72，CE2＝(8﹣6)2+22＝8，BE2＝(6﹣2)2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；(3)⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝(即CF等于半径的一半)，连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E(2，8)，∴由比例性质，易得F(，)，∴BF＝＝．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)．(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；(3)判断△ABO的形状，试说明理由；(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．【分析】(1)运用待定系数法即可求出答案；(2)运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；(3)方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F(4，0)，得出△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，方法2：由△ABO的三个顶点分别是O(0，0)，A(4，﹣4)，B(8，0)，运用勾股定理及逆定理即可得出答案；(4)以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据t＝AP+PB＝PD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由t＝DB＝即可求出答案．【解析】(1)∵二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)，∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx(a≠0)，将C(2，﹣3)，B(8，0)代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；(2)∵＝(x﹣4)2﹣4，∴抛物线的顶点A(4，﹣4)，设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A(4，﹣4)，B(8，0)代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；(3)△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F(4，0)，∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O(0，0)，A(4，﹣4)，B(8，0)，∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；(4)如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：x…﹣10123…y…03430…(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC的最小值；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】(1)运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；(2)如图1，将点沿y轴向下平移1个单位得C′(0，2)，连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；(3)如图2，连接BE，设D(t，﹣t2+2t+3)，且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用＝，即可求得答案．【解析】(1)根据表格可得出A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣3)，将C(0，3)代入，得：3＝a(0+1)(0﹣3)，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M(1，4)；(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0，2)，连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1；(3)线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D(t，﹣t2+2t+3)，且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣(﹣t2+2t+3)＝t2﹣2t﹣3，∵F(t，0)，∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣(﹣1)＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．6．如图，抛物线的顶点为A(0，2)，且经过点B(2，0)．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．(1)求抛物线的函数解析式．(2)求证：直线AB与⊙O相切．(3)已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．【分析】(1)根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，把点B的坐标代入即可求出a的值，即可得出抛物线解析式；(2)根据切线的判定，证明OC是⊙O的半径即可；(3)由题意知，AC是以M，O，A，C为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线OM的解析式，直线OM与抛物线的交点为P，即可求出PM的长．【解析】(1)∵抛物线的顶点为A(0，2)，∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，∵抛物线经过点B(2，0)，∴4a+2＝0，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；(2)证明：∵A(0，2)，B(2，0)，∴OA＝OB＝2，∴AB＝2，∵OC⊥AB，∴•OA•OB＝•AB•OC，∴×2×2＝×2•OC，解得：OC＝，∵⊙O的半径r＝，∴OC是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；(3)∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，∴可设P(x，﹣x2+2)，以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，∵点C是AB的中点，∴C(1，1)，M(1，﹣1)，设直线OM的解析式为y＝kx，将点M(1，﹣1)代入，得：k＝﹣1，∴直线OM的解析式为y＝﹣x，∵点P在OM上，∴﹣x2+2＝﹣x，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，∴P1(1+，﹣1﹣)，P2(1﹣，﹣1+)，如图，当点P位于P1位置时，OP1＝＝＝(1+)＝+，∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；综上所述，PM的长是或﹣2．7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．(1)求二次函数的解析式；(2)如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；(3)如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．【分析】(1)由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，可得二次函数的解析式为y＝(x+2)(x﹣4)，由此即可解决问题．(2)根据S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，构建方程即可解决问题．(3)结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．根据AM＝MP，根据方程求出t，再利用中点坐标公式，求出点E的纵坐标即可解决问题．【解析】(1)∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，∴二次函数的解析式为y＝(x+2)(x﹣4)，即y＝x2﹣x﹣4．(2)如图甲中，连接OP．设P(m，m2﹣m﹣4)．由题意，A(﹣2，0)，C(0，﹣4)，∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，∴＝×2×4+×4×m﹣×2×(﹣m2+m+4)，整理得，m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或﹣5(舍弃)，∴P(3，﹣)．(3)结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．理由：如图乙中，连接AM，PM，EM，设M(1，t)，P[m，(m+2)(m﹣4)]，E(m，n)．由题意A(﹣2，0)，AM＝PM，∴32+t2＝(m﹣1)2+[(m+2)(m﹣4)﹣t]2，解得t＝1+(m+2)(m﹣4)，∵ME＝PM，PE⊥AB，∴t＝，∴n＝2t﹣(m+2)(m﹣4)＝2[1+(m+2)(m﹣4)]﹣(m+2)(m﹣4)＝2，∴DE＝2，另解：∵PD•DE＝AD•DB，∴DE＝＝＝2，为定值．∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．8．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．(1)求二次函数的表达式；(2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；(3)在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．【分析】(1)设二次函数表达式为：y＝ax2，将(2，1)代入上式，即可求解；(2)△PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM＝4，故PF＝2，即可求解；(3)在Rt△FQE中，EN＝＝，EF＝＝，即可求解．【解析】(1)∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将(2，1)代入上式并解得：a＝，故二次函数表达式为：y＝x2；(2)将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为(﹣2，1)、(2，1)，则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2；∵点F(0，1)，∴点P的坐标为(0，1+2)或(0，1﹣2)；(3)假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q(1，1)，故点E在FN的中垂线上．∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，∴y＝×12＝，则点E(1，)，EN＝＝，同理EF＝＝，点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣(﹣1)|＝，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．9．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a(a＞0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．(1)连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．(2)如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；(3)如图3，已知动点P(t，t)在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】(1)令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；(2)过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；(3)取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解析】(1)连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A(4，0)，B(8，0)，令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C(0，32a)，又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC=OC解得，a=3(2)过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH=1∴OH＝6，设M(6，d)，∵MA＝MC，∴4+d2＝36+(d﹣32a)2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+1∴当4a=12a即当a=28时，有(3)∵P(t，t)，∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M(6，d)，而T(6，0)，∴S(6，6)，∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB=4+∴MS=2∵MS+MT＝ST＝6，∴2d解得，d＝2(负根舍去)，经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M(6，2)，∴MB＝22，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT=12∠AMB＝∠∴sin∠APB＝sin∠BMT=BT10．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，连接BC并延长．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】(1)将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛物线的解析式；(2)1°用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；2°分三种情况：当∠PMN＝90°时；当∠PNM＝90°时；当∠MPN＝90°时．分别求出符合条件的P点坐标便可．【解析】(1)把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)中，得a+b+c=09a+3b+c=0解得，a=1b=-4∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；(2)1°设直线BC的解析式为y＝mx+n(m≠0)，则3m+n=0n=3解得，m=-1n=3∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设M(t，﹣t+3)(0＜t＜3)，则N(t，t2﹣4t+3)，∴MN＝﹣t2+3t=-(t-3∴当t=32时，MN的值最大，其最大值为2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，∴△PMN为直角三角形，由1°知，当MN取最大值时，M(32，32)，①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为32当y=32时，y＝x2﹣4x+3解得，x=4+102，或∴P(4+10②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为-3当y=-34时，y＝x2﹣4x+3解得，x=52，或x∴P(52，-③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q(32，3过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y=38，得y＝x2﹣4x+3解得，x=8-224＜∴K(8+224，∴QK=2+224＞98，即K设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l(2，﹣1)，连接LK，如图②，则L到QK的距离为38LK=(设Q点到LK的距离为h，则12∴h=11∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分(除N点外)在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分(除N点外)与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为(4+102，11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．(1)求抛物线的解析式．(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．(3)以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．【分析】(1)直接利用待定系数法即可得出结论；(2)先判断出过点P平行于直线EF的直线与抛物线只有一个交点时，PH最大，再求出此直线l的解析式，即可得出结论；(3)分两种情况：①当∠BMC＝90°时，先求出BM的长，进而求出BD，DM1的长，再构造出相似三角形即可得出结论；②当∠BCM＝90°时，利用锐角三角函数求出点M3的坐标，最后用对称的性质得出点M4的坐标，即可得出结论．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，∴9a-3b-2=0a+b-2=0∴a=2∴抛物线的解析式为y=23x2+(2)如图1，过点P作直线l，使l∥EF，过点O作OP'⊥l，当直线l与抛物线只有一个交点时，PH最大，等于OP'，∵直线EF的解析式为y＝﹣x，设直线l的解析式为y＝﹣x+m①，∵抛物线的解析式为y=23x2+43联立①②化简得，23x2+73x∴△=499-4×∴m=-97∴直线l的解析式为y＝﹣x-97令y＝0，则x=-97∴M(-97∴OM=97在Rt△OP'M中，OP'=OM∴PH最大=97(3)①当∠CMB＝90°时，如图2，∴BM是⊙O的切线，∵⊙C半径为1，B(1，0)，∴BM2∥y轴，∴∠CBM2＝∠BCO，M2(1，﹣2)，∴BM2＝2，∵BM1与BM2是⊙C的切线，∴BM1＝BM2＝2，∠CBM1＝∠CBM2，∴∠CBM1＝∠BCO，∴BD＝CD，在Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴OD2+1＝(2﹣OD)2，∴OD=3∴BD=5∴DM1=过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴OBM∴1M∴M1Q=35，DQ∴OQ=3∴M1(-35，②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC=OC∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+(2m)2＝1，∴m=5∴M3H＝2m=255，OH＝OC﹣CH∴M3(-255而点M4与M3关于点C对称，∴M4(255，即：满足条件的点M的坐标为(-35，-65)或(1，﹣2)或(-25512．如图，已知⊙A的圆心为点(3，0)，抛物线y＝ax2-376x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、(1)请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；(2)直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E(与点D不重合)在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；(3)如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．【分析】(1)证明Rt△BRA△≌Rt△ASC(AAS)，即可求解；(2)点E在直线BD上，则设E的坐标为(x，12x+1)，由AD＝AE(3)分当切点在x轴下方、切点在x轴上方两种情况，分别求解即可．【解析】(1)过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，∵∠ABR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，∴∠RAB＝∠CAS，又AB＝AC，∴Rt△BRA≌Rt△ASC(AAS)，∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，故点B、C的坐标分别为(2，2)、(5，1)，将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2-376x+a=56，故抛物线的表达式为：y=56x2-(2)将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y=12x+1，则点点A、B、C、D的坐标分别为(3，0)、(2，2)、(5，1)、(﹣2，0)，则AB=5，AD点E在直线BD上，则设E的坐标为(x，12x∵AD＝AE，则52＝(3﹣x)2+(12x+1)2解得：x＝﹣2或6(舍去﹣2)，故点E(6，4)，把x＝6代入y=56x2-故点E在抛物线上；(3)①当切点在x轴下方时，设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G(0，﹣1)，连接GA，AH＝AB=5，GA=∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，∴KOKH=OG解得：KO＝2或-12(舍去故点K(﹣2，0)，把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得：直线的表达式为：y=-12②当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y＝2x﹣1；故满足条件的直线解析式为：y=-12x﹣1或y＝213．如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A(4，0)，点B(0，4)，△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．(1)求圆心M的坐标；(2)若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；(3)在(2)的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝45时，求点P的坐标．【分析】(1)利用中点公式即可求解；(2)设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO=OCOA=12=tanα，则sinα=15，cosα(3)利用cos∠PEH=EHPE=【解析】(1)点B(0，4)，则点C(0，2)，∵点A(4，0)，则点M(2，1)；(2)应该是圆M与直线AD相切，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO=OCOA=12=tanα，则sinAC=20，则CD=则点D(0，﹣8)，将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；(3)抛物线的表达式为：y＝a(x﹣2)2+1，将点B坐标代入上式并解得：a=3故抛物线的表达式为：y=34x2﹣3过点P作PH⊥EF，则EH=12EF＝2cos∠PEH=EH解得：PE＝5，设点P(x，34x2﹣3x+4)，则点E(x，2x则PE=34x2﹣3x+4﹣2解得x=14则点P(143，1914．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；(3)在(2)的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M(如图1)，①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P(如图2)，设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中QHQP【分析】(1)c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16-4b﹣2，解得：(2)S△ABD=5×32=35×BN2(3)①∠ADB＝45°，则∠AMB＝2∠ADB＝90°，MA＝MB，MH⊥AB，AH＝BH＝HM=52，点M的坐标为(32，52)⊙②PH＝HB＝5，则MHMQ=52522=2【解析】(1)c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16-4b﹣2，解得：∴抛物线的解析式为y=12x2-(2)当x＝5时，y=12x2-32令y＝0，则x＝4(舍去)或﹣1，故点A(﹣1，0)，如图①，连接BD，作BN⊥AD于N，∵A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，﹣2)，∴AD＝35，BD=10，AB∵S△ABD=5×3∴BN=5∴sin∠BDN=BN∴∠BDN＝45°；∴∠ADB＝∠BDN＝45°；(3)①如图②，连接MA，MB，∵∠ADB＝45°，∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，∵MA＝MB，MH⊥AB，∴AH＝BH＝HM=5∴点M的坐标为(32，52)⊙M的半径为②如图③，连接MQ，MB，∵过点B作⊙M的切线交1于点P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝5，∵MHMQ=5∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴QHQP∴在点Q运动过程中QHQP的值不变，其值为215．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4，﹣4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点(1)求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；(3)①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=12AM，连接CP交圆E于M，再求出点【解析】(1)∵点A(﹣4，﹣4)，B(0，4)在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴-16-4b+c=-4c=4∴b=-2c=4∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；(2)设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，∴n=4-4k+n=-4∴k=2n=4∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设E(m，2m+4)，∴G(m，﹣m2﹣2m+4)，∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G(﹣2，4)．(3)①如图1，由(2)知，直线AB的解析式为y＝2x+4，∴设E(a，2a+4)，∵直线AC：y=-12∴F(a，-12设H(0，p)，∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y=-12∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴EF与AH互相平分，∴12(﹣4+0)=12(a+a)，12(﹣4+p)=12∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E(﹣2，0)．H(0，﹣1)；②如图2，由①知，E(﹣2，0)，H(0，﹣1)，A(﹣4，﹣4)，∴EH=5，AE＝25设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=5连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM＝EH=5∴PEME∵MEAE∴PEME=MEAE=∴△PEM∽△MEA，∴PMAM∴PM=12∴12AM+CM的最小值＝PC设点P(p，2p+4)，∵E(﹣2，0)，∴PE2＝(p+2)2+(2p+4)2＝5(p+2)2，∵PE=5∴5(p+2)2=5∴p=-52或p=-3∴P(-5∵C(0，﹣6)，∴PC=(-即：12AM+CM=16．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A(0，2)．(1)若点(-2，0)也在该抛物线上，求a，b(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，y1)，N(x2，y2)都满足：当x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．【分析】(1)由抛物线经过点A可求出c＝2，再代入(-2，0)即可找出2a-2b+2＝0((2)①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b＝0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；②由①的结论可得出点M的坐标为(x1，-x12+2)、点N的坐标为(x2，-x22+2)，由O、M、N三点共线可得出x2=-2x1，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A(0，2)，∴c＝2．又∵点(-2∴a(-2)2+b(-2)+∴2a-2b+2＝0(a(2)①∵当x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b＝0．∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，又∵OB＝OC＝OA＝2，∴CD＝OC•cos30°=3，OD＝OC不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为(3，﹣1)．∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，∴3a+2＝﹣1，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为(x1，-x12+2)，点N的坐标为(x直线OM的解析式为y＝k1x(k1≠0)．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且-x∴﹣x1+2x1=-∴x1﹣x2=-2(∴x1x2＝﹣2，即x2=-2∴点N的坐标为(-2x1设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为(2x1，∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP＝2OA＝4，∴点P的坐标为(0，4)．设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为(x1，-x∴-x12+2＝k∴k2=-x∴直线PM的解析式为y=-x1∵-x12+2x∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．17．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．(1)求二次函数的表达式；(2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；(3)在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．【分析】(1)设二次函数表达式为：y＝ax2，将(2，1)代入上式，即可求解；(2)△PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM＝4，故PF＝23，即可求解；(3)在Rt△FQE中，EN=(2-1)2+(1-【解析】(1)∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将(2，1)代入上式并解得：a=1故二次函数表达式为：y=14x(2)将y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故点M、则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝23；∵点F(0，1)，∴点P的坐标为(0，1+23)或(0，1﹣23)；(3)假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q(1，1)，故点E在FN的中垂线上．∴点E是FN的中垂线与y=14x∴y=14×12=14EN=(2-1同理EF=(1-0点E到直线y＝﹣1的距离为|14-(﹣1)|故存在点E，使得以点E为圆心半径为54的圆过点F，N且与直线y18．我们把方程(x﹣m)2+(y﹣n)2＝r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1，﹣2)、半径长为3的圆的标准方程是(x﹣1)2+(y+2)2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为(8，0)，与y轴相切于点D(0，4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为E．(1)求⊙C的标准方程；(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．【分析】(1)如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．在Rt△BCM中，利用勾股定理求出半径以及点C的坐标即可解决问题．(2)结论：AE是⊙C的切线．连接AC，CE．求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE＝90°即可解决问题．【解析】(1)如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D(0，4)，∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B(8，0)，∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+(8﹣r)2，解得r＝5，∴C(5，4)，∴⊙C的标准方程为(x﹣5)2+(y﹣4)2＝25．(2)结论：AE是⊙C的切线．理由：连接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A(2，0)，B(8，0)设抛物线的解析式为y＝a(x﹣2)(x﹣8)，把D(0，4)代入y＝a(x﹣2)(x﹣8)，可得a=1∴抛物线的解析式为y=14(x﹣2)(x﹣8)=14x2-52x+4=∴抛物线的顶点E(5，-9∵AE=32+(94)2∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．19．如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A(﹣1，0)和点C(0，3)与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【分析】(1)把点A(﹣1，0)和点C(0，3)代入y＝ax2+94x+c求出a与(2)①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q(332，32)，把x=332代入②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q(-332，32)，把x=-332(3)求出B(4，0)，待定系数法得出BC直线的解析式y=-34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P(【解析】(1)把点A(﹣1，0)和点C(0，3)代入y＝ax2+94x+c得：解得：a=-3∴抛物线的解析式为：y=-34x2+(2)不存在，理由如下：①当点Q在y轴右边时，如图1所示：假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，∵点C(0，3)，∴OC＝3，则OH=12OC=3∴QH＝OH•tan60°=3∴Q(332，把x=332代入y=-34得：y=27∴假设不成立，∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，∵点C(0，3)，∴OC＝3，则OT=12OC=3∴QT＝OT•tan60°=3∴Q(-332把x=-332代入y=-34得：y