专题7二次函数与菱形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案

挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题7二次函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.

【例1】(2021•山西)综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC．(1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．【例2】(2021•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D(﹣4，5)两点，且与直线DC交于另一点E．(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】(2021•娄底)如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求b、c的值；(2)点P(m，n)为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．【例4】(2021•湘潭)如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．(1)求二次函数解析式；(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【例5】(2021•鄂尔多斯)如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)连接AC，直线x＝m(﹣4＜m＜0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题组一】1．(2020•师宗县一模)如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；(3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2020•葫芦岛三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(﹣1，0)，B(4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；(3)点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2020•碑林区校级一模)已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点(1，15)和(0，8)，顶点为M，抛物线L关于原点O对称的抛物线为L′，点M的对应点为点N．(1)求抛物线L的表达式及点M的坐标；(2)点P在抛物线L′上，点Q在抛物线L上，且四边形PMQN为周长最小的菱形，求点P的坐标．4．(2021•渝中区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．(1)求B、C两点的坐标；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【题组二】5．(2021•淮安区一模)如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BG，求△BGD的面积最大值；(3)如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值：t＝20﹣8或．6．(2020•市中区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)与x轴相交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点．点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B′、C′．(1)若a＝1，求原抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；(3)探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．7．(2020•郫都区模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点．点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．(1)若原抛物线经过点(﹣2，5)，求原抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；(3)探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．8．(2020秋•九龙坡区校级月考)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A(﹣1，0)、B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将直线BC向右平移74个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T【题组三】9．(2020•洛阳模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A(1，0)，B(5，0)，与y轴相交于点(1)求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．(3)在(2)中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．10．(2021•两江新区模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，连接AC、BC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线上B，C两点间有一动点P(点P不与B、C两点重合)，过点P作AC的平行线，交BC于点G，求PG的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A，C，M，N为顶点的四边形是以AC为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．(2020•中山区模拟)如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(﹣5，﹣4)，与x轴交于点B(﹣2，0)，(1)二次函数的表达式；(2)原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转180°，得到新的抛物线与x轴的一个交点为点C，若新抛物线上存在一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，求新抛物线的表达式．12．(2021•渝中区校级自主招生)如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．(1)如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线上一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求PN+NM+MG的最小值；(2)如图2，连接AC，将△AOC向右平移得△A′O′C′，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O'C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面内是否存在一点Q，使得以点C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题组四】13．(2021•齐齐哈尔三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c(a≠0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解(OA＜OB)，点D(2，m)在抛物线上．(1)求抛物线的解析式及m的值；(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝2；(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了9个单位；(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．14．(2020•吉安模拟)如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1(m≥1)和二次函数L2：y＝﹣m(x﹣3)2+4m﹣1(m≥1)图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．(1)函数y＝mx2+2mx﹣3m+1(m≥1)的顶点坐标为(﹣1，﹣4m+1)；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是﹣1＜x＜3；(2)当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？15．(2020•连山区三模)如图①，直线AB：y=3x+23与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE⊥AC(1)求此抛物线的函数关系式；(2)求线段PE长度的最大值；(3)如图②，延长PE交x轴于点F，连接OP，若△OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．16．(2021•交城县二模)实践与探究如图1，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4，0)，抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2，m)且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．(1)求m的值及该抛物线的解析式；(2)P(x，y)是抛物线上的一点，若△ADP与△ADC的面积相等，求出所有符合条件的点P的坐标．(3)点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．【题组五】17．(2021•山西模拟)综合与探究．如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PF∥AD，交x轴于点F，PE∥x轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．(1)求直线AD的表达式及点C的坐标；(2)当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，求m的值；(3)试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．(2021•宜宾二模)如图，抛物线与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)，交y轴于C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．19．(2021•万柏林区模拟)如图1，一次函数y＝x﹣4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．(1)求二次函数的表达式；(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；(3)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．(2019•越秀区校级一模)如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y=-12x-12交于x轴上的一点A，和另一点(1)求抛物线C1的解析式；(2)点P是抛物线C1上的一个动点(点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点)PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；(3)如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．【题组六】21．(2021•鞍山一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；(3)在(2)的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D(点D在第二象限)，点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．22．(2021•诸城市三模)如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A(﹣2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．(1)求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．23．(2021秋•九龙坡区校级月考)如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．24．(2021•罗湖区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．且点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是抛物线上第一象限内的一个点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(3)若(2)中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题7二次函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.

【例1】(2021•山西)综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC．(1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．【分析】(1)解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，即可得直线AC，BC的函数表达式；(2)①设点D的坐标为(m，﹣m﹣6)，其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝(m﹣2)2+(m+6)2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+(﹣m﹣6+6)2＝2m2，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解；②设点D的坐标为(m，﹣m﹣6)，其中﹣6＜m＜0，由直线l∥BC可设直线BC的解析式为y＝3k+b，由点D的坐标可得b＝﹣4m﹣6，则M(﹣2，﹣4m﹣12)，根据AC的函数表达式可得N(﹣2，﹣4)，求出MN，根据S△DMN＝S△AOC可求得m，求出点D，点M的坐标，即可得DM的长．【解析】(1)当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A(﹣6，0)，B(2，0)，当x＝0时，y＝﹣6，∴C(0，﹣6)，∵A(﹣6，0)，C(0，﹣6)，∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B(2，0)，C(0，﹣6)，∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；(2)①存在：设点D的坐标为(m，﹣m﹣6)，其中﹣6＜m＜0，∵B(2，0)，C(0，﹣6)，∴BD2＝(m﹣2)2+(m+6)2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+(﹣m﹣6+6)2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴(m﹣2)2+(m+6)2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0(舍去)，∴点D的坐标为(﹣4，﹣2)，∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为(﹣6，﹣8)；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2(舍去)，∴点D的坐标为(﹣2，2﹣6)，∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为(2﹣2，2)；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(﹣6，﹣8)或(2﹣2，2)；②设点D的坐标为(m，﹣m﹣6)，其中﹣6＜m＜0，∵A(﹣6，0)，B(2，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，∴设直线l的解析式为y＝3x+b，∵点D的坐标(m，﹣m﹣6)，∴b＝﹣4m﹣6，∴M(﹣2，﹣4m﹣12)，∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N(﹣2，﹣4)，∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，∵S△DMN＝S△AOC，∴(﹣4m﹣8)(﹣2﹣m)＝×6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1(舍去)，∴点D的坐标为(﹣5，﹣1)，∴点M的坐标为(﹣2，8)，∴DM＝＝3，答：DM的长为3．【例2】(2021•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D(﹣4，5)两点，且与直线DC交于另一点E．(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)求出点B的坐标为(1，0)，再用待定系数法即可求解；(2)以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q)，且BE＝EF(BE＝EQ)，即可求解；(3)由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′(﹣1，0)，将点B′向左平移1个单位得到点B″(﹣2，0)，连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．【解析】(1)由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为(1，0)，则，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；(2)存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为(2，5)，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为(﹣1，m)，由点B、E的坐标得，BE2＝(2﹣1)2+(5﹣0)2＝26，设点Q的坐标为(s，t)，∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q)，且BE＝EF(BE＝EQ)，则或，解得或，故点F的坐标为(﹣1，5+)或(﹣1，5﹣)或(﹣1，)或(﹣1，﹣)；(3)存在，理由：由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′(﹣1，0)，将点B′向左平移1个单位得到点B″(﹣2，0)，连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y＝(x+2)，当x＝﹣1时，y＝(x+2)＝，故点M的坐标为(﹣1，)，则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+＝+1．【例3】(2021•娄底)如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求b、c的值；(2)点P(m，n)为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．【分析】(1)由交点式结合点A、B坐标求出解析式，从而得到b、c；(2)①设点P、Q的坐标，把PQ线段用含有m的式子表示，借助二次函数求出P点到直线l：y＝x的距离最大时的m的值；②利用平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”结合点坐标求解．【解析】(1)由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，得：，解得：，∴y＝x2﹣2x﹣3，∴b＝﹣2，c＝﹣3．(2)①∵点P(m，n)在抛物线上y＝x2﹣2x﹣3，∴P(m，m2﹣2m﹣3)，∴PQ＝m﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2+3m+3＝﹣(m﹣)2+，∵过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q，∴Q(m，m)，设点P到直线y＝x的距离为h，∵直线y＝x是一三象限的角平分线，∴PQ＝h，∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，PQ取得最大值，∴当m＝时，PQ有最大值，∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，m的值为．②∵抛物线与y轴交于点C，∴x＝0时，y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，∵OC∥PQ，且以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，∴PQ＝OC，又∵OC＝3，PQ＝|﹣m2+3m+3|，∴3＝|﹣m2+3m+3|，解得：m1＝0，m2＝3，m3＝，m4＝，当m1＝0时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去；当m2＝3时，P(3，0)，Q(3，3)，此时，四边形OCPQ是平行四边形，OQ＝，∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；当m3＝时，Q(，)，此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ＝，∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；当m4＝时，Q(，)，此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ＝，∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；综上所述：不存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．【例4】(2021•湘潭)如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．(1)求二次函数解析式；(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y＝x﹣可求出A(3，0)，B(0，﹣)，代入二次函数y＝x2+bx+c即得二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；(2)由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P(1，m)，Q(n，n2﹣n﹣)，而C与B关于直线x＝1对称，可得C(2，﹣)，①当BC、PQ为对角线时，，可得，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P(1，﹣)，B(0，﹣)，C(2，﹣)可得PB＝PC，即得此时Q(1，﹣)；②BP、CQ为对角线时，同理可得Q(﹣1，0)；③以BQ、CP为对角线，同理可得Q(3，0)．【解析】(1)在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A(3，0)，B(0，﹣)，∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；(2)存在，理由如下：由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P(1，m)，Q(n，n2﹣n﹣)，而B(0，﹣)，∵C与B关于直线x＝1对称，∴C(2，﹣)，①当BC、PQ为对角线时，如图：此时BC的中点即是PQ的中点，即，解得，∴当P(1，﹣)，Q(1，﹣)时，四边形BQCP是平行四边形，由P(1，﹣)，B(0，﹣)，C(2，﹣)可得PB2＝＝PC2，∴PB＝PC，∴四边形BQCP是菱形，∴此时Q(1，﹣)；②BP、CQ为对角线时，如图：同理BP、CQ中点重合，可得，解得，∴当P(1，0)，Q(﹣1，0)时，四边形BCPQ是平行四边形，由P(1，0)，B(0，﹣)，C(2，﹣)可得BC2＝4＝PC2，∴四边形BCPQ是菱形，∴此时Q(﹣1，0)；③以BQ、CP为对角线，如图：BQ、CP中点重合，可得，解得，∴P(1，0)，Q(3，0)时，四边形BCQP是平行四边形，由P(1，0)，B(0，﹣)，C(2，﹣)可得BC2＝4＝PC2，∴四边形BCQP是菱形，∴此时Q(3，0)；综上所述，Q的坐标为：(1，﹣)或(﹣1，0)或(3，0)．【例5】(2021•鄂尔多斯)如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)连接AC，直线x＝m(﹣4＜m＜0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A(﹣4，0)，B(2，0)，令x＝0，得y＝﹣8，可得C(0，﹣8)；(2)利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，根据题意得E(m，m2+2m﹣8)，D(m，﹣2m﹣8)，即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；(3)分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N(﹣1，﹣6)，根据CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M(0，﹣8+a)，P(﹣1，﹣6﹣a)，建立方程求解即可；③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P(﹣1，b)，则N(1，b)，M(0，2b+8)，根据N(1，b)在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．【解析】(1)在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A(﹣4，0)，B(2，0)，令x＝0，得y＝﹣8，∴C(0，﹣8)；(2)设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A(﹣4，0)，C(0，﹣8)，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵直线x＝m(﹣4＜m＜0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，∴E(m，m2+2m﹣8)，D(m，﹣2m﹣8)，∴DE＝﹣2m﹣8﹣(m2+2m﹣8)＝﹣m2﹣4m，设DE交x轴于点F，则F(m，0)，∴OF＝﹣m，∴AF＝m﹣(﹣4)＝m+4，DF＝2m+8，∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴△ACO∽△DOF，∴＝，∴OC•DF＝OA•OF，∴8(2m+8)＝4(﹣m)，解得：m＝﹣，∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣(﹣)2﹣4×(﹣)＝；(3)存在，如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝(x+1)2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N(﹣1，﹣6)，CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1(0，﹣8+)，M2(0，﹣8﹣)；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M(0，﹣8+a)，P(﹣1，﹣6﹣a)，∴(﹣1﹣0)2+(﹣6﹣a+8)2＝a2，解得：a＝，∴M3(0，﹣)，③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P(﹣1，b)，则N(1，b)，M(0，2b+8)，∵N(1，b)在直线y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4(0，﹣12)，综上所述，点M的坐标为：M1(0，﹣8+)，M2(0，﹣8﹣)，M3(0，﹣)，M4(0，﹣12)．【题组一】1．(2020•师宗县一模)如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；(3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)先求出点B，点C坐标，代入解析式可求解；(2)由抛物线的对称性可得AM＝BM，点A(1，0)，由四边形COAM周长＝OC+OA+AM+CM＝4+BM+CM，则点B，点M，点C三点共线时，BM+CM有最小值为BC的长，即四边形COAM周长的最小值＝4+BC，由勾股定理可求解；(3)由菱形的性质可得△CPM是等腰三角形，分三种情况讨论，由两点距离公式可求解．【解析】(1)∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，∴点B(3，0)，点C(0，3)，∵抛物线y＝x2+bx+c经过B，C两点，∴9+3b+c=0c=3解得b=-4c=3∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；(2)如图，连接AM，∵y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点A与点B关于对称轴对称，∴AM＝BM，点A(1，0)，∵点C(0，3)，点A(1，0)，点B(3，0)，∴OA＝1，OC＝3，OB＝3，∵四边形COAM周长＝OC+OA+AM+CM，∴四边形COAM周长＝4+BM+CM，∴当点B，点M，点C三点共线时，BM+CM有最小值为BC的长，∴四边形COAM周长的最小值＝4+BC，∵BC=OC2+OB∴四边形COAM周长的最小值＝4+32；(3)∵y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1，∴顶点P(2，﹣1)，又∵点C(0，3)，∴PC=22+(-1-3)设点M(2，t)，∴MC=(2-0)MP＝|t+1|，∵以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形，∴△CPM是等腰三角形，若MC＝MP，则t2-6t+13=∴t=3∴点M(2，32若MP＝PC，则25=|t∴t1＝﹣1+25，t2＝﹣1﹣25，∴点M(2，﹣1+25)或(2，﹣1﹣25)；若MC＝PC，则t2-6t+13=解得：t3＝﹣1(不合题意舍去)，t4＝7，∴点M(2，7)；综上所述：点M的坐标为(2，32)或(2，7)或(2，﹣1+25)或(2，﹣1﹣25【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．(2020•葫芦岛三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(﹣1，0)，B(4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；(3)点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，证明△DEF∽△AEG，列比例式可得DF的长，设D(t，-34t2+(3)分三种情况：以AC为边和对角线进行讨论，正确画图，先确定点P的坐标，根据平移的原则可得点Q的坐标．【解析】将A(﹣1，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx+3，得a-b+3=016a+4b+3=0，解得a=-∴解析式为y=-3(2)当x＝0时，y=-3∴C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B(4，0)，C(0，3)分别代入得4k+b=0c=3，解得：k=-∴直线BC的解析式为：y=-3过点D作y轴的平行线，交直线BC与点F，交x轴于点H，过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，∵A(﹣1，0)，∴当x＝﹣1时，y=-3∴G(-1，154)∵AG∥y轴∥DF，∴△DEF∽△AEG，∴DEAE∴DF15∴DF＝3，设D(t，-34t∴DF=(-3解得：t1＝t2＝2，∴D(2，9∴DH=92，在Rt△ADH中，tan∠DAB=DH(3)存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，设P(x，-34∵A(﹣1，0)，C(0，3)，∴x2解得：x=±4当x=-4105时，P(-∴Q(-4105当x=4105时，P(4∴Q(4105-②如图3，四边形APCQ是菱形，∵BC＝AB＝5，∴B在AC的垂直平分线上，∴P与B重合，∴Q(﹣5，3)；③如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P(85，9∴Q(135，24综上，点Q的坐标为(-4105-1，3105)或(410【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和平移的原则，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，G的坐标；(3)分AC为边和对角线进行讨论是关键．3．(2020•碑林区校级一模)已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点(1，15)和(0，8)，顶点为M，抛物线L关于原点O对称的抛物线为L′，点M的对应点为点N．(1)求抛物线L的表达式及点M的坐标；(2)点P在抛物线L′上，点Q在抛物线L上，且四边形PMQN为周长最小的菱形，求点P的坐标．【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)求出M，M′的坐标，利用菱形的性质可知MM′⊥PQ，求出直线PQ的解析式，构建方程组确定点P的坐标，再根据周长最小，判定点P的坐标即可解决问题．【解析】(1)∵y＝x2+bx+c经过点(1，15)和(0，8)，∴c=81+b+c=15解得b=6c=8∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+8，∵抛物线L：y＝x2+6x+8＝(x+3)2﹣1，∴顶点M(﹣3，﹣1)，(2)∵抛物线L′与抛物线L关于原点对称，抛物线L的顶点M(﹣3，﹣1)，∴抛物线L′的顶点M′(3，1)，解析式为y＝﹣(x﹣3)2+1＝﹣x2+6x﹣8∵四边形PMQM′是菱形，∴PQ⊥MM′，∵直线MM′的解析式为y=13∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x，由y=-3xy=-x2+6x-8，解得∴P(1，﹣3)或(8．﹣24)．∵菱形PMQM′的周长最小，∴P(1，﹣3)．【点评】本题考查二次函数综合题，菱形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数，确定交点问题，属于中考压轴题．4．(2021•渝中区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．(1)求B、C两点的坐标；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)分别令x＝0，y＝0即可求得B点、C点坐标；(2)设出点P坐标(m，)，表示出点E、F坐标后，EF的长可表示EF＝，得到关于m的二次函数表达式求最值即可；(3)分两种种情况：BC为菱形的边，BC为菱形对角线分别求解即可．【解析】(1)令x＝0，则＝2，解得点C坐标为(0，2)，令y＝0，即，解得：x＝4或﹣1，∴点B坐标为(4，0)．(2)设直线BC解析式为y＝kx+b，代入点B、点C坐标，得：，解得：．∴直线BC解析式为y＝x+2．设P坐标为(m，)，则E坐标为(m，m+2)，其中0≤m≤4．设点F横坐标为xF，纵坐标yF＝，令•xF+2＝，解得：xF＝m2﹣3m．∴PE＝﹣(m+2)＝，PF＝m﹣(m2﹣3m)＝﹣m2+4m．∴EF＝＝＝＝＝＝＝＝．∵，则当m＝2时，EF有最大值，此时点P坐标为(2，3)．(3)存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形．点Q坐标为(﹣2，6)或(﹣2，﹣2)或(6，4)或(6，﹣4)，理由如下：∵OA＝1，OC＝2，∴AC＝．又∵，∴抛物线沿着射线AC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右移动个单位，向上移动1个单位．∵原抛物线对称轴方程为x＝，∴新抛物线对称轴方程为x＝+＝2．设点N坐标为(2，n)、点Q坐标为(a，b)．当BC为菱形的边时：①以点B为圆心，BC为半径画圆交对称轴x＝2于点N1、N2.如图1．此时，BC＝BN1＝BN2＝＝2．∴，即，解得：MN1＝4．故点N1坐标为(2，4)，同理可得点N2坐标为(2，﹣4)．由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴点Q1坐标为(﹣2，6)，Q2(﹣2，﹣2)．②以点C为圆心，CB为半径画圆交对称轴x＝2于点N3、N4，作N3P⊥y轴于点P，如图2．此时CB＝CN3＝CN4＝，PN3＝2，PC＝＝＝4，故点N3坐标为(2，6)，同理可得N4坐标为(2，﹣2)．由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴点Q3坐标为(6，4)，Q4(6，﹣4)．当BC为菱形的对角线时，则NQ为另一对角线，BC垂直平分NQ，此时BC中点坐标为(2，1)，又N(2，n)且NC＝NB，则N点必与BC中点重合，∴此时不存在点Q，则不能构成菱形．综上所述，点Q坐标为(﹣2，6)或(﹣2，﹣2)或(6，4)或(6，﹣4)．【题组二】5．(2021•淮安区一模)如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BG，求△BGD的面积最大值；(3)如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值：t＝20﹣8或．【分析】(1)由矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)，可得顶点D的坐标，点D又是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为顶点式，将点B的坐标代入该解析式，即可求出系数a的值，从而求得抛物线的解析式；(2)设点G的横坐标为x，用含x的代数式表示点G、点E的纵坐标及线段EG的长，由S△BGD＝AD•EG得出关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出△BGD面积的最大值；(3)存在符合条件的菱形，分两种情况，一是以BE为一边，则点H在AD边上，由相似三角形的性质及BQ＝FQ＝t列方程求出t的值；一是以BE为对角线，仍可由相似三角形的性质列方程求出t的值．【解析】(1)∵矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)，∴D(﹣1，4)，由抛物线的顶点为D(﹣1，4)，设抛物线的解析式为y＝a(x+1)2+4，∵抛物线经过点B(﹣3，0)，∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝﹣(x+1)2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；(2)如图1，设直线BD的解析式为y＝kx+d，则，解得，∴y＝2x+6，设G(x，﹣x2﹣2x+3)(﹣3＜x＜﹣1)，则E(x，2x+6)，∴GE＝﹣x2﹣2x+3﹣(2x+6)＝﹣x2﹣4x﹣3，∵AD＝﹣1﹣(﹣3)＝2，∴S△BGD＝GE•AF+GE•DF＝GE•AD＝×2(﹣x2﹣4x﹣3)＝﹣(x+2)2+1，∴当x＝﹣2时，S△BGD最大＝1，∴△BGD面积的最大值为1．(3)存在．如图2，菱形BQHE以BE为一边.由题意，得BQ＝PD＝EF＝t，∵PQ∥EF，∴四边形BQFE是平行四边形，∴当BQ＝QF＝t时，四边形BQFE是菱形，此时点H与点F重合．∵QF∥BD，∴∠AQF＝∠QBD，∵AD＝2，AB＝4，∠A＝90°，∴BD＝＝2．∴，∴AQ＝QF＝t，∴t+t＝4，解得t＝20；如图3，菱形BQEH以BE为对角线，连结QH交BE于点R，则QH⊥BE，BR＝ER，∴∠BRQ＝90°，∴，∴BR＝t；同理，，∴DE＝PD＝t，∴2×t+t＝2，解得t＝．综上所述，t＝20或t＝．故答案为：20或．6．(2020•市中区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)与x轴相交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点．点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B′、C′．(1)若a＝1，求原抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；(3)探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．【分析】(1)根据原抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，即可求出原抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，证明四边形BCB'C′是平行四边形，面积为40，即可求m的值；(3)过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，得MO•MD＝BO•CD．由二次函数y＝a(x+1)(x﹣3)的顶点为(1，﹣4a)，M(0，m)，B(3，0)，可得CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出a满足的条件．【解析】(1)由题意得：1-b+c=09+3b+c=0解得b=-2c=-3∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；(2)连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为(1，﹣4)，∴C(1，﹣4)，∵B(3，0)，∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．∴E(0，﹣6)，∵抛物线绕点M旋转180°，∴MB＝MB′，MC＝MC′，∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴S△BCM=1∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE=12×(3﹣1)×ME∴ME＝10，∴m＝4或m＝﹣16；(3)如图，过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，∴MOCD即MO•MD＝BO•CD．∵二次函数y＝a(x+1)(x﹣3)的顶点为(1，﹣4a)，M(0，m)，B(3，0)，∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，∴﹣m(m+4a)＝3，∴m2+4am+3＝0，∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，∴a≥3所以a≥32时，存在点M，使得四边形BCB'【点评】本题考查了二次函数综合题，解决本题的关键是综合运用二次函数、平行四边形、菱形的相关知识．7．(2020•郫都区模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点．点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．(1)若原抛物线经过点(﹣2，5)，求原抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；(3)探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．【分析】(1)根据原抛物线经过点(﹣2，5)，A(﹣1，0)，B(3，0)，即可求出原抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，证明四边形BCB'C′是平行四边形，面积为40，即可求m的值；(3)过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，得MO•MD＝BO•CD．由二次函数y＝a(x+1)(x﹣3)的顶点为(1，﹣4a)，M(0，m)，B(3，0)，可得CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出a满足的条件．【解析】(1)由题意得：4a-2b+c=5a-b+c=0解得a=1b=-2∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；(2)连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为(1，﹣4)，∴C(1，﹣4)，∵B(3，0)，∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．∴E(0，﹣6)，∵抛物线绕点M旋转180°，∴MB＝MB′，MC＝MC′，∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴S△BCM=1∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE=12×(3﹣1)×ME∴ME＝10，∴m＝4或m＝﹣16；(3)如图，过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，∴MOCD即MO•MD＝BO•CD．∵二次函数y＝a(x+1)(x﹣3)的顶点为(1，﹣4a)，M(0，m)，B(3，0)，∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，∴﹣m(m+4a)＝3，∴m2+4am+3＝0，∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，∴a≥3所以a≥32时，存在点M，使得四边形BCB'【点评】本题考查了二次函数综合题，解决本题的关键是综合运用二次函数、平行四边形、菱形的相关知识．8．(2020秋•九龙坡区校级月考)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A(﹣1，0)、B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将直线BC向右平移74个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T【分析】(1)将A(﹣1，0)、B(4，0)代入抛物线公式即可求得a，b．(2)过P点做平行于直线BC的直线K，当K与抛物线恰有一个交点时，△PBC面积最大，求得此时的P点坐标．再过P做垂直于直线BC的直线k，求得k与直线BC的交点，求得交点后发现，此时恰巧交点时C，|BC|即为△PBC的高，再利用三角形面积公式即可求解．(3)考查菱形的性质．菱形是一个极具对称性的图形，在进行求解时，对角线互相垂直平分．因此，两个相对点的坐标中点也是另外两个相对点的坐标中点．同时，利用菱形的四条边长相等进行求解．【解析】(1)将A(﹣1，0)、B(4，0)代入抛物线公式，如下：0=a-b+40=16a+4b+4求得a=-1b=3抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x+4．(2)设P到直线BC的距离为d，P点坐标为(x，﹣x2+3x+4)(0＜x＜4)，∵y＝﹣x2+3x+4交y轴于点C，令x＝0，∴y＝4，∴C(0，4)，由B(4，0)，C(0，4)两点求得直线BC的解析式为：y+x﹣4＝0．做直线BC的平行线K：y＝﹣x+m，因为K与BC平行，我们将K平移，根据题意，点P是直线BC上方抛物线上的一点，∴随着K平行移动，以BC为底的△PBC的高d在逐渐增大，当K与抛物线y＝﹣x2+3x+4恰有一个交点时，此时以BC为底的△PBC的高d最大，即此时△PBC面积最大．∵此时K：y＝﹣x+m与抛物线y＝﹣x2+3x+4相交，且仅有一个交点，∴﹣x+m＝﹣x2+3x+4，m＝8．∴直线K：y＝﹣x+8．此时求K和抛物线的交点为：﹣x+8＝﹣x2+3x+4，解得x＝2，将x＝2代入直线K：y＝﹣x+8，解得y＝6．因此P(2，6)．现在我们来求P到直线BC的距离，即△PBC的高d：过P作垂直于BC的直线k：y＝x+m．∵P在直线k上，∴6＝2+m，∴m＝4，直线k＝x+4．直线K与直线k的交点为：y=-x+4y=x+4解得交点坐标(0，4)，即交点为C点．因此的△PBC的高d即为B点和C点两点之间的距离，∴d＝|BC|=(2-0在△PBC中，∵|BC|＝42，△PBC的面积的最大值S△PBC=12|BC|•d(3)存在．直线BC向右平移74个单位得到直线l∴l：y＝﹣(x-74)+4＝﹣xy=-x+234y=-二次函数y＝﹣x2+3x+4对称轴为x=3∵直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，∴x=72，代入y＝﹣x∴Q(72设T(a，b)．∵R为直线BC上的一动点，∴设R(x，﹣x+4)．(Ⅰ)假设T在Q点左侧：∴a＜7此时P(2，6)，T(a，b)为菱形对称顶点，Q(72，94)，R(在菱形中PTQR中，|PR|＝|QT|，即(2-x)又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：2+a2=由①，②解得a1=3.5387b又∵a＜7∴此时T点坐标为：T(﹣0.5387，2.2887)．(Ⅱ)假设T在Q点右侧：∴a＞7此时P(2，6)，Q(72，94)为菱形对称顶点，T(a，b)，R(在菱形PTQR中，|PR|＝|PT|，即(a-2)2又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：6+94由③，④解得a=26956＞7此时T点坐标为：T(26956，277综上所述：T存在两点，分别为：T(﹣0.5387，2.2887)和T(26956，277【点评】此题主要考查二次函数性质，同时还考查了三角形的面积，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．同时对于菱形的求解，注意利用对称性求解．【题组三】9．(2020•洛阳模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A(1，0)，B(5，0)，与y轴相交于点(1)求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．(3)在(2)中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A，B两点代入可求解析式．(2)分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离．(3)构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+52过点A(1，0)，∴0＝a+b+0＝25a+5b+∴a=12，∴解析式y=12x2﹣3(2)当y＝0，则0=12x2﹣3∴x1＝5，x2＝1∴A(1，0)，B(5，0)∴对称轴直线x＝3，顶点坐标(3，﹣2)，AB＝4∵抛物线与y轴相交于点C．∴C(0，52如图1①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的横坐标为3∴F的横坐标为7或﹣1∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB∴EM＝23∴F(7，23)，或(﹣1，23)∴当x＝7，y=12×∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣23②如AB为对角线，如图2∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4∴AB⊥EF，EM＝MF＝23∴F(3，﹣23)∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+23(3)当F(3，﹣23)时，点F到二次函数图象的垂直距离最小如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，作PN⊥AB于P∵等边三角形BQD∴QD＝QB＝BD，∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．∵AF＝BF＝4＝AB，∴∠ABF＝60°∴∠NBP＝60°且BN＝4，∴BP＝2，PN＝23∴AP＝6在Rt△ANP中，AN=36+12=∴AQ+BQ+FQ的和最短值为43．【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，菱形的性质，勾股定理等有关知识，关键是构造三角形转化BQ，和BQ的长．10．(2021•两江新区模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，连接AC、BC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线上B，C两点间有一动点P(点P不与B、C两点重合)，过点P作AC的平行线，交BC于点G，求PG的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A，C，M，N为顶点的四边形是以AC为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)已知三点坐标求函数解析式，代入坐标解方程组即可．本题也可以根据A，B坐标特征设交点式求解．(2)如图，过点F作PE∥y轴交BC于点E，用斜化直的策略将PF表示PG的长，进而用点P坐标表示成函数，借助二次函数求最值的方法求解PG的最大值．(3)菱形的存在性问题先转化为求以AC为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可．【解析】(1)设抛物线为y＝a(x+1)(x﹣3)，代入点C(0，﹣3)得﹣3a＝﹣3，解得a＝1．∴y＝(x+1)(x﹣3)＝x2﹣2x﹣3．(2)如图1，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作GF⊥PE于点F．又OC＝OB＝3，则∠OCB＝∠GEP＝45°．∵AC∥PG∴∠ACB＝∠CGP．即∠ACO+∠OCB＝∠GEP+∠GPE，∴∠ACO＝∠GPE．∴tan∠GPE＝tan∠ACO＝，∴，∴PF＝3GF．又∠GEF＝45°，∴EF＝GF．∴PE＝PF+EF＝4GF．又在Rt△GFP中，由勾股定理得：PG＝．∴PG＝．设点P(t，t2﹣2t﹣3)∵B(3，0)，C(0，﹣3)∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，∴点E坐标为(t，t﹣3)∴PE＝yE﹣yP＝t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)＝﹣t2+3t，∴PG＝(﹣t2+3t)＝，∵﹣＜0，∴当t＝时，PG有最大值，此时点P()．(3)依题意，抛物线沿射线BC平移个单位即抛物线向右平移1个单位，向上平移1个单位．平移后抛物线解析式为：y＝(x﹣2)2﹣3，对称轴为直线x＝2．故设点M(2，m)，又A(﹣1，0)，C(0，﹣3)．∴AC＝，AM＝，CM＝．由题意知，以AC为腰的等腰三角形△ACM有两种情况：①如图2，当AC＝AM时，m1＝1，m2＝﹣1．M1(2，1)，M2(2，﹣1)．由平行四边形对角线互相平分可知：∴N1(3，﹣2)，N2(3，﹣4)②如图3，当CA＝CM，m3＝，m4＝﹣3﹣．M3(2，﹣3+)，M4(2，﹣3﹣)．∴N3(1，)，N4(1，﹣)，综上：使以AC为边的菱形的N点有：N1(3，﹣2)，N2(3，﹣4)，N3(1，)，N4(1，﹣)．11．(2020•中山区模拟)如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(﹣5，﹣4)，与x轴交于点B(﹣2，0)，(1)二次函数的表达式；(2)原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转180°，得到新的抛物线与x轴的一个交点为点C，若新抛物线上存在一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，求新抛物线的表达式．【分析】(1)根据二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(﹣5，﹣4)，与x轴交于点B(﹣2，0)，可以设该抛物线的顶点式，然后再根据过点B，即可求得该抛物线的解析式；(2)根据题意，可以分四种情况讨论，然后画出相应的图形，利用旋转的性质和菱形的性质，即可求得相应的抛物线的解析式．【解析】(1)设该函数的解析式为y＝a(x+5)2﹣4，∵该函数过点B(﹣2，0)，∴0＝a(﹣2+5)2﹣4，解得，a=4∴y=49(x+5)2﹣4即该函数的表达式是y=4(2)∵A(﹣5，﹣4)，B(﹣2，0)，∴AB＝5，以点A、B、C、D为顶点且以AB为边的四边形是菱形，有两种情况，第一种情况：当点D在x轴上方时，∵以点A、B、C、D为顶点且以AB为边的四边形是菱形，且点C在x轴上，∴AB＝AC＝5，当点C在B左侧时，∵点A为原抛物线的上的顶点，由抛物线的对称性可知，点C为原抛物线与x轴另外的一个交点，如图所示：∴点C(﹣8，0)，此时点D与点A关于x轴对称，∴点D(﹣5，4)，设新抛物线的解析式为y＝a(x+5)2+4，∵该抛物线经过点C(﹣8，0)，∴0＝a(﹣8+5)2+4，得a=-4∴新抛物线的解析式为y=-49(x+5)当点C在B的右侧时，此时点C与点B重合，不合题意；第二种情况：当点D在x轴下方时，若AB为菱形的边时，BC＝AB＝5，当C在B的右侧时，如图，点C′坐标为(3，0)，∵B、D′关于菱形中心对称、A、C′关于菱形中心对称，∴C′是新抛物线的顶点，又∵AD′＝AB＝5，∴D′(0，﹣4)，设新抛物线的解析式为y＝a(x﹣3)2，﹣4＝a(0﹣3)2，得a=-4则新抛物线的解析式为y=-49(x﹣3)同理，当点C在B点左侧时，点C″的坐标为(﹣7，0)，且点C″是新抛物线的顶点坐标，点D″的坐标为(﹣10，﹣4)，设新抛物线的解析式为y＝a(x+7)2，﹣4＝a(﹣10+7)2，得a=-4则新抛物线的解析式为y=-49(x+7)若AB为菱形的对角线时，则CD也是菱形的对角线，当点A和点D对应时，则点D为新抛物线的顶点，∵原抛物线的顶点为A(﹣5，﹣4)，与x轴交于点B(﹣2，0)，∴原抛物线与x轴的另一个交点为(﹣8，0)，∴原抛物与x轴的两个交点之间的距离为﹣2﹣(﹣8)＝6，∵5≠6，∴此种情况不存在，同理，当点C为新抛物线的顶点时，此种情况也不存在；由上可得，新抛物线的解析式为y=-49(x+5)2+4，y=-49(x﹣3)2或y=-4【点评】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、旋转变换、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答．12．(2021•渝中区校级自主招生)如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．(1)如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线