专题01 线段周长面积最大值（含答案）-2024年中考数学压轴满分突破之二次函数篇

2024中考数学压轴题--二次函数第1节线段周长面积最大值内容导航方法点拨例题演练题组1：线段的最大值例1．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2)．(1)求抛物线的表达式；(2)线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．练1.1如图所示，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A(0，1)，B(﹣3，)，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．(1)求直线AB的解析式和二次函数的解析式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；练1.2如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(4，0)，与y轴相交于点C．(1)求该函数的表达式；(2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；题组2：周长的最大值例2．已知：如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为(﹣1，0)．(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式．(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．练2.1如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；练2.2如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣5，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点E(x，y)为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；练2.3如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．(2)如图1，点E(m，n)为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．练2.4如图1，抛物线y＝x2﹣(a+1)x+a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；练2.5综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D(m，0)为线段OA上一个动点(与点A，O不重合)，过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得PQ+PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；题组3：面积的最大值例3．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；(3)在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．练3.1如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．(1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D的坐标为(﹣1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．练3.2如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过点A(﹣1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a+1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当a＝1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．2024中考数学压轴题--二次函数第1节线段周长面积最大值中考数学压轴题--二次函数第2节将军饮马求最值1--对称内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。基本图形解析：(一)、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；(1)点A、B在直线m两侧：(2)点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。(1)两个点都在直线外侧：(2)一个点在内侧，一个点在外侧：(3)两个点都在内侧：(4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；(1)点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。(2)点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’例题演练题组1：两定点一动点问题例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，若点E是AB上一动点(点A、B除外)，连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；练1.1如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C．(1)求直线BC的解析式；(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；题组2：两动点一定点问题例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A(1，8)和点B(5，4)．(1)求抛物线和直线AB的解析式．(2)如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D．(1)如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；(2)在(1)的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．题组3：线段之差的最大值问题例3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．(1)当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；练3.1已知抛物线ω：y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为﹣5．(1)如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积．(2)如图2，连接AE，以AB，AE为边作▱AEFB，将抛物线w与▱AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w′和▱A′E′F′B′，在向上平移的过程中▱AEFB与▱A′E′F′B′重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，E′F′与BF交于点Q，在直线A′B′上有两动点P，H，且PH＝2(P在H的右边)，当|PQ﹣HC|取得最大值时，求点P的坐标．练3.2如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边)，与y轴交于点C，直线l是它的对称轴．(1)求直线l与直线AC交点的坐标；(2)如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l上找点M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．(1)求直线BC的解析式；(2)点E(m，0)，F(m+2，0)为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；内容导航方法点拨例题演练题组1：线段的最大值例1．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2)．(1)求抛物线的表达式；(2)线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．【解答】解：(1)抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A(﹣1，0)，C(0，2)．∴，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；(2)令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴B(4，0)，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P(m，﹣m+2)；则Q(m，﹣m2+m+2)，则PQ＝(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)＝﹣m2+2m＝﹣(m﹣2)2+2，此时PQ的最大值为2．练1.1如图所示，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A(0，1)，B(﹣3，)，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．(1)求直线AB的解析式和二次函数的解析式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；【解答】解：(1)设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+1；把A(0，1)，B(﹣3，)代入y＝ax2﹣x+c得，，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣x+1；(2)设点N的坐标为(m，﹣m2﹣m+1)(﹣3＜m＜0)，则点M的坐标为(m，﹣m+1)，∴MN＝﹣m2﹣m+1﹣(﹣m+1)＝﹣m2﹣m+1＝﹣(m+)2+，∴当m＝﹣时，MN取最大值，最大值为；练1.2如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(4，0)，与y轴相交于点C．(1)求该函数的表达式；(2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；【解答】解：(1)抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，即y＝ax2﹣3ax﹣4a，则﹣4a＝2，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；(2)①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，BC＝＝2，当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C(0，2)，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把C(0，2)，B(4，0)得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P(t，﹣t2+t+2)，则M(t，﹣t+2)，∴PM＝﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)＝﹣t2+2t，∵∠NBM＝∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，∴＝，即PQ＝，∴PQ＝﹣t2+t＝﹣(t﹣2)2+，∴当t＝2时，线段PQ的最大值为；题组2：周长的最大值例2．已知：如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为(﹣1，0)．(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式．(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．【解答】解：(1)直线y＝﹣x+2与x轴交于B(2，0)，与y轴交于C点(0，2)，设过A、B、C的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A(﹣1，0)、B(2，0)、C(0，2)的坐标代入，∴a＝﹣1，b＝1，c＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2，(2)设D(x，﹣x2+x+2)，F(x，﹣x+2)，∴DF＝(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)＝﹣x2+2x，所以x＝1时，DF最大＝1，∵OB＝OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y轴，∴△DEF为等腰直角三角形，∴△DEF周长的最大值为1+练2.1如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3(2)∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C∴点C坐标为(0，﹣3)∴直线BC解析式为：y＝x﹣3∵点B(3，0)，点C(0，﹣3)∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵DF∥AB，∴∠EFD＝45°＝∠OBC，∵DE⊥BC，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∴EF＝DE＝DF，∴△DEF周长＝DE+EF+DF＝(1+)DF，设点D(a，a2﹣2a﹣3)，则F(a2﹣2a，a2﹣2a﹣3)∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣(a﹣)2+∴当a＝时，DF有最大值为，即△DEF周长有最大值为(1+)×＝，练2.2如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣5，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点E(x，y)为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；【解答】解：(1)把A(﹣5，0)，B(1，0)两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x+5．(2)如图1中，∵抛物线的对称轴x＝﹣2，E(x，﹣x2﹣4x+5)，∴EH＝﹣x2﹣4x+5，EF＝﹣2﹣x，∴矩形EFDH的周长＝2(EH+EF)＝2(﹣x2﹣5x+3)＝﹣2(x+)2+，∵﹣2＜0，∴x＝﹣时，矩形EHDF的周长最大，最大值为．练2.3如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．(2)如图1，点E(m，n)为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．【解答】解：(1)当x＝0时，y＝﹣5，∴C(0，﹣5)，当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0，x1＝5，x2＝﹣1，∴A(﹣1，0)，B(5，0)，由对称性得：抛物线的对称轴是：x＝＝2；(2)如图1，∵E(m，n)，且2＜m＜5，∴E在第四象限，∴EF＝m﹣2，EH＝n＝﹣m2+4m+5，设四边形EHDF周长为W，则W＝2(EF+EH)＝2(m﹣2﹣m2+4m+5)＝﹣2m2+10m+6＝﹣2(m﹣)2+，∵﹣2＜0，∴当m＝时，四边形EHDF周长的最大值是；练2.4如图1，抛物线y＝x2﹣(a+1)x+a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；【解答】解：(1)x2﹣(a+1)x+a＝0，则x1+x2＝a+1，x1x2＝a，则AB＝＝(a﹣1)2＝16，解得：a＝5或﹣3，抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；(2)由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：(﹣3，0)、(1，0)、(0，﹣3)，设点E(m，m2+2m﹣3)，OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝﹣x+(m2+3m﹣3)…②，联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，故点F(﹣3﹣m，m2+4m)，点M、N的坐标分别为：(m，﹣m﹣3)、(﹣3﹣m，m+3)，则EF＝(xF﹣xE)＝(﹣2m﹣3)＝MN，四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣(6+4)m﹣6，∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝﹣，故点E的横坐标为：﹣；练2.5综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D(m，0)为线段OA上一个动点(与点A，O不重合)，过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得PQ+PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；【解答】解：(1)令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解方程得x1＝1，x2＝﹣3，∴A(﹣3，0)，B(1，0)令x＝0，得y＝3∴C(0，3)(2)当点D是OA的中点时，点D(﹣，0)，Q(，)，∵直线AC的解析式为y＝x+3∴P(﹣，)∴PQ＝(3)①如图，作PF⊥CO设D(m，0)，则P(m，m+3)，Q(m，﹣m2﹣2m+3)PQ+PC＝(﹣m2﹣2m+3)﹣(m+3)+(﹣m)═﹣(m+2)2+4∴当m＝﹣2时，PQ+PC有最大值4题组3：面积的最大值例3．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；(3)在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．【解答】解：(1)∵点C的横坐标为3，∴y＝×3+＝2，∴点C的坐标为(3，2)，把点C(3，2)代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝；(2)设点P(m，0)，Q(m+1，0)，由题意，点D(m，m+)m，E(m，)，G(m+1，m+1)，F(m+1，)，∵四边形DEFG为平行四边形，∴ED＝FG，∴()﹣(m+)＝()﹣(m+1)，即＝，∴m＝0.5，∴P(0.5，0)、Q(1.5，0)；(3)设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，由(2)可得，S＝()×1÷2＝(﹣m2+m+)＝，∴当m＝时，S最大值为，∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．练3.1如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．(1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D的坐标为(﹣1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y＝a(x+3)(x﹣1)＝a(x2+2x﹣3)＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，(2)连接OP，设点P(x，﹣x2﹣x+2)，则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD＝(﹣x2﹣x+2)×2×(﹣x)﹣＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；练3.2如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过点A(﹣1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a+1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当a＝1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．【解答】解：(1)∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)2+k．将A(﹣1，0)，C(0，5)代入得：，解得，∴y＝﹣(x﹣2)2+9＝﹣x2+4x+5．(2)当a＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE＝1，OF＝2．设P(x，﹣x2+4x+5)，如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝(PN+OF)•ON﹣PN•MN﹣OM•OE＝(x+2)(﹣x2+4x+5)﹣x•(﹣x2+4x+4)﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣(x﹣)2+，∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x＝时，y＝﹣(﹣2)2+9＝．此时点P坐标为(，)．中考数学压轴题--二次函数第2节将军饮马求最值1--对称内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。基本图形解析：(一)、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；(1)点A、B在直线m两侧：(2)点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。(1)两个点都在直线外侧：(2)一个点在内侧，一个点在外侧：(3)两个点都在内侧：(4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；(1)点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。(2)点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’例题演练题组1：两定点一动点问题例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，若点E是AB上一动点(点A、B除外)，连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；【解答】解：(1)由题意A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)设C(m，0)，则B(m，m+1)，把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，解得m＝4或﹣1(舍弃)，∴C(4，0)，B(4，5)，设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+1．(2)如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C′，连接OC′交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小．∵C(4，0)，CC′关于直线AB对称，∴C′(﹣1，5)，∴直线OC′的解析式为y＝﹣5x，由，解得，∴E(﹣，)，∵D(1，﹣4)，∴S△BDE＝9×(4+)﹣×3×9﹣×(1+)(4+)﹣×(4+)(5﹣)＝12.5．练1.1如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C．(1)求直线BC的解析式；(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；【解答】解：(1)对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B(﹣8，0)，A(2，0)，令x＝0，得到y＝﹣8，∴A(2，0)，B(﹣8，0)，C(0，﹣8)，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．(2)如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F(m，m2+3m﹣8)，则N(m，﹣m﹣8)∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[(﹣m﹣8)﹣(m2+3m﹣8)]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2(m+4)2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F(﹣4，﹣12)，∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，∴P(﹣3，﹣10)，∴点F的坐标和点P的坐标分别是F(﹣4，﹣12)，P(﹣3，﹣10)．题组2：两动点一定点问题例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A(1，8)和点B(5，4)．(1)求抛物线和直线AB的解析式．(2)如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．【解答】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A(1，8)和点B(5，4)．∴，，解得，，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y解析式为＝﹣x+9．(2)如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E(0，9)，F(9，0)，连接PE、PF、PO．当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P(m，﹣m2+5m+4)∵S△PEF＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×(﹣m2+5m+4)﹣×9×9＝﹣(m﹣3)2+18，∵﹣＜0，∴m＝3时，△PEF的面积最大值为18，此时P(3，10)，作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．理由：四边形PNMB周长＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，∵PB是定长，两点之间线段最短，∴此时四边形PNMB周长最小．∵P′(﹣3，10)，B′(5，﹣4)，∴P′B′＝＝2，∵PB＝＝2，∴四边形PNMB周长的最小值为2+2．练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D．(1)如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；(2)在(1)的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．【解答】解：(1)对于抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或6，∴B(﹣2，0)，A(6，0)，∵y＝﹣x2+x+3＝﹣(x﹣2)2+4，∴抛物线顶点D坐标为(2，4)，对称轴x＝2，设直线AD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，∵AR⊥AD，∴直线AR的解析式为y＝x﹣2，∴点R坐标(2，﹣)．(2)如图1中，设P(m，﹣m2+m+3)，则Q(m，m﹣2)，M(m，﹣m2+m+)，由(1)可知tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝60°，∵∠DAQ＝90°，∴∠BAQ＝30°，∴平行四边形MNRQ周长＝2(﹣m2+m+﹣m+2)+2(2﹣m)÷cos30°＝﹣m2﹣m+，∴m＝﹣时，平行四边形MNRQ周长最大，此时P(﹣，)，如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．理由：PE+EF+AF＝EM+FE+AF＝FM+AF＝FN+AF＝AN，根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小．∵M(，)，N(﹣，)，∴直线AN的解析式为y＝﹣x+，∴点F坐标(0，)，∴直线FM的解析式为y＝x+，∴点E坐标(2，)．题组3：线段之差的最大值问题例3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．(1)当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；【解答】解：(1)设点P(m，﹣m+1)，则点E(m，0)，联立两个函数表达式得，解得，即点A、B的坐标分别为(0，1)、(6，﹣5)，由抛物线的表达式知，点C(2，3)，由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，x＝，故点F(，﹣m+1)，△PEF面积＝×PE•PF＝×(m﹣1)(﹣m)＝﹣(m﹣1)(m﹣6)，∵﹣＜0，故△PEF面积有最大值，此时m＝(1+6)＝，故点P(，﹣)，当P、B、H三点共线时，|BH﹣PH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点H(1，0)，则|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；练3.1已知抛物线ω：y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为﹣5．(1)如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积．(2)如图2，连接AE，以AB，AE为边作▱AEFB，将抛物线w与▱AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w′和▱A′E′F′B′，在向上平移的过程中▱AEFB与▱A′E′F′B′重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，E′F′与BF交于点Q，在直线A′B′上有两动点P，H，且PH＝2(P在H的右边)，当|PQ﹣HC|取得最大值时，求点P的坐标．【解答】解：(1)令﹣x2﹣x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A(﹣4，0)，B(2，0)当x＝﹣＝﹣1时，y＝，即D(﹣1，)，当x＝﹣5时，y＝，即E(﹣5，﹣)∴S四边形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝•AD•(yD﹣yE)＝×4×()＝16；(2)如图1，延长FE′交x轴于点H，由平移可知：F(1，)，FH⊥x轴，FE′＝m，FH＝，∴BH＝1，△FHB∽FE′Q，∴＝，即＝，∴E′Q＝，由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，S重叠四边形＝E′Q•HE′＝()＝m2+m，当m＝＝时，平行四边形的面积有最大值，此时yQ＝﹣当y＝﹣时，即Q是线段FB的中，∴xQ＝＝，即Q(，)．如图2，作点Q关于直线A′B′的对称点Q′，将线段CH向右平移两个单位使点H与点