2024年齐齐哈尔市高三数学4月第二次模拟考试卷及答案解析

年齐齐哈尔市高三数学4月第二次模拟考试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）2024.04注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为整数集，，则（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B．1 C．2 D．43．样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（

）A．16 B．17 C．23 D．244．在中，，，则（

）A． B． C． D．5．是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（

）

A．1 B．2 C．3 D．46．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知函数的最小值为，则的最小值为（

）A． B． C．0 D．18．数列满足，若，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．如果正确选项为2个，则选对一个得3分，全部选对得6分；如果正确选项有3个，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分．有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．为偶函数B．曲线的对称中心为C．在区间上单调递减D．在区间上有一条对称轴10．已知为坐标原点，抛物线的焦点在直线上，且交于两点，为上异于的一点，则（

）A． B．C． D．有且仅有3个点，使得的面积为11．已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（

）A． B．C．是奇函数 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为．13．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为．

14．设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．已知不透明的袋子中装有6个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，4个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个．(1)求前两次取出的球颜色不同的概率；(2)当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望．16．如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．

(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．17．设数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．18．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：．19．已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为．(1)若，求的离心率；(2)点在上，若，且，求的取值范围．1．D【分析】运用集合补集运算及解一元二次不等式即可.【详解】因为.故选：D．2．A【分析】借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得.【详解】，.故选：A．3．C【分析】先将数据排序后结合百分位数公式计算即可.【详解】由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，，所以分位数为.故选：C．4．D【分析】结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得.【详解】

由正弦定理可得，，又，所以，不妨设，所以由余弦定理得．故选：D．5．B【分析】运用数量积定义计算即可.【详解】如图所示，

连接，，由对称性可知，，取的中点，则，，又因为正六边形的边长为1，所以，所以，故选：B．6．D【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可.【详解】不妨设，，则，，所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，所以，（）所以当时，取得最小值，故选：D．7．B【分析】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果.【详解】因为，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，故选：B．8．A【分析】利用累乘法，则得到规律，则求出，根据即可求出.【详解】，，，，所以，同理可得，，．，因为，所以，则，因为，所以，故选：A．【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到，则得到，最后根据即可得到答案.9．BD【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：，对于选项A：因为，所以为奇函数，故A错误；对于选项B：令，解得，所以曲线的对称中心为，，故B选项正确；对于选项C：因为，即，即在内不是单调递减，故C错误；对于选项D：因为，则，且在内有且仅有一条对称轴，所以在区间上有且仅有一条对称轴，故D选项正确；故选：BD．10．ACD【分析】直接将焦点坐标代入直线方程即可得到，从而判断A；将表示成参数形式，利用韦达定理即可判断B；利用两点之间的距离和直线的倾斜角的关系即可判断C；将的面积条件转化为点到直线的距离条件，即可判断D.【详解】

因为抛物线的焦点在直线上，故代入得，所以，A选项正确；设，将抛物线与直线联立，得，即.所以由韦达定理得，，，B选项错误；由直线的斜率为，知其倾斜角为，故，所以，C选项正确；设的坐标为，到直线的距离为，则的面积.从而的面积为当且仅当.另一方面，直线的方程是，由点到直线的距离公式，知到直线的距离.所以当且仅当，即.而我们有.故满足条件的恰有三个：.所以有且仅有3个点，使得的面积为，D选项正确.故选：ACD．11．ABD【分析】赋值计算判断A；赋值并利用复合函数的求导法则求导探讨性质判断CD；探讨函数的周期计算判断D.【详解】函数，对任意，，对于A，令，得，而，则，A正确；对于B，令，得，则，两边求导得，，即，因此关于对称，，B正确；对于C，由，得，令，得，两边求导得，即，因此，函数是偶函数，C错误；对于D，由，得，则，因此函数的周期为4，，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.12．【分析】数形结合求得直线的倾斜角，进而即可求得直线方程.【详解】根据题意，作图如下：

易知点在圆上，由可知，，所以，又因为，所以，则直线斜率，故直线的方程为．故答案为：.13．##【分析】由球的表面积、圆台体积公式可求得水晶球的半径及圆台的高，再求出水晶球球心到圆台上底面的距离，进而可求得结果.【详解】如图所示，

设水晶球的半径为，则，解得，设圆台的高为，则，解得，又因为水晶球球心到圆台上底面的距离，所以该奖杯的高为．故答案为：.14．【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程.【详解】根据题意，作图如下：

依题意，为的角平分线，且，设，由角平分线定理可得：，则；在中，由余弦定理；在中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的渐近线方程是．故答案为：.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：①直接求出，从而得解；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解；③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.15．(1)(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）将所求事件表示成两个互斥事件的和事件，然后分别求概率再相加即可；（2）对不同的的取值，分类讨论所有可能的取出顺序即可求出的分布列，最后用数学期望的定义求出期望即可.【详解】（1）设事件为“前两次取出的球颜色不同”．设事件为“第一次取出了黑球，第二次取出了白球”，则，事件为“第一次取出了白球，第二次取出了黑球”，则，因为事件与不能同时发生，故它们互斥．所以，所以前两次取出的球颜色不同的概率为；（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，若第二次取出了全部白球，则只有两种取法（取决于2个白球取出的先后顺序），故，若第三次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有2种可能，取出的那个黑球有4种可能，故．若第四次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有3种可能，取出的另外2个黑球有种组合，它们又有2种排列方式，故，若第五次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有4种可能，取出的另外3个黑球有种组合，它们又有种排列方式，故，若第六次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有5种可能，取出的另外4个黑球只有1种组合，它们有种排列方式，故．所以的分布列为23456所以数学期望．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，，然后利用线面垂直的判定定理证明垂直于平面；（2）通过建立空间直角坐标系，由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值.【详解】（1）由于是等边三角形，为的中点．故是等边的中线，所以，又因为平面，在平面内，所以，由于和在平面内，且交于点，，，所以平面；（2）取的中点，连接，则由是的中点，知是三角形的中位线，故平行于.因为平面，平行于，所以垂直于平面，即三线两两垂直.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则由，，，，，知，，，所以，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，故．显然平面的一个法向量为.而，故平面与平面夹角的余弦值为．17．(1)(2)【分析】（1）运用求解即可.（2）依题意可知，插入数列后，与所构成的数列为，，，，，，，，，，结合等差数列前n项和公式及错位相减法求和即可求得结果.【详解】（1）当时，，所以，当时，，即，所以，当时，符合，所以；（2）依题意，，，，︙．所以，即，①则，②由①②可得，，所以．18．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可.（2）求，运用放缩可得，设，求导可得，结合基本不等式可得，从而可得单调性，进而可证得结果.【详解】（1）解：当时，，则，又，所以，即，所以在点处的切线方程为，即；（2）证明：设（），则，，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，恒成立，由可知，所以（），设（），则，，所以当时，，单调递增，，所以单调递增，，所以．【点睛】方法点睛：运用导数证明不等式常见方法：（1）将不等式转化为函数的最值问题：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较：若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含lnx与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．（3）适当放缩证明不等式：导数方法证明不等式中，最常见的是和与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)，当且仅当时取等号．(2)，当且仅当时取等号．19．(1)(2)【分析