2023-2024学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线 C．赵爽弦图 D．科克曲线2．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A． B． C． D．3．△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是（）A．旋转中心是点C B．AC＝EC C．∠BCA＝∠DCE D．点D是AC中点4．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（）A．a+b B．a﹣b C．2a+b D．2a﹣b6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB＝65°，则∠BOC＝°．8．如图，两条宽都为的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为．9．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别是（6，1）、（2，4），则点B的坐标是．10．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是cm2．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠AED＝26°，则∠C的度数为．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，点E，F分别是AD，AC的中点，连接EF，若EF＝3，则AD的长为．13．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，连接EO并延长，交BC于点F．若AB＝5，OE＝2，则四边形CDEF的周长是．15．如图，将矩形ABCD对折，折痕为MN，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使得点B刚好落在MN上的点F处，此时FE＝FN，若AB＝cm，则BC＝cm．16．如图，正方形ABCD的边长是8，点E在DC上，点F在AC上，∠BFE＝90°，若CE＝2．则AF的长为．三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）17．求证：菱形的一条对角线平分这一组对角．已知：如图，AC是菱形ABCD的一条对角线．求证：．证明：18．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B'C′；（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″；（3）若以A'、B'、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D'坐标为．19．如图，在▱ABCD中，E，F位于BC，AD上，AE，CF分别平分∠BAC，∠DCA．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当△ABC满足条件时，四边形AECF是矩形．20．如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．（1）证明：四边形EFGH为平行四边形．（2）若四边形ABCD是矩形，且其面积是7cm2，则四边形EFGH的面积是cm2．21．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是（填写满足要求的所有条件的序号）．22．如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD的中点，AB＝5．求FH的长．23．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O．（1）求证：BE＝FG；（2）若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长．24．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；（2）如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论：．25．如图，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点．要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；（2）用两种不同的方法．26．数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现AF与DE之间的数量关系是．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．（1）请你按照小明的思路，完成解题过程；（2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．

参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线 C．赵爽弦图 D．科克曲线【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．2．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A． B． C． D．【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．3．△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是（）A．旋转中心是点C B．AC＝EC C．∠BCA＝∠DCE D．点D是AC中点【分析】根据旋转的定义及性质即可求解．解：∵△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，∴旋转中心是点C，AC＝CE，∠BCA＝∠ECD，点D不一定AC的中点，∴A、B、C结论正确，D结论错误．故选：D．【点评】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．4．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】由三角形中位线定理知：AB＝2DE＝10．结合已知条件可以推知AF＝AD＝7，所以由图形得到BF＝AB﹣AD．解：∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，AD＝7，∴AF＝AD＝7．在△ABC中，∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝10．∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，根据已知条件“以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F”得到AF＝AD＝7是解题的突破口．5．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（）A．a+b B．a﹣b C．2a+b D．2a﹣b【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT＝S△DKN＝a即可解决问题．解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN＝a，∴正方形ABCD的面积＝4×a+b＝a+b．故选：A．【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，得到BE＝AB，CF＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；推导出△ADG不是等边三角形，进而得到∠EAG≠30°，故③错误；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE＝BE，根据全等三角形的性质得到BC＝AH＝AD，由AG是斜边的中线，得到AG＝DH＝AD，求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE＝∠CDF．故④正确．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等边三角形，∴∠EAG≠30°，故③错误；∵CE⊥DF，∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，如图，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故④正确；故选：C．【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB＝65°，则∠BOC＝130°．【分析】由矩形的性质得OA＝OB，再由等腰三角形的性质得∠OBA＝∠OAB＝65°，然后由三角形的外角性质即可求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝65°，∴∠BOC＝∠OAB+∠OBA＝65°+65°＝130°，故答案为：130．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质，由等腰三角形的性质得出∠OBA＝∠OAB＝65°是解题的关键．8．如图，两条宽都为的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为．【分析】如图，重叠四边形为ABCD，作AE⊥CD交CD于E，CF⊥AD交AD于F，首先证明四边形ABCD是平行四边形，然后在Rt△ADE中，利用含30°直角三角形的性质和勾股定理求出DE和AD，再根据平行四边形的面积公式计算即可．解：如图，重叠四边形为ABCD，作AE⊥CD交CD于E，CF⊥AD交AD于F，由题意得：AB∥CD，AD∥BC，，∴四边形ABCD是平行四边形，由对顶角相等可知∠ADE＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE，在Rt△ADE中，AD2＝DE2+AE2，∴4DE2＝DE2+3，∴DE＝1，∴AD＝2DE＝2，∴重叠四边形的面积为，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握含30°直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别是（6，1）、（2，4），则点B的坐标是（8，5）．【分析】根据平行四边形的性质利用平移规律求得答案即可．解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥CB，且OA＝CB，∵点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（6，1），∴相当于将点O向右平移6个单位，向上平移1个单位，∴点C（2，4）向右平移6个单位，向上平移1个单位为（8，5），故答案为：（8，5）．【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到平移规律，难度不大．10．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是120cm2．【分析】已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积．解：由题意可得，AD＝13cm，OA＝12cm，根据勾股定理可得，OD＝5cm，则BD＝10cm，则它的面积是24×10×＝120cm2．故答案为：120．【点评】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠AED＝26°，则∠C的度数为52°．【分析】根据平行四边形对边平行、对角相等得出AB∥CD，∠DAB＝∠C，从而知∠AED＝∠BAE＝26°，再利用角平分线的性质可得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠DAB＝∠C，∴∠AED＝∠BAE＝26°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAE＝52°，∴∠C＝52°，故答案为：52°．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，点E，F分别是AD，AC的中点，连接EF，若EF＝3，则AD的长为6．【分析】由题意知，EF是△ACD的中位线，则，CD＝6，由∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，可知AD＝CD，进而可得结果．解：∵点E，F分别是AD，AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴，∴CD＝6，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了三角形的中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．13．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是12．【分析】根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，∴DG+EH＝DE＝3，∴BC＝GH＝3+3＝6，∴△ABC的边BC上的高为4，∴S△ABC＝×6×4＝12，解法二：证明△ABC的面积＝矩形BCHG的面积，可得结论．故答案为：12．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，连接EO并延长，交BC于点F．若AB＝5，OE＝2，则四边形CDEF的周长是14．【分析】根据菱形的性质证明△OAE≌△OCF，得OE＝OF＝2，AE＝CF，进而可以解决问题．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC＝AB＝5，∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，∴△OAE≌△OCF（AAS），∴OE＝OF＝2，AE＝CF，∴四边形CDEF的周长＝CF+EF+DE+CD＝AE+EF+DE+CD＝AD+EF+CD＝5+4+5＝14．故答案为：14．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△OAE≌△OCF．15．如图，将矩形ABCD对折，折痕为MN，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使得点B刚好落在MN上的点F处，此时FE＝FN，若AB＝cm，则BC＝cm．【分析】由折叠可得出△ABF为等边三角形，再分别Rt△ABE，Rt△EFG中根据30°直角三角形的性质求出BE，FC的长，最后根据BC＝BE+EG+GC求解即可．解：如图，连接BF，过点F作FG⊥BC于G，则四边形CNFG为矩形，∴GC＝FN，由折叠可知△ABE≌△AFE，MN为矩形的对称轴，∴AB＝AF，BE＝EF，∠BAE＝∠FAE，∠AEB＝∠AEF，AF＝BF，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF为等边三角形，∴∠BAF＝60°，∴∠BAF＝∠FAE＝30°，∠AEB＝∠AEF＝60°，在Rt△ABE中，∠BHE＝30°，AB＝cm令BE长为x，则AE＝2x，，解得x＝1（cm），∴BE＝EF＝1cm，∵FE＝FN，GC＝FN，∴GC＝FM＝1cm，在Rt△EFG中，∠FEG＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣60°＝60，∴∠EFG＝30°，∴BC＝BE+EG+GC＝1++1＝（cm），故答案为：．【点评】本题考查了折叠问题，等边三角形的判定与性质，30°直角三角形的性质及矩形的性质，解题关键是根据折叠的性质得出△ABF为等边三角形．16．如图，正方形ABCD的边长是8，点E在DC上，点F在AC上，∠BFE＝90°，若CE＝2．则AF的长为．【分析】过点F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，则∠EGF＝∠FHB＝90°，根据正方形的性质得∠BCD＝∠ABC＝90°，∠ACD＝∠CAB＝45°，即可得四边形BCGH是矩形，得CG＝BH，根据∠GCA＝45°，∠CGF＝90°得∠GFC＝45°，则CG＝GF，GF＝BH，根据∠BFE＝90°得∠GFE+∠HFB＝90°，即可得∠HFB＝∠GEF，根据角角边可证明△GFE≌△HBF，可得FH＝GE，根据∠CAB＝45°，∠AHF＝90°得∠HFA＝45°，则AH＝FH，设AH＝FH＝x，则GE＝x，根据正方形的边长为8得HB＝8﹣x，根据CG＝HB得x+2＝8﹣x，即可得AH＝FH＝3，在Rt△AFH中，根据勾股定理得即可得．解：如图所示，过点F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，则∠EGF＝∠FHB＝90°，∴∠GEF+∠GFE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠ABC＝90°，∠ACD＝∠CAB＝45°，∴四边形BCGH是矩形，∴CG＝BH，∵∠GCA＝45°，∠CGF＝90°，∴∠GFC＝45°，∴CG＝GF，∴GF＝BH，∵∠BFE＝90°，∴∠GFE+∠HFB＝90°，∴∠HFB＝∠GEF，在△GFE和△HBF中，，∴△GFE≌△HBF（AAS），∴FH＝GE，∵∠CAB＝45°，∠AHF＝90°，∴∠HFA＝45°，∴AH＝FH，设AH＝FH＝x，则GE＝x，∵正方形的边长为8，∴HB＝8﹣x，∵CG＝HB，∴x+2＝8﹣x，x＝3，∴AH＝FH＝3，在Rt△AFH中，根据勾股定理得，，故答案为：．【点评】本题考查了了正方形的性质，掌握矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）17．求证：菱形的一条对角线平分这一组对角．已知：如图，AC是菱形ABCD的一条对角线．求证：∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA．证明：【分析】由菱形的性质可得DA＝DC，DA∥BC．由平行线的性质和等腰三角形的性质可证∠DCA＝∠BCA，可得结论．解：求证：∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA；证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，DA∥BC．∴∠DAC＝∠DCA，∵DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DCA＝∠BCA，同理∠DAC＝∠BAC．故答案为：∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA．【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．18．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B'C′；（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″；（3）若以A'、B'、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D'坐标为（6，﹣3）．【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．解：（1）如图所示，△A′B'C′即为所求（2）如图所示，△A″B″C″即为所求：（3）第四象限D′的坐标（6，﹣3）．故答案为：（6，﹣3）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．19．如图，在▱ABCD中，E，F位于BC，AD上，AE，CF分别平分∠BAC，∠DCA．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AECF是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线定义即可完成证明；（2）根据等腰三角形的性质可得AE⊥BC，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠DCA，∵AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，∴∠EAC＝∠BAC，∠FCA＝∠DCA，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是矩形．故答案为：AB＝AC．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，证明四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．20．如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．（1）证明：四边形EFGH为平行四边形．（2）若四边形ABCD是矩形，且其面积是7cm2，则四边形EFGH的面积是cm2．【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF＝GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论；（2）由矩形的判定与性质得出答案．【解答】（1）证明：连接BD，∵E、F分别为AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝BD，EF∥BD，同理，GH＝BD，GH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，∴DH＝AF＝CH＝BF，∴四边形AFHD和四边形HFBC都是矩形，∴AD＝HF＝BC，DC＝EG＝AB，∴S四边形EFGH＝AB•BC，∵四边形ABCD的面积是7cm2，∴AB•BC＝7cm2，∴四边形EFGH的面积是（cm2），故答案为：．【点评】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．21．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是①②（填写满足要求的所有条件的序号）．【分析】（1）根据全等三角形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的判定解答即可．【解答】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，∴∠ABC＝∠ADC，AB＝AD．∵AD∥BC，∴∠C+∠ADC＝180°．∴∠C+∠ABC＝180°．∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD．∵①∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．∵△ABE≌△ADF，∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD．连接BD，∵△ABE≌△ADF，∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，又∵②AB＝CD，∴AB＝AD＝BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：①②．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．22．如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD的中点，AB＝5．求FH的长．【分析】（1）根据矩形的性质得出EH＝EG，EH∥GH，进而利用AAS证明△BGF≌△DEH，利用全等三角形的性质解答即可；（2）连结EG，先求出EG＝AB＝5，由矩形的性质可求解．【解答】（1）证明：在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥GH，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠BFH，∴∠BFG＝∠DHE，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，在△BGF与△DEH中，，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）解：连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，又AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四形，∴EG＝AB．∴EG＝AB＝5．∵四边形EFGH是矩形，∴FH＝EG＝5．【点评】本题考查矩形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是利用AAS证明△BGF≌△DEH．23．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O．（1）求证：BE＝FG；（2）若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长．【分析】（1）作AM∥FG交BE于N，BC于M．根据正方形的性质证明△ABM≌△BCE可得AM＝BE．再证明四边形AMGF为平行四边形．即可得结论；（2）连接BF、EF，设AF＝x，则DF＝8﹣x，根据勾股定理即可求出AF的长．【解答】（1）证明：作AM∥FG交BE于N，BC于M．在正方形ABCD中，∴AD∥BC，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°．∵FG⊥BE，∴∠FOB＝90°．∵AM∥FG，∴∠ANB＝∠FOB＝90°．∴∠ABN+∠EBC＝90°∵∠C＝90°．∴∠BEC+∠EBC＝90°．∴∠ABN＝∠BEC．在△ABE和△CDF中，，∴△ABM≌△BCE（AAS），∴AM＝BE．∵AD∥BC，∴AF∥MG．∵AM∥FG，∴四边形AMGF为平行四边形．∴AM＝FG．∵AM＝BE，∴BE＝FG．（2）如图，连接BF、EF，∵FG⊥BE，O是BE的中点，∴BF＝FE．在正方形ABCD中，∴AD＝AB＝DC＝BC＝8．∵EC＝3，∴DE＝5．设AF＝x，则DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2＝82+x2．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2＝DF2+DE2＝52+（8﹣x）2．∵BF＝FE，∴BF2＝EF2．即82+x2＝52+（8﹣x）2，解得：x＝．∴AF＝．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是证明△ABM≌△BCE．24．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；（2）如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论：EF＝（AB﹣AC）．【分析】（1）利用ASA证明△ABE≌△ADE，根据全等三角形的性质得出BE＝DE，AB＝AD，再根据三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题；（2）先证明AB＝AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE＝PE，根据三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵BE⊥AE于点E，∴∠BEA＝∠DEA＝90°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（ASA），∴BE＝DE，AB＝AD，∵点F是BC的中点，∴BF＝FC，∴EF＝DC＝（AC﹣AD）＝（AC﹣AB）；（2）如图2中，延长AC交BE的延长线于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BP，∴E为BP的中点，∴BE＝PE，∵点F为BC的中点，∴EF是△BCP的中位线，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC），故答案为：EF＝（AB﹣AC）．【点评】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．如图，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点．要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；（2）用两种不同的方法．【分析】方法一：作OT∥AN，交AM于点T，在射线TO上截取OE＝OT，在AN上截取AQ，使得AQ＝TE，连接EQ，连接QO，延长QO交AM于点