2023-2024学年河南省郑州市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知£=（2,1,-3）,否=（„,若大区，则实数2等于（）

33

A.—6B.C.—D.6

22

【正确答案】C

【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可

【详解】因为々=（2,1,-3）,坂且£//九

2-3

所以7一1一二~，

2

3

解得

故选：C

2.若直线过两点（2,1+6）,则此直线的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D,90°

【正确答案】A

【分析】根据两点的斜率公式，算出直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围,

得出倾斜角的大小.

【详解】•••直线过点（2,1+6）

直线的斜率k=L=比，即直线的倾斜角a满足tana=正；

-1-233

v0°<a<180°,：.a=30°

故选：A.

本题主要考查利用两点的坐标求直线斜率与倾斜角的应用问题，属于基础题.

3.如图，在平行六面体力中，AB+AD-CC]=（）

UUUL

A.AC,B.4cC.印D.国

【正确答案】B

【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量.

【详解】

连接zc、4C,可得在+力=左，又西=而,

所以=AC-A4=qc.

故选：B.

4.在平面直角坐标系口中，椭圆c的中心在原点，焦点耳、外在y轴上，离心率为冬

过不的直线/交椭圆于A、8两点，且用的周长为16,则椭圆C的方程为（）.

x2y2B+y2-1

AK.—+—=1B-T+T_1

84

22

C”1I

D.—+^-=1

168816

【正确答案】D

【分析】利用椭圆的定义可求得。的值，结合椭圆的离心率公式可求得。的值，进而可求得

。的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆C的标准方程.

【详解】由题意可知，△48月的周长为

|4川+以周+忸周=。耳|+|4%）+（忸凰+忸&）=4a=16,;.a=4,

又因为椭圆C的离心率为e=£=£=且，可得c=2&，.•）="7丁'=2立，

Q42

又因为椭圆c的焦点在y轴上，因此，椭圆c的方程为!+《=1.

816

故选：D.

5.已知双曲线C:3/-/=3,则。的焦点到其渐近线的距离为（）

A.V2B.73C.2D.3

【正确答案】B

【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性，取其中一个焦点坐标和

渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可.

【详解】解:由题知双曲线。：3/-/=3,

即/亶=],

3

故焦点坐标为（±2,0）,

渐近线方程为:y=±6x,

即y±y/3x=0,

由双曲线的对称性，

不妨取焦点（2,0）到渐近线y+Gx=0的距离，

故焦点到其渐近线的距离为咨=百.

故选:B

6.已知过点唱,1）的直线/与圆C:x2+（y-2?=4交于48两点，则当弦13最短时直线/

的方程为（）

A.2x-4y+3=0B.x-4y+3=0

C.2x+4y+3=0D.2x+4y+l=0

【正确答案】A

【分析】根据直线过定点产，当N8LPC时弦最短，由互相垂直的直线斜率乘积为-1,

求出直线方程，然后由点斜式求出直线方程，可得答案.

【详解】因为直线/过定点嗒,1}

由V+O-2)2=4,则圆心C(0,2),半径r=2,

当PC时，弦最短，此时直线C尸的斜率自/丁=-2,

2

所以直线/的斜率3B=；，

故直线/为则2x-4y+3=0.

故选：A.

7.抛物线卜=以2的准线方程为y=l,则。的值为()

A.—B.—2C.—D.—4

24

【正确答案】C

【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.

【详解】由题意得抛物线的标准方程为准线方程为y=

a4a

又准线方程是y=i,所以-1=1,

4a

所以a=-1.

4

故选：C

8.若圆V+V=l上总存在两个点到点(a,1)的距离为2,则实数。的取值范围是()

A.(-2>/2,0)u(0,272)B.(-2五,2伪

C.(-l,0)U(0,l)D.(-U)

【正确答案】A

【分析】将问题转化为圆(x-a)2+(y-l)2=4与x?+y2=i相交，从而可得

2-l<777F<2+b进而可求出实数a的取值范围.

［详解］到点(。,1)的距离为2的点在圆(x-a)2+(y_1)2=4上,

所以问题等价于圆(X-a)2+⑶-1)2=4上总存在两个点也在圆V+V=1上,

即两圆相交，故2-1<<2+1，

解得-2夜<a<0或0<a<2&，

所以实数a的取值范围为（-2&,0）。（0,2收），

故选：A.

9.在直三棱柱中，侧棱长为4,底面是边长为4的正三角形，则异面直

线与8C'所成角的余弦值为（）

A.；B.正C.-D.在

2345

【正确答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解夹角的余弦值.

【详解】由题意，取/C中点O,建系如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,0,0),8(0,2瓜0),*(0,2瓜4),C,(-2,0,4),

所以行=(-2,254),苑=(-2,-20,4),

AB^BC1_8

所以cos<AB：BC>=

西网=324

所以,与5C,所成角的余弦值为:’

故选:C.

10.希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262〜公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古

代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数左（左>0

且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0（0,0）,力（3,0）,圆

。:（、-2）2+/=/&>0）上有且仅有一个点尸满足归旬=2|尸0|,则厂的取值可以为（）.

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】D

【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点尸是

圆C:(x-2)2+/=/(r>0)上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值.

【详解】设动点尸(xj)，由1PH=2|PO|,得(》-3)2+/=底+4/,

整理得(x+l)2+/=4,即点P轨迹方程为(X+1)2+/=4,表示圆，

又点P是圆U(x-2)2+/=r2(r>0)上有且仅有的一点

所以两圆相切，圆(x+1了+/=4的圆心坐标为(-1,0),半径为2,

圆C:(x-2)2+/=/(,.>())的圆心坐标为(2,0),半径为厂，两圆的圆心距为3,

当两圆外切时，，-2=3,得r=l,

当两圆内切时，W-2|=3,?->0,得厂=5.

故选：D.

11.已知抛物线C：y?=8x,点P为抛物线上任意一点，过点P向圆。：x2+y2-4x+3=0

作切线，切点分别为A,B,则四边形尸的面积的最小值为()

A.1B.2C.石D.y[s

【正确答案】C

【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接?。，则S四边物=2SR„。=归旬，

而照|=J|叫2所以当|尸。|最小时，四边形尸4)8的面积最小，再抛物线的定义转化为

点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果

【详解】如图，连接P。，圆。：(X-2)2+J?=I,该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径

为L

则S四边形尸血=2又少仞=|尸力|.

又照|=J|叫2-1,所以当四边形尸458的面积最小时，|电>|最小.

过点P向抛物线的准线x=-2作垂线，垂足为E,则归。|=归同，

当点P与坐标原点重合时，伊司最小，此时|P£|=2.

故($四边形R4DB)min=(5尸。|6'

'/min

故选：C

12.如图，在四棱锥P-/8CO中，是以4。为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,

ADVCD,/。=尸6=2。=2。8=2,£为2。的中点，则下列结论不正确的是（）

B.平面平面/BCD

C.点E到平面为8的距离为日

D.二面角”-尸8-。的正弦值为日

【正确答案】B

【分析】利用线面平行的判定定理即可判断A；几何法找二面角的平面角，确定角度大小即

可判断B；建立空间直角坐标系，根据空间向量计算点到平面的距离，即可判断C；根据空

间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值，从而判断D：

【详解】对于A：取尸4的中点为连接

因为E为尸。的中点，所以EM”AD"BC,EM==AD=BC,

2

所以四边形为平行四边形，所以CE//8M,

因为CEU平面R48,BMu平面P4B,所以CE〃平面H4B,故A正确；

对于B：取/。为N,连接BN,PN,所以BN=CD=1,且BNLND,

又因为是等腰直角三角形，所以PN=ND=1,PNLND,

且PN,NBu平面PNB,且PNINB=N,

所以ND1平面PNB,所以NPNB为平面尸/£)与平面ABCD的夹角，

又因为8C//N。，所以平面PN8,且PBu平面PN5,所以BC1PB,

PB=NPC2-BC，=6,而PB°#BN、PN),所以NPN8#90°,故B错误;

对于C：以8为原点，8c所在直线为x,y轴，在平面PN5内，作BzJ.平面488,建

立如图所示空间直角坐标系,

则8(0,0,0),/(-1,1,0),0(1,1,0),C(l,0,0),

因为8N=PN=\,所以cos/PNB=士二座=一!』尸痔=120°,

2PN-NC2

所以0°'5'E'E2'^T'

\7\/

所以加=(0,|，争而=(-1,1,0)衣=(1,0,0),而=(15®

设平面PAB的法向量为加=(x,%z),

3,也n

丽.丽

=0□-yH-----z=0

则有，即ltj22,令X=L则y=],2=—,

m-BA=0

-x+y=0

DC

所以碗=(1,1,-百)，所以点E到平面PAB的距离为Tp正故C正确;

5

对于D:设平面尸8c的法向量为万=(a,4c),

[n-BP=0、b+®c=G

则有_即22，令人=1,则c=-6，”0,

\n-BC^0n

ia=0

所以7=(0,1,-道),

4275

设二面角/-P8-C的大小为。，则|cose|=kos<m,〃

邛=~T

所以sin®=^.故D正确.

故选：B

填空题

13.已知向量7=(2,3,4),6=(1,2,0),贝布+,=.

【正确答案】5&

【分析】求出向量z+瓦的坐标，利用空间向量模长公式可求得的值.

【详解】因为向量2=(2,3,4),彼=(1,2,0),则£+1=(3,5,4),

因此，2+6+52+42=5技

故答案为.5庭

14.两圆-+y2-2y-3=0与/+/+2x=0的公共弦所在直线的方程为.

【正确答案】2x+2y+3=0

【分析】两圆相减，消去即为答案.

【详解】/+/—2y-3=0与/+/+2》=0相减得：2x+2y+3=0,即为公共弦所在直线

的方程.

故2x+2歹+3=0

15.不论俄为何实数，直线/：(〃?-1)X+(2m-3)歹+加=0恒过定点.

【正确答案】(-3,1)

【分析】直线/方程转化为，"x+2y+l)-(x+3y)=0,再根据直线系方程求解即可.

【详解】解：将直线/：(机一l)x+(2“_3)y+m=0方程转化为机(x+2y+l)_(x+3y)=0,

所以直线/过直线x+2y+l=0与x+3y=0的交点，

丁=1

所以，联立方程

x=-3

所以，直线/：("?-l)x+(2m-3)，+加=0恒过定点(-3,1)

故(-3,1)

16.已知耳、名为双曲线C：W-g=l(a>0,b>0)的两个焦点，P、。为。上关于坐标原点

a~b~

对称的两点，且IPQH耳61，若直线尸。的倾斜角为。，则C的离心率为—.

【正确答案】G+i##i+G

【分析】由题意画出图形，可得为正三角形，进一步得到四边形学。耳为矩形，再

由双曲线的定义求解得答案.

【详解】如图，

JT

,:直线PQ的倾斜角为:，；.NQOF2=60°,

又|「。|=|月玛|,；.|00|=|08|,可得△。凿为正三角形,

由对称性可得，四边形尸用。々为矩形，得到|P耳|=c,|擘卜豉，

由双曲线定义可得，&-c=2a，

e=y/3+1,

故答案为.百+1

三、解答题

17.如图，在棱长为。的正方体0/BC-048。中，E,尸分别是棱43,8c上的动点,

且==其中04x4a,以O为原点建立空间直角坐标系.

(1)写出点E,E的坐标；

(2)求证.AXF±C\E

【正确答案】⑴£(a,x,O),F(a-x,a,O)

(2)证明见解析

【分析】(1)根据空间直角坐标系中E,尸的位置写出坐标；

(2)求出乖•印=0,证明出结论.

【详解】(1)根据空间直角坐标系可得E(a,x,0),F(a-x,a,0).

(2)VAt(a,O,a),C,(0,a,a),

A,F=(-x,a,-a),C,E=(a,x-a,-a).

即丽.乎=-ax+a(x-a)+a2=0,

/.4?±qE,

故4F_LGE.

18.已知4BC的顶点4-2,0),点4,3),C(2,-2).

(1)求48边上的中线所在直线的方程；

(2)求经过点8,且在x轴上的截距和P轴上的截距相等的直线的方程.

【正确答案】(l)7x+2y_10=0

⑵3x-4y=0或x+y-7=0

【分析】(1)先求得N8边中点坐标，然后得斜率，由点斜式得直线方程并化简;

(2)按直线是否过原点分类讨论.不过原点时设截距式方程求解.

33

【详解】(1)由已知48边中点坐标为(1,二),中线斜率为_7,

/K-1一

1-22

7

中线所在直线方程为》+2=-5(%-2),即7x+2y—10=0；

(2)当直线过原点时，斜率为〃=直线方程为y=即3x-4y=0,

44

直线不过原点时，设直线方程为二+上=1,则9+a=1,a=7,直线方程为土+上=1,即

aaaa77

x+y-7=0,

所以所求直线方程为3x-4y=0或1=

19.己知抛物线的顶点在原点O,焦点在歹轴上，且过点/(2,1).

(1)求抛物线的方程；

(2)若点8也在抛物线上，且O/_LO8,求线段48的长.

【正确答案】(1)公=4y

(2)5713

【分析】(1)设抛物线的方程，将点/代入，即可求得抛物线的标准方程；

(2)由OZ1O8,可得直线08的方程，代入抛物线方程得到8点坐标，再求线段的长.

【详解】(1)抛物线的顶点在原点O,焦点在y轴上，且过点”(2,1),则抛物线开口向上，

设抛物线/=2⑷(p>0),因为抛物线过点4(2,1),所以4=22，解得p=2.

所以所求的抛物线方程为=4y；

(2)因为O/_LO8,所以ko.-koB=T,

由%=g，所以G=-2

[y=-2x,、

所以08的方程”-2x,由j：=4y解得3(一8,16),

所以|/@=J102+152="亚=5后,即线段48的长为5JR.

20.已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点尸作直线/.

(1)当直线/与圆C相切时，求直线/的方程；

(2)当直线/的倾斜角为135。时，求直线/被圆C所截得的弦长.

【正确答案】(1[=4或3x+4y-8=0.

(2)2亚

【分析】(1)对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求

得直线方程；

(2)由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.

【详解】(1)由题意知，圆C的圆心为(2,3),半径r=2

当斜率不存在时，直线/的方程为x=4,此时圆C与直线/相切：

当斜率存在时，设直线/的方程为少+1=左(x—4),即h一夕一4%—1=0,

J|2A：-3-4A-l|13

则圆心到直线的距离为d=r即~7=2,解得左=-：,

y/1+k24

所以此时直线/的方程为3x+4y-8=0.

综上，直线/的方程为x=4或3x+4y-8=0.

(2)当直线/的倾斜角为135。时，直线/的方程为x+产3=0,

|2+3-3|

圆心到直线/的距离d=5/2

故所求弦长为.2yJr2-d2=2M-后=272

21.如图，已知尸41.平面力BCD,底面/BCD为正方形，PA=AD=AB=2,M,N分别为

(1)求线段的长；

(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.

【正确答案】(1)收

【分析】(1)由题意可知，建立空间直角坐标系分别求得m，N两点坐标，即可求得线段

的长；(2)利用空间向量在立体几何中的应用，求出而与平面的法向量的夹角即

可求出结果.

【详解】(1)根据题意，分别以4民4),HP所在直线为x轴、>轴、z轴，以A为坐标原点建

立如图所示空间直角坐标系：

则M(l,0,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),

N分别为尸C的中点，所以

易知加=(0,1,1),所以卜&

(2)易得苏=(0,2,-2),赤=(-1,0,2),标=(1,2,0),

设平面的法向量为〃=(x,y,z)

nMP--x+2z=0

则令z=l,则x=2,y=-l；

nMC=x+2y=0

所以〃=(2,7,1)

设直线PO与平面P