第19讲 不同函数增长的差异（学生版）-高一数学同步讲义

第05讲不同函数增长的差异

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课程标准课标解读

1.掌握常见增长函数的.定义、图像、

性质，并体会其增长速度的差异.

2.理解直线增长、对数增长、指数爆

炸的含义以及三种函数模型的比较.通过本节课的学习，要求掌握常见函数描述增长的意

义，结合实际问题找到最佳吻合的函数模型，解决具有

3.通过对不同函数增长的差异，会根

相对应变化规律的函数问题.

据实际意义选择函数的最佳模型，以

此来刻画其变化规律来解决实际问

题.

澳知识精讲

上'知识点01函数模型

一般地，设自变量为X,函数为》并用X表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运

用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题,

实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.

整

土、知识点02三种常见函数模型的增长差异

指数函数对数函数一元一次函数

解析式y=ax(a>l)y=log^(tz>l)y=kx[k>0)

单调性在(0,+8)上单调递增

图象（随X的增大）逐渐与y轴平行逐渐与X轴平行直线逐渐上升

y的增长速度越y的增长速度越来

增长速度速度保持不变

来越快（指数爆越慢

（随X的增大）（居中）

炸）（最慢）

v

结果存在一个xo,当x>xo时，a>kx>\og(lx

【微点拨】三种函数模型的增长规律：

（1）对于基函数），=V,当x>0,”>0时，），=炉才是增函数，当〃越大时，增长速度越快.

（2）指数函数与对数函数的递增前提是又它们的图象关于y=x对称，从而可知，当。越大，>=

增长越快；当a越小，y=log«x增长越快，一般来说，0v>10&亦。>0,a>l）.

（3）指数函数与幕函数，当x>0,〃>0,。>1时，可能开始时有/>〃，但因指数函数是爆炸型函数，

当X大于某一个确定值X0后，就一定有">/.

【即学即练1】当X越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（）

100

A.y=100%B.）'=（］）C.y=log2xD.y=JC

［即学即练2］三个变量为必,为随着变量x的变化情况如下表：

X1357911

51525354555

%529245218919685177149

%56.106.616.957.207.40

则与x呈对数函数，指数函数，一次函数变化的量依次是（）

A.如〉2，%B.%，必，%C,%，%，%D.%%,必

【即学即练3】有一段演绎推理：“对数函数户log“X是增函数；已知y=log0.5%是对数函数，所以y=log°.5x

是增函数”，结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

【即学即练4】下列散点图中，估计有可能用函数y=a+Rgx（0>0）来模拟的是（）.

••

••

A..•B.•

"O-1X'x

y

c.D.

—4

【即学即练5】.以下四种说法中，正确的是()

A.累函数的增长速度比一次函数的增长速度快B.对任意的x>0,x">log„x

C.对任意的x>0,ax>log,,xD.不一定存在》,当时，总有a*>x">log.x

【即学即练6】下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得

公司获益最大的函数模型是.①y=10x1.05*；②y=20+Y；③y=30+lg(x+l)；④y=50.

【即学即练7】下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的

生意是.

①y=10xl.05"；②y=20+x"；③y=30+lg(x-l)；④y=50

J能力拓展

考法01

根据题意选择合适的函数增长模型；不同函数模型的选取标准

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.

(4)基函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.

【典例1］今有一组实验数据如下:

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.1

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()

A.v=loguB.”=C.v=D.v=2t-2

'22

【典例2】如图，记录了一种叫朱瑾的植物生长时间f(fNl)年,与树高y(米)之间的散点图.请你据此判

断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型可能是()

y

6

5

1234567

A.y=fB.y-2'C.y=t2D.y=logU+0.2

【典例3】某地土豆开始上市.通过市场调查得到土豆种植成本y元/吨与上市时间f天的数据如下表:

时间,50110120

种植成本y150108150

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本》与上市时间，的变化关

2

系.（y=w+〃，y=at+bt+c,y=a-b',y=a-logAt）

（2）利用你选取的函数，求土豆种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

【典例4】函数〃x）=lgx,g（x）=0.3x-l的图像如图所示.

（2）以两图像交点为分界点，对/*）,g（x）的大小进行比较.

【典例5】汽车制造商在2019年年初公告：公司计划2019年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽

车生产量如表所示：

年份（年）201620172018

产量（万辆）81830

如果我们分别将2016,2017,2018,2019定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型：二次函数模型

f（x）=ax2+bx+c（a^0）,指数型函数模型g（x）=abx+c（aH0,"0力N1）,哪个模型能更好地反映该公司

年产量y与年份x的关系？

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列函数中，定义域、值域相同的函数是（）

A.y=2xB.y=lnxC.j=%-1D.y=x2

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数

的图象大致为（）

O|xO|xO|.V<9|1x

3.下面给出了红豆生长时间”月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝''所提

到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（）

A.指数函数：y—2'B.对数函数：y=log2f

C.基函数：y—t3D.二次函数：y—lt1

4.在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表.

X0.500.992.013.98

y-1.010.010.982.00

则下列函数中，最能反映变量X和y之间的变化关系的是（)

x2

A.y=2B.y=x-\C.y=2x-2D.y=iog2%

5.能使不等式1。8尸</<2、一定成立的x的取值范围是（)

A.(0,+a))B.(2,-w)C.(—8,2)D.(4,+oo)

6.下列函数中，随犬的增大，y的增长速度最快的是（)

A.y=100xB.…⑼C.y=100D.y=logi00MxeN。

7.下列函数中，增长速度越来越慢的是（)

v6

A.y=6B.J=log6xC.y=xD.y=6x

题组B能力提升练

1.（多选题）已知函数％=/,%=2，,必=工，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（）

A.随着x的逐渐增大，X增长速度越来越快于丫2

B.随着x的逐渐增大，%增长速度越来越快于乂

C.当xe（O,+<»）时，必增长速度一直快于为

D.当》«0,+<»）时，为增长速度有时快于M

2.（多选题）函数/（》）=1呜1工-1|在（0,1）上是减函数，那么（）

A.f（x）在（1,内）上递增且无最大值B.f（x）在（1,位）上递减且无最小值

C."X）在定义域内是偶函数D./（x）的图象关于直线x=l对称

E.3a=2020,满足在（0,1）上是减函数

3.（多选）下面对函数"x）=logr与g（x）=（£|在区间（0,+oo）上的衰减情况的说法中错误的有

A.“X）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度越来越快

B.的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越慢

C.的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度越来越慢

D.“X）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越快

4.函数y=V与函数y=/mx在区间（0,y）上增长速度较快的一个是.

5.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.

现给出下列说法：

①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加;

④5min以后温度保持不变.

其中正确的说法是.（填序号）

6.某人投资x元，获利y元，有以下三种方案.甲：y=0.2x,乙：y=log2A-+100,丙：y=1.005',则投资

500元，1000元，1500元时，应分别选择方案.

7.若“>1,n>0,那么当x足够大时，a',x",logd的大小关系是.

C培优拔尖练

1.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材

料的含量M单位：克)的关系如下：当04x<6时，y是x的二次函数；当xN6时，y=.测得数据如

表(部分).

M克)0129

71

y03

49

(1)求y关于x的函数解析式y=/(x)；

(2)求函数«v)的最大值.

2.土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称

洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有

勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃

的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！”

(1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤,

快来买啊！“结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一

个函数模型，来说明以上结论；

(2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择,

但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x