第45练 二项分布与正态分布 -2023届高三数学一轮复习五层训练（新高考地区）（解析版）

第45练二项分布与正态分布

一、课本变式练

1.（人A选择性必修三P87习题7.5T2变式）已知随机变量X且P（X>-2）=0.8,贝I」

P（-2<X<4）=（）

A.0.6B.0.4C.0.2D.0.9

【答案】A

【解析】因为P（X>-2）=0.8,所以P（X4-2）=l-P（X>-2）=0.2,所以

P（-2<X<4）=l-2P（X<-2）=0.6,故选A.

2.（人A选择性必修三P87习题7.5T3变式）随机变量X服从正态分布N也,/），则P«L2（^X<H+G尸

()

附:

概率PQl一〈林O）P(ju—2(y<X</n+2(y)产(/L3dx+3。)

近似值0.68270.95450.9973

A.0.8186B.0.4772C.0.84D.0.9759

【答案】A

【解析】由题意可得：P（〃-2cr4XV〃+2cr）=0.9545,P（〃一b4XV〃+。）=0.6827

P（〃-2cr4X<〃+cr）=；P（〃-2<rVX<7z+2cr）+gp（〃-b4X<〃+cr）=0.8186,故选A.

3.（人A选择性必修三P76练习T1变式）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每

次取球1个，记X为取得红球的次数，则O（X）=（）

15r20〃25-60

A.—B.—C.—D.—

772149

【答案】D

【解析】由题意得：从•个装有4个白球和3个红球的袋子中取出•个球，是红球的概率为二3=35，

3+47

因为是有放回的取球，所以所以=墨，故选D

4.（人A选择性必修三P80习题7.4T1变式）某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才

能合格.若他答每道题的正确率均为0.5,并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为.

【答案】得

【解析】某人参加考试，4道题目中，答对的题目数X满足二项分布所以

P（X>3）=/>（X=3）P（X=4）=C：^J[1J^1

++1

二、考点分类练

（一）二项分布

1Q

5.设乂~3（4卬），其中。:且尸（x=2）=/那么P（X=1）=（）

8「16>32

A.—B.—C.—D.—

81812781

【答案】D

【解析】根据题意得P（X=2）=C*2（1-P）2=±即。2（「。）2ml卜

解得p=1或p（舍去），故P（X=l）=C：p（l_0）3=1^.故选D

6.2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均

属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的

选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（）

44八19r48

AA.-o.—C.—D.-----

92727125

【答案】A

【解析】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任

选1项，5项成果均属于芯片领域，则：

5112

芯片领域被选的概率为：]=：；不被选的概率为：而选择芯片领域的人数*={0,1,2,3},

.♦.X服从二项分布X~2（3,',尸（X="）=C（|）j（y,那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为

P（X=l）=C；g）f

7.（多选）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉.，小

木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰

到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1、2、3、4、5,

用X表示小球落入格子的号码，则（）

12345

A.P（X=2）=；B.P（X=Z）4P（X=3）（Z=1,2,3,4,5）

C.E（X）=2D.D（X）=1

【答案】ABD

【解析】设y=x—i,依题意，y~B（4,£],对于A选项，p（x=2）=p（y=i）=c,{gj=（,A对；

对于B选项，尸（乂=左）=尸（丫=上一1）=（2丁（£]（人=1,2,3,4,5）,由二项式系数的性质可知。^（女=1，2,3,4,5）

中，C：最大，则P（X=&）4P（X=3X&=1,2,3,4,5）,B对；对于C选项，E（X）=E（Y）+1=4x；+l=3,

C错；对于D选项，D（X）=£>（Y）=4x（；）=1,D对.故选ABD.

8.（2023届黑龙江省大庆铁人中学2高三上学期月考）已知随机变量X~B（6,p）,卜~2（〃,"），且

p（y>2）=1,E（x）=E（y）,则夕=.

【答案】g

【解析】由题意，x~B（6,p）,，E（x）=6p=E（y）=〃，

又尸（F22）=；,故4=2,即6。=2,解得p=g.

9.某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入

并制成频率分布直方图，如图.

频率

（1）根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入元（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的

中点值表示）；

（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入X服从正态分布NJ。?），其中〃近似为年平均收入了，

近似为样本方差52,经计算得利用该正态分布，求：

①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准,

则此最低年收入标准大约为多少千元？

②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互

相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？

附：x/h5«1.22；若X则尸（〃—+b卜0.6827,打必一比《X4〃+2b）,

P^-3（T<X<〃+3b）。0.9973.

【解析】（1）由频率分布直方图可知：

x-17x0.02+18x0.09+19x0.22+20x0.33+21x0.24+22x0.08+23x0.02=20,

故估计50位农民的年平均收入最为20千元.

（2）由题意知X~N（20,1.222）,

1AA.Q77

①因为尸（X>〃—b）=；+；-0.84135,

20-1.22=18.78时，满足题意，即最低年收入标准大约为18.78千元；

09545

②由P（X>17.56）=P（X>〃-2o~）=0.5+.2'〃097725,

每个农民的年收入不少于17.56千元的概率为0.97725,记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为J,

则4~8（1000,p）,其中p=0.97725,

于是恰好有k个农民的年收入不少于17.56千元的事件概率为尸管=k）=C^-pk.（1-pf-k.

从而由，/,~«->1，得k<1001p,而100Ip=978.22725,

P^=k-\）Ax（l-p），

所以当0WZW978时，P《=Z-1）＜P（J=Z）,

当9794Z41000时，产仁=%—1）＞尸（J=Z）

由此可知，在所走访HXX）位农民中，年收入不少于17.56「元的人数最有可能是978人.

10.2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林

匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会

赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和"单板滑雪''两项活动的参与情况，在该地随机选取了10

所学校进行研究，得到如下数据：

人数（人）——自由式滑雪

70一一--单板滑雪

60

504341/\

40

30

20

10

olABCDEFGHIJ*学校

（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条

件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；

（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮

测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试

中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为1，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果

小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

【解析】（1）由题可知10个学校，参与''自由式滑雪''的人数依次为27,15,43,41,32,26,56,

36,49,20,参与“单板滑雪”的人数依次为46,52,26,37,58,18,25,48,32,30,

其中参与“自由式滑雪，，的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人

数超过30人的有2个.

设事件A为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”

事件B为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”

c：c；+c：C,+c：_100

则，尸（A）=

C；C；+C；C；4

P（AB）=

--120

4

所以P(B|A)=P(AB)=120.=J_

111)尸⑷10025,

120

（2）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为P=C；6）彩,

所以小在〃轮测试中获得“优秀”的次数y满组y

721

由E（y）=〃下23,Wrt>y®11.6.

所以理论上至少要进行12轮测试.

（二）正态分布

11.（2023届江苏省徐州市高三上学期期末）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分

布N（184,2S）.随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（）

(注：若尸(|X-〃|<b)=0.683,P(|X-”<2cr)=0.954,P(|X-4<3cr)=0.997)

A.0.8185B.0.84C.0.954D.0.9755

【答案】A

【解析】由题意可知,〃=184。=2.5,可得179=〃2,186.5=〃+b

净重在179g与186.5g之间的概率为P(179Vx<186.5)=P(〃-2b<X<〃+。)

由正态分布的对称性可知，P(〃-2b<X<〃+。)=P(|X-*<<r)+g(P(|X—〃卜2o-)-P(|X-/z|<<T))

=0.683+-(0.954-0.683)=0.8185；

2

所以净重在179g与186.5g之间的概率为P(179<X<186.5)=0.8185.故选A.

12.(2023届四川省南江中学高三上学期12月阶段考)已知函数在R上单调递增的概

[X十g,x<1,

率为9且随机变量4~N(〃』).则尸(0<441)等于()

[附：若则P(〃-b«x4〃+b)=0.6827,

P(/7-2CT<X</Z+2a)=0.9545.]

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

【答案】A

【解析】使〃X）在R上单调递增的充要条件是4+141og21=0,即J4-1,故尸«4-1）=］

由于随机变量则〃=—1,即即M=-1,A=}.

^P（-2<<<0）=P（//-o-<^<//+o-）=0.6827,

P（-3<<^<l）=P（//-2cr<^<//+2cr）=0.9545,

所以P（O<JM1）=尸（一尸（一l<j40）=gx［尸（一3港41）-尸（一24440）］

=1x（0.9545-0.6827）=0.1359.故选A.

13.（多选）（2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）试题）已知4~N（〃,4）,则专二2~N（0,1）.某

次数学考试满分150分，甲、乙两校各有1000人参加考试，其中甲校成绩X~N（90,302）,乙校成绩

F~7V（95,2O2）,贝ij（）

A.甲校成绩在80分及以下的人数多于乙校

B.乙校成绩在110分及以上的人数少于甲校

C.甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比相同

D.甲校成绩在85-95分与乙校成绩在90-100分的人数占比相同

【答案】AB

丫一

【解析】当X480时，色X-9?0《一，1当丫480时，4952r53，

由标准正态分布可知P（X<80）>P（Y<80）,故A正确；

X-902丫一953

当X2iio时，当ywiio时，

303204

所以p（xwiio）>ay*iio）,故B正确；

由于甲乙学校成绩在90~95分的转化为标准正态分布对应概率分别为P（-^<7<0）,由正态

分布对称性知，P（-!4140）>P（04"4，），甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比不同，故C错误：

46

由于甲校方差大于乙校，所以在均值附近左右两侧取相同宽度的取值区间时，转化为标准正态分布，甲校

对应概率小于乙校对应概率，故D错误.故选AB

14.(2023届河北省高三上学期省级联测)已知随机变量X服从正态分布N(2,4),且

P(X2-4X+3<0)=0.6827,则P(X<-1)=,(附:若XN3b?),则

尸(〃一b4XM〃+cr)=0.6827,P(p-2a<X<p+2a)=0.9545,P(ju-3a<X<ju+3a)=0.9973)

【答案】0.00135

【解析】又XN(〃,")，则P(〃-b4X4〃+b)=0.6827,

随机变量X服从正态分布N(2,〃)，且P(XJ4X+340)=0.6827,

即下(14X43)=0.6827，所以2-b=1,即cr=1,所〃一3b4XV〃+3cr)=0.9973，即P(-14X45)=0.9973,

所以P(-l4X42)=0.49865,所以P(X<-1)=0.5-0.49865=0.0()135.

故答案为:0.00135.

15.(2023届福建省福州延安中学高三上学期12月检测)某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实

践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的

成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：［40,50)、［50,60)、［60,70).........［90,100］,统计结果

如图所示:

(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3

人，记其得分在［90,100］的人数为九试求J的分布列和数学期望：

(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布

N3b2),其中〃近似为样本平均数，〃近似为样本方差52,经计算d=42.25.所有参加知识竞赛的2000

名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？

参考数据：P(〃-cr<X4〃+b)=0.6827,P(〃-2cr<X4〃+2。)=0.9545,

P(〃一3b<XV〃+3cr)=0.9974.

【解析】(I)解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

x=(45x0.01+55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.015+95x0.01)x10=70.5.

(2)

解：参加座谈的11人中，得分在［90,100］的有人x八一=2人,

0.03+0.015+0.01

所以4的可能取值为0,1,2,

所以*=0)=与=生，P传=1)=室13,p(”2)=隼」

'7C：55''C；,55''C：55

所以g的分布列为

g012

28243

p

555555

.•・E©=0x生+1出+2x2」.

v755555511

(3)解：由(1)知，X~/V(70.5,6.52),

所以P(X>77)=P(X>〃+b)J-0,27=0［5865.

E(X)=2(X)0x0.15865=317

得分高于77分的人数最有可能是317.

16.2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通.北斗三号全球卫星导

航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成.北

斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%,

亚太地区性能更优.

(I)南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足

预估该地区某辆家用汽车导航精确度在口，3］的概率；

(ID(i)某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾

斜地球同步轨道卫星数记为y,求y的分布列和数学期望；

(ii)某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5

颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为4,求4的数学期望.

附：若X~N(",『)，则尸(〃一bWXW〃+b)a0.6827,P(/z-2cr<X<//+2cr)®0.9545,

尸（〃-3crWX<〃+3o■b0.9973.

【解析】（I）由易知4=|,b=g

/、00*7Q八（QG^7

...尸（14X43）=P（〃-3b<X</z+cr）»0.6827+--~-=0.6827+0.1573=0.84,

则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在［1,3］的概率为0.84.

（it）（i）由题意知丫“（4,3,30）,P（Y=i）=（i=0』,2,3）,

二y的分布列为

Y0123

13065391

P

20320310151015

X变+以色+2x2

£（r）=o--------F3X

2032031015-------10155

（ii）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为2奈4=］4,所以5个基地

选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目J~,

4

E（^）=??/?=5x—=4.

三、最新模拟练

17.（2023届江苏省南京市高三上学期期末）已知随机变量X服从正态分布N（2,4），且

P（-1<X<2）=3P（X>5）,则P（-1<X45）=（）

A.0.5B.0.625C.0.75D.0.875

【答案】C

【解析】因为XW（2,/），P（—1<X42）=尸（24X<5）并且尸（X22）=0.5

又因为尸（T<X42）=3P（X>5）,所以P（X22）=P（24X<5）+P（X>5）=4P（X>5）=0.5,所以

P（X>5）=0.125

所以尸（24X<5）=0.5—0.125=0.375,所以P（T<X45）=0.75,故选C

18.（2023届上海市华东师范大学第二附中高三上学期期中）设X~N3。；），Y~N（"2冠）,这两个正

态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）

B.P（X<<r2）<P（X<（rt）

C.对任意正数f,P（X<t）>P（Y<t）

D.对任意正数f,P（X>t）>P（Y>t）

【答案】C

【解析】由正态密度曲线的性质可知，

xN（内,炉）、YN（〃2，&）的密度曲线分别关于x=M、x=〃2对称，

因此结合所给图像可得M<〃2，

又X刈外,端）的密度曲线较yN（〃?,反）的密度曲线“瘦高”，

所以。<5<%,

:.P（X<CT2）>P（X<CTI）；

故A、B错误.

由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数乙

p（x</）>p（y<o.

故C正确，D错误.故选C.

19.（多选）（2023届广东省广州市高三上学期12月月考）为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题，

科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统.规定：某区域内的加个点《（4为4）的

]"1I1m

深度Z,.的均值为〃=—£>,,标准偏差为。=、上尤（Z,.-〃）2,深度Z,展[〃-36〃+35的点视为孤立点.则

根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是（）

P,6AAP4Ps凡Ea

xi15.115.215.315.415.515.415.413.4

%15.114.214.314.414.515.414.415.4

Zj2012131516141218

A.〃=16B.<7=卫C.6不是孤立点D.G是孤立点

2

【答案】BC

【解析】由表可知2=1(20+12+13+15+16+14+12+18)=15,A错误；

8

°卜2。-15）2+（12-15）2+…+（18-河=叵,B正确；

V82

所以[〃-3cr,〃+3b]=15-|＞/29,15+1^9],

因为回＞5,所以15+|炳＞20,

贝iJ4=20e15—|回,15+|a],z8=18e15-|a,15+|同],

所以＜、G不是孤立点，C正确，D错误；故选BC

20.（多选）（2022届湖北省襄阳市高三下学期考试）下列命题中，正确的是（）

A.已知随机变量X服从正态分布若尸（X40）=0.2,则P（X＜2）=0.8

B.已知随机变量*的分布列为尸（*=。=用飞。=1,2,3,,100）,贝丘=粉

C.用X表示w次独立重复试验中事件A发生的次数，P为每次试验中事件A发生的概率，若

E（X）=50,D（X）=30,则p=（

4_2

D.已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员A患甲病的概率为不，患乙病的概率为百，甲乙两种病

都不患的概率为777.则家系成员A在患甲病的条件下，患乙病的概率为3：

10°

【答案】ACD

【解析】对于A,因X服从正态分布N0,/）,且P（XW0）=0.2,

由正态分布的性质知1,P(X>2)=P(X<0)=0.2,则P(X<2)=l-P(X22)=0.8,A正确;

I(X)KX)100

对于B,依题意，由分布列的性质知ZP(X=i)=l,而ZP(X=i)=Z7；F

罩,1I、Z11、100«.,„,101,,

=4、(二-「)=4(1-加)=-^-=1，解得n4=痂，BD错/()误r；

MI1+1101101100

'E(X)=np=502

对于C,显然x则有必-p)=3。’解得C正确；

42---7

对于D,记事件M="A患甲病”，事件N="患乙病”，则尸(加)=百，尸(N)=不，II.P(MN)=—,而

P(MN)=P(M+N),

于是有「("+%)=1-尸(市/)=得，又P(M+N)=P(M)+P(N)-P(MN),从而得P(MN)=±,

1

3

所以A在患甲病的条件下，患乙病的概率为P(N|M)=4^?=10=

48-

P(M)一

15

故选ACD

21.(2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期10月月考)首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆

平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时,

发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100,102),若测量10000株水稻，株高在(110,120)的约有

株.(若XN出吟,尸(〃-<r<X<〃+cr)=0.6826,尸(〃-2b<X<〃+2cr)=0.9544)

【答案】1359

【解析】根据题意可知〃=100，。=10，所以P(90<X<110)=0.6826,尸(80<X<120)=0.9544,所以

P(110<X<120)=g[尸(80<X<120)-P(90<X<110)]=1(0.9544-0.6826)=0.1359,所以株高在(110,120)

的约有10000x0.1359=1359株.

22.(2023届北京市高三“极光杯”跨年线上测试)设随机变量XN(1,(T2),y=2X+l,

P{X<a)+P[Y<a)=\,则°=.

【答案】|

【解析】由于随机变量XN(l,〃)，所以概率分布关于X=1对称，

J.P(X<a)+P(y<a)=l=>P(X<a)+P(2X+l<a)=l=>P(X<a)+pfx<^yl^l,

所以〃+卞a-\=2,解得a5

23.（2023届广东省广州市高三一模）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.己知A

社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，8社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区

有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A8,C三个社区的居民人数之比为5:6:9.

（1）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

（2）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X~N（5.5,/）.现从这三个社

区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.

【解析】（1）因为三个社区的居民人数之比为5:6:9,

设A8,C三个社区的居民人数为5”,6a,9a,

所以A社区每周运动总时间超过5小时的人数为：5a-56%=2.8«,

B社区每周运动总时间超过5小时的人数为：6«-65%=3.9«，

C社区每周运动总时间超过5小时的人数为：9a.70%=6.3a,

该居民每周运动总时间超过5小时的概率Pt=2.8f+39*.3j065

（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X~N（5.5,cr2）,

所以P（X>5.5）=0.5,由（1）知，P（X>5）=0.65,

所以P（5<X<5.5）=0.65-0.5=0.15,

因为随机变量X服从正态分布，且关于X=5.5对称，

所以P（5<X<6）=2P（5<X<5.5）=0.3,

所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：

P2=C；（O.3）2（O.7）+C；（O.3）3=0.216.

24.（2022届辽宁省大连市高考最后一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆

汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

频率

180230280330380430单次最大续航里程/千米

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）经计算第（1）问中样本标准差S的近似值为50,根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续

航里程X近似地服从正态分布（用样本平均数彳和标准差s分别作为〃、。的近似值），现任取一辆

汽车，求它的单次最大续航里程X€[250,400]的概率；

（参考数据：若随机变量X则p（〃一成K〃+b）=0.6827,

P（〃-2向卜〃+2cr）《0.9545,P（〃一3o^k〃+3b）=0.9973）

（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷

硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0、1、2、3.....20）移动，若遥控车最终

停在“胜利大本营“（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格）,

则没有任何优优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控

车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从改到4+1）；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从

k到4+2）,直到遥控车移至U“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第〃（摄W19）格的概

率为P“，试证明｛巴-5"是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到0.1万元）.

【解析】（1）

估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：

x=205X0.01+255X0.02+305x0.45+355x0.02+405x0.05=300;

（2）

X/V（3OO,5O2）,

，P（25喷N400）=P（〃-碑N〃+2cr）«+。•学5=0$x86

（3）

由题可知《=1,

遥控车移到第n（2<n<19）格有两种可能：

①遥控车先到第〃-2格，乂掷出反面，其概率为ge一2；

②遥控车先到第n-1格，又掷出正面，其概率为:

...24〃419时，P"-P"T=TEI-%)，又

二当14〃419时，数歹IJ{匕-与一)首项为-g,公比为-g的等比数列，

-/>=(-1)3,,P„-P„.,=(一夕,

以上各式相加，得勺—1=(-g)+(-}'+(-：)'++(—3)"=(-g)dl—(—g)"],

二时，^=|+^(-^)",

711

...到达“胜利大本营”的概率

•设参与游戏-次的顾客获得优惠券金额为y万元，则丫=3或()，

丫的期望E(y)=3•片9+0-(1-69)=3一(|-；,表)=2-/，

...参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为2.0万元

25.(2023届广东省东莞市高三上学期期末)现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连

续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立.已知射击训练有4,B两种型号的炮弹，对于A

型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p(0<p40.4),且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6,

击中两弹目标飞行物必坠段；对子8型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为g且击中

一弹目标飞行物坠毁的概率为04,击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8,击中三弹目标飞行物必坠毁.

(1)在一次训练中，使用8型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概

率不低于0.936；

(2)若P+q=l,试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并

说明理由.

【解析】(1)因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否

相互独立，

所以在一次训练中，连发三发3型号炮弹，用X表示命中目标飞行物的炮弹数，则X-5(3,q)(X服从二

项分布)，

则尸(X21)=l-P(X=0)=l-CQ°(l-4)320.963,

QP1-(1-^)3>0.936,则(1-4)340.064=0.43,即l-g40.4,则qN0.6,

又0<”1,故0.6“<1,

所以当0.644<1时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936.

(2)在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用y表示命中目标飞行物的炮弹数，则y3(3,p)(y服从二

项分布)，

记事件C为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁“，事件。为“使用3型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，

则P(C)=0.6xP(Y=1)+P(r>2)=0.6xC>(l-p)2—p)+C^3

=1.8/?(1—p)2+3/?2(l-/?)+/?3=-2p+/J2)+3/72-3/?3+/?3

=-0.2/?3-0.6/?2+1.8p,

P(£>)=0.4P(X=1)+0.8P(X=2)+P(X=3)=0.4C；q(l—苏+0.8C^2(1一g)+C；/

=1.2q(l—g)~+2.4q~(l—q)+/=1.2q(l—2q+q-)+2.4q--2.4〃'+q'

=-0.2^3+1.217，

因为。+4=1，所以4=1一。，

则P(C)-P(£>)=-0.2p3-0.6p2+1.8p+0.2(l-P?-1.2(1-p)

=-0.2p3-0.6p2+1.8/2+0.2(l-3p+3p2-^3)-1.2+1.2^

=-0.4/?3+2.4/?-l,

令/(P)=-04p3+2.4p-l(0<p<0,4),则r(p)=-1.2p2+2.4,

令f(p)>0,即一1.2/+2.4>0,则p2<2,得-母<p<0,

又0<p40.4,所以，(p)>0恒成立，

所以/(P)在(0,0.4］上单调递增，

又了(0.4)=-0.44+2.4x0.4-l=-0.0256+0.96-1<0,则f(p)</(0.4)<0,

故P(C)—P(O)<0,即P(O<P(D),

所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.

四、高考真题练

26.(2022新高考全国II卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,/),且P(2<X<2.5)=0.36厕

P(X>2.5)=.

【答案】0.14.

【解析】因为xN(2,〃)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.

五、综合提升练

27.已知随机变量X的分布服从XB(n,p),记〃〃,〃)=P(x="-l)+P(x=〃)，记〃％p)在pe[0,l]上

的最大值为尸(〃)，若正整数“，人满足a>6>2()19,则尸(。)和尸㈤的大小关系是()

A.F(a)>F(b)B.F(a)^F(b)

C.F(a)<F(b)D.无法确定

【答案】B

【解析】P(x=k)=C^l-p)n-kpk,

f(n,p)=P(x=n-l)+P(x=n)=C^'(l-p)pn-'+C；；(l-p)°p"=(l-n)p"+np"~',

设g(p)=(l-〃)P"+叩i，pe[0,l]，g'(P)="(l-〃)"T(pT)，

当”=1时，g(p)=l，故*1)=1,

当〃22时，n(l-w)<0,pn~2>0,p-l<l,故g'(p)20,

所以g(p)在(0,1)上递增,所以尸(")=g(l)=l-"+”=l.

故尸(〃)=1,所以尸(a)=*b)=l,故选A

28.(多选)己知随机变量服从若E(X)=30,D(X)=20,贝=：

B.已知尸(BA)=0.34,P(8)=0.71,则P(痴)=0.37

C.设随机变量4服从正态分布N(0,l),若P《>1)=",则；-p

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大

【答案】BCD

【解析】对于选项A：随机变量服从二项分布B[n,p),E(X)=30,X)=20,可得叩=30,叩(1-p)=20,

则P=g,选项A错误；

对于选项B：A+久为必然事件，所以B=B(A+4)=BA+BA,而54与B司互斥,

，P（B）=尸（3A）+P（8A）nP（8A）=P（8）-尸（&4）=0.71-0.34=0.37,选项B正确；

对于选项c：随机变量&服从正态分布N（O』），则图象关于y轴对称，若>1）=。，则p（o<j<1）=g-p,

P（-l<J<O）=P（O<J<l）=；-p,选项c正确；

对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为X