2023-2024学年江苏省苏州市高一年级下册期中数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年江苏省苏州市高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合厶={1,2,3,4,5,6},8={x|lar>l},则AB=()

A.{1,2}B.{1,2,3,4}C.{3,4,5,6}D.{1,2,3,4,5,6}

【正确答案】C

【分析】先解出集合B,根据交集的运算，即可得出答案.

【详解】解lnx>l,可得x>e=2.718,所以B={x|x>e).

所以，Ac8={3,4,5,6}.

故选：C.

2.实数苍y满足*+y=T,x>0,则x-工的最小值为()

X

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】C

【分析】运用代入法将代数式X-2转换为只含有X的一元代数式，运用基本不等式求解.

X

【详解】x+y=-1,y=-l-x,所以X_2=X+^=X+，+1N2+1=3,当且仅当x=l取

XXX

等号；

故选：C.

3.己知cos(0+；J=；,则sin26=()

3777

A.±-B.-C.——D.±-

8888

【正确答案】B

【分析】因为26=2,+：卜(即可推出sin26=-cos2(夕+胃，然后根据二倍角的余

弦公式，展开代入己知，即可得出答案.

【详解】因为26=2(0+：］-1，

所以，sin20=sin2^+^--^=-cos2(6+：

1c2（n兀、1I7

=1-2cos26+—=1——=一.

I4丿88

故选：B.

4.1748年，瑞士数学家欧拉发现了欧拉公式：ei°=cose+isin6>㈠是自然对数的底，i是

虚数单位），这个公式被誉为复指数函数与三角函数的“天桥”，在复变函数中占有非常重要

的地位，则复数e'在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【正确答案】D

【分析】先用欧拉公式求出e'i得复数形式，再根据其坐标求解.

【详解】e5i=cos5+isin5,其在复平面的坐标为（cos5,sin5）,又因为当<5<2兀,所以

5i

cos5>0,sin5<0,e对应的点在第四象限；

故选：D.

5.已知函数〃x）=sin2x-Gcos2x,贝ij（）

A.在恒）单调递增，且图象关于点惇°）中心对称

B.“X）在单调递增，且图象关于点信0）中心对称

C./（“在单调递减，且图象关于点信0）中心对称

D.“X）在。弓）单调递减，且图象关于点与。］中心对称

【正确答案】B

【分析】根据三角恒等变换化简函数/（x），结合正弦型函数的单调性与对称性即可得答案.

【详解】“x）=2sin（2x-。因为所以弋<2x-方苫，所以/（x）在（0,［单

调递增，

又/（訐2sin0=0,所以/（x）得图象关于点值,0）中心对称.

故选：B.

6.函数y=sinxln（e*+eT）在区间［-兀,可上的图象大致为（）

%

A._________4^—^B.二二

一兀\/1兀X_兀

VZ2,-O1兀》

-1-

)八

c.।.一

-丿J71X

-1■

D.

少八

一兀O1兀X

-1-

【正确答案】A

【分析】根据函数奇偶性排除B、D,再取特值x=］排除C.

【详解】对于函数〃x)=sinxln(e'+ef),

/(x)+f(-x)=sinxIn(e*+e-jr)+sin(-x)In(e-jr+ex)=sinxln(e'+e-r)-sinxln(ex+e-x)=0

J

故〃X)为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；

乂：H=sin/n卜+e”=lne—),且e->0，

故f《)=lnF+e4>ln(e+0)=l,C错误；

故选：A.

7.己知锐角ABC中，角A,8,C的对边分别为〃力,附巒=〃+历,则tanAtanB的取值范围

为()

A.(1,-KO)B.(1,K)C.(0,1)D.(G,+8)

【正确答案】A

【分析】根据余弦定理以及正弦定理结合已知条件找出角AB的关系式，然后利用正切的二

倍角公式化简tan/Uan8,再根据角的范围求出取值范围即可.

a2=b2+hc

【详解】由c-2bcosA=b,

cr=tr+C1-2匕cosA'

所以sinC-2sin3cosA=sinB，

所以sin[兀一(A+B)]-2sinBcosA=sinB,

=>sin(A+B)-2sinBcosA=sinB,

=>sinAcosB-sinBcosA=sinB,

nsin(A-8)=sin8,

在厶ABC中，由sin(A-B)=sinB=>A=2B,

所以tanAtanB=tan2BtanB=2⑶’?=-2+------

因为锐角三角形，

7T

0cAe一0<2B<-

22

所以。＜8苦n<0<B<—

2

71

0<Y0<n-3B<

2

所以丄<tan%<1,

3

2

所以tanAtanB=-2+-------->1.

1-tarrB

所以tanAtanb的取值范围是：

故选：A.

8.已知实数。=上cos竽t)5,b=sinO.5,c=7J,则它们的大小关系为()

216

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

【正确答案】B

【分析】由三角函数线和正弦函数的图象，结合扇形的面积公式和三角形面积公式，以及两

点间的斜率公式，用排除法，即可得出.

【详解】作单位圆及角a的三角函数线，如图，

设扇形OAP面积为5,三角形OAT面积为邑，弧长为/,扇形圆心角为a,单位圆半径r=l,

由三角函数线可知47=tana,

l=ar,S,=-lr=—ar-r=—ar12=—axl2=—a,S-,=—OAAT=—x1xtana=—tana,

'222222222

因为扇形0Ap面积M小于三角形OAT面积邑，

所以S1＜S2,所以詈，故avtana,

,sin-1

目口11cos0.5

即一<lan一,r-f>所以&<sinL即丁<sin0.5,

22

cos-22

故排除选项C,D.

在y=sinx在［0,；］的图象取点A(2,sin!)和点8(扌，1)，

22262

sin--0--0

由丫=$皿*在［0,：］的图象形状可知，k0A＞kOB,则一―

2i-05一0

26

13133157

化简得到sin：＞弓所以叱＞五＞

227r2x3.2一记述

7

所以sinOS>7,h>c,排除A.

16

故选：B

二、多选题

9.已知z「Z2eC,下列说法正确的是()

A.|zJeRB.L+ZZRZJ+EI

C.附上㈤閻D.|zj=目

【正确答案】ACD

【分析】分别设4=。+加，a,beR,z2=c+di,c,deR,根据复数的加法、乘法、模的

运算以及共駆复数，求解即可得出答案.

【详解】设4=。+历，a,b^R,z2=c+di,c,dGR.

对于A项，因为团=，？+6eR,故A对；

对于B项，因为卜z|="匸丁,

所以匕|+上|=从+，。2+4.

又Z1+Z2=a+c+(b+d)i,所以|Z|+Z2|=J(a+c¥+S+d)2,

所以区+多国zj+同,故B错；

对于C项，因为4・Z2~(a+b\)(c+d\)-ac-bd+[ad+Zjc)i,

222222222222

所以|Z|z?|=y](ac-bd)+(cul+bc)=y/ac+bd+ad+hc=->Jc+d=|zj|z?|,

故C对；

对于D项，因为ZI=a-bi,所以閻=J—+4=㈤，故D对.

故选：ACD.

10.函数/l(xhtaMsinx+cos%),则下列说法正确的是()

A.〃x)的定义域为RB./(x)是奇函数

C./(x)是周期函数D./(x)既有最大值又有最小值

【正确答案】ACD

【分析】利用奇函数和周期函数的定义可判断BC的正误，利用正切函数的定义域可得A的

正误，利用正切函数的单调性可判断D的正误.

【详解】对于A,sinx+cosx=x/5sin(x+?)e[-竝，夜],

因为]＞应,所以对于任意实数x,“X)都有意义，所以A正确；

对于B,/(-%)=tan(-sinx+cosx),不与f(x)恒等，所以B错误；

对于C,/(x+2JI)=tan(sinr+cosx)=/(x),所以C正确；

对于D,siiw+cosx=&sin(x+£一夜，回，y=tanx在[-&,用单调递增，

所以/(%=/(：)Ax".=/(-,)，所以D正确.

故选：ACD.

11.给出下列四个关系式，其中正确的是()

A.sinasin夕=/[cos(a+£)-cos(a-〃)]

B.sincrcosy?=g[sin(a+y?)+sin(a-77)]

C.cosacos/=-；[cos(a+/?)-cos(a一/)]

D.coscifsin/?=；[sin(a+/7)-sin(a-£)]

【正确答案】BD

【分析】根据两角和与差的正弦以及余弦公式，展开化简即可得出答案.

【详解】对于A项，因为cos(a+/?)=cosacos/?-sinasin/7,

cos(a-/)=cosacos/3+sinasinp,

所以-cos(a+/)+cos(a-/?)=2sinasin〃,

所以sinasi”=；[cos(a-0-cos(a+/?)],故A项错误;

对于B项，因为sin(a+/?)=sinacos/+cosasin/7,sin(a-/?)=sincos[i-cosasinp,

所以sin(a+/7)+sin(a-〃)=2sinacos〃,

所以sinacos/7=g[sin(a+/)+sin(a—夕)],故B项正确；

对于C项，因为cos(a+4)=cosacos/y-sinasin/?,cos(tz-y0)=cosacosf3+sinsin/?,

所以cos(a+0+8s(a-/?)=2cosacos4,

所以cosacos尸=g[cos(a+/)+cos(a—〃)],故C项错误；

对于D项，因为sin(a+/)=sinacos/+cosasin/?,sin(6z-/7)=sin«cos/?-cosasin[3,

所以sin(a+〃)-sin(a-/7)=2cosasin尸,

所以cosasin/?=3[sin(a+/)-sin(a-77)],故D项正确.

故选：BD.

12.在dBC中，AC=3,A8=5,/A=120,点。是5c边上一点，且AO=xAC+yA8,

则下列说法正确的是（）

A.BC=7

B.若x=y=0.5,则A£>=®

2

C.若">=叵，则x=y=0.5

2

D.当AO取得最小值时，X=费

【正确答案】AB

【分析】运用余弦定理求出8C,运用平面向量的运算逐项分析.

由余弦定理得BC2=AB2+BC2-2AB.BCCOSNA=25+9-2x3x5x=49,.-.BC=1，故

A正确；

若x=y=0.5,则AZ)=g(A3+ACj,..AZ)2=；(A8，+4c2+2A8.Acj=巻,AD=~,

故B正确;

若厶。=巫，由上图，以A为圆心，妈为半径画圆，则圆A与BC有2个交点，故C

22

错误；

BD=AD-AB=xAC+(y-l)AB,设

BD=ABC=AC—AB)=AAC—AAB9.\4=x,—A=y—i,.\x+y=l,

AD=xAC+yAB,AD"=9x2+25y2-15xy=9x2+25(l-x)2-15x(l-x)=49x2-65x+25,

当x=£时取最小值，故D错误；

故选：AB.

三、填空题

13.在中，。=2力=1,8=29,则满足此条件的三角形有个.

【正确答案】2

【分析】利用余弦定理建立方程，结合韦达定理和判别式，求方程正根的个数即为解的个数.

【详解】由余弦定理U="+c2—2accos8,

M1=22+C2-2X2C-COS29,

BPc1-4c-cos29+3=0,

其判别式A=16COS229-12,

因为△=16COS229-12>16COS230-12=0,

设c?_4c•cos29+3=0的两根为。和c,,

q+。2=4cos29>0

由韦达定理，得

q.G=3>0

又因为△>(),

所以方程4LCOS29+3=0有两个不等的正根,

所以满足此条件的三角形有2个.

14.将d+2x+5在复数范围内因式分解为.

【正确答案】(x+1-2i)(x+l+2i)

【分析】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可.

【详解】令/+2*+5=0,

-2+4i

A=4-20=-16=16i2,所以x=―^-=-l±2i,

即x2+2x+5=(x+l-20(x+l+2i).

故答案为：(x+l-2i)(x+l+2i).

15.如图，某数学学习小组要测量地面上一棵大树A3的高度(大树A3垂直于地面)，在与

树底8同一水平面内选取两个测量基点。和O,在C点测得大树顶部A的仰角是7T:，在。点

6

JTJT

测得大树顶部A的仰角是工，测得水平面上的N8OC=7，OC=20米，则大树的高度为

43

__________米.

【正确答案】10

【分析】设A3=X,在RtaABC以及中，求出8。=辰以及8£>=x.在一8Z5C中,

根据余弦定理，得出方程，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，NABC=NA8O=].

设

在RtAMC中，有tanNBCA=4^=且，所以8C=&.

BC3

在Rtz\ABD中，WtanZBDA=——=1,所以B£)=x.

BD

在.BDC中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BDxCDxcosZBDC,

BP3X2=400+X2-20X.解得X=10或X=-20(舍去负值).

故10.

16.在乂BC中，AB=\,AC=2,ZA=60,若的平面内有一点。满足厶庁=AC4。，

则AD2+BD2的最小值为.

【正确答案】4-2道

【分析】建立直角坐标系，运用平面向量求出点D的运动轨迹，再利用几何意义求解.

由题意，由余弦定理得BC?=AB2+AC2-2AB.ACCOSZA=1+4-2=3,

BC2+AB2=AC2，:.B=gBC=6,即以B为原点，84所在直线为y轴，BC所在直

线为x轴建立平面直角坐标系，

则B（O,O）,A（O,1）,C（6,O）,设Q（x,y）,则AC=（百,一1）,AO=（x,y-l）,

由已知A。？=AC-AO,x2+（y-l）2=屆+1-）\x—专+（丫一3）=1，

即点。是在以AC的中点。等,;为圆心，半径为1的圆周上，

AD2+BZ）2=x2+（y-1）2+x2+j2=2x2+,即是求d+（y_gj的最小值，

其几何意义为圆周上的一点。到AB的中点£[0,g）的距离的平方的最小值，显然当。E,

。共线时。E最小（如上图），即，

.-.AD2+BD2的最小值为2x（：-6）+g=4-2G；

故4-26-

四、解答题

17.已知平面向量a,b，Sl=2,\b\=2,且a与〃的夹角为

（1）求|〃+8|；

（2）若“-/?与〃+妨（ZeR）垂直，求左的值.

【正确答案】（1）26

（2）1

【分析】（1）先用平面向量运算法则求出（。+可;从而求出模长：（2）根据平面向量垂直

得到方程，求出女的值.

【详角吊】（1）丨。+切2=（4+人）2=/+24吆+片=4+2忖・忸卜。$]+4=12,所以|〃+回=2相.

（2）由题意得：的）=/+仏_1）忖・忖8$三_«/=4+2信-1）_4（=0,解得.4二]

18.已知复数z=>匚）2±3±3i+2i

2-i

⑴求复数z；

（2）记复数z在复平面对的点为P,已知角a的终边经过点/>,若tan（a+0=-2,且

力«0,兀），求夕的值.

【正确答案】（l）l+3i

【分析】（1）利用复数的乘除运算进行化简;

（2）先根据角a的终边经过点尸得到tana=3,结合tan（a+4）=-2,解方程可得答案.

【详解】（1）z=（li）2+3+3i+2i=21i+2i=（3+i）（2+i）+2i=]+3i

2-i2-i5

(2)由(1)得*1,3),所以tana=3,

因为tan(a+0=:ana+t：叱=_2,所以解得tan/y=l；

l-tancrtan/7l-3tanp

jr

因为°<5,所以夕=不

19../BC的内角A,B,C的对边分别为若asin8=G/?cosA.

⑴求A；

⑵若c=3,/3C的面积为迈.

2

(i)求。；

14

(ii)一ABC边3C上一点。，记△M£>面积为S»-AC。面积为S2,当m+不达到最小值

5d2

时，求AO的长.

【正确答案】(1)三

(2)(i)a=币;(ii)

3

【分析】(1)由正弦定理可得sinAsinB=gsinBcosA,进而得出tanA=£,即可得出答案;

(2)根据面积公式可推得b=2,然后根据余弦定理可求得a=曰设BD=®n,CD=@n,

推得!=费，!=费•代入J+U，根据“1”的代换，即可根据基本不等式得出取最

S19mS29/7%

小值时血〃的值，进而得出C£>=2互.根据余弦定理，在A3C中，求出cosC=^.然后在

314

ACD中，根据余弦定理，即可求出AO的长.

【详解】(1)由正弦定理以及asin3=JOcosA可得，sinAsinB=V3sinBcosA.

因为sinBwO,所以tanA=6.

又A«0,兀)，所以厶=宗

(2)(i)由已知可得，SVARC=—bcsinA=-bx3x^-=^^-,所以b=2.

由余弦定理可知，a2=h2+c2-2bccosA=4+9-2-2-3-=l,

所以，Cl=5/7.

(ii)设BD=5n,CD=y/ln,则加+差=1.

C

D

AB

所以孑=亲=知则屮…》所以〜茄十哈

同理可得’?六=等

所以

所以‘但手

宀+ca2+h2-c27+4-9币

又在一A5C中，有cosC=-------------=--------尸=—，

lab2x27714

【2x2x"也小

在丄ACZ）中，有40?=AC2+CO2—2ACCOCOSC=4+

3149

所以,但乎

20.已知函数/(x)=Asin(&r+*)(o>0,0<s<2),有以下四个命题：甲：该函数的最大值

_2乃

为6；乙：该函数的周期与y=siar的周期相同；丙：该函数有一个零点为胃；T：该函

数像可以由y=sin2x-acos2x的图像左右平移得到：以上四个命题中有且仅有一个命题是

假命题.

(1)请找出这个假命题，不需要说明理由，并求出f(x)的解析式;

⑵设函数/7(x)=gf(x-Wj+sin2x,求函数〃(x)的最小值.

(〃)：

【正确答案】1)假命题为丁，X=^Siinr?

⑵得

【分析】(1)对4个命题逐一推理找出矛盾所在;

(2)对〃(x)作恒等变换，运用换元法求解.

【详解】(1)假命题为丁，理由如下:

由甲得4=石，由乙得<v=l,此时f(x)=Gsin(x+0)

由丙得/[/)=°，sin(/+9)=0,*=_/+E(&GZ),

又因为0<9<2,所以s=g，即/(x)=6sin[x+1)；

由丁可得：y=sin2x-V2cos2x=5/3—1-sin2x------cos2x=>/3sin(2x-a),

、33)

其中cosa=@,sina=Y^,若丁正确，则乙丙错误，不符合题意；

33

(2)/z(x)=g/(x-R)+sin2x=+sin2x=^

(sin%+cosx)+2siarcosx

3I4丿6

设r=sinx+cosx=0sin+［卜［-&,3］，则有2sinxcosx=1一1,

所以设H(r)=將「+r-1,当宀制j,“⑺取最小值-芥即〃(x)的最小值为；

综上，(1)丁是假命题，(2)〃(力的最小值为-胃.

21.若函数/.(X)满足：存在非零实数T,对任意定义域内的x,有/(n)=/(x)+T恒成立,

则称〃x)为T函数.

(1)求证：常数函数/(x)=c不是T函数;

(2)若关于x的方程嚏4-彳=03>0且。#1)有实根，求证：函数g(x)=bg“x为T函数;

(3)如果函数/〈X)为T函数，那么r(x)是否仍为T函数？请说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)尸(可不为T函数，理由见解析

【分析】(1)根据题意，求出/(*)=C+THC,即可得出证明;

（2）代入化简可得g（Zr）=log〃x+k>g“T,然后根据题意知log）=7有解，即可得出证明;

（3）假设/lx）为T函数，根据T函数的定义可推出/（x）=[为常数函数.根据（1）的

结论，即可得出矛盾，假设错误，即可得出结论.

【详解】（1）由题意可知，/（八）=/。）+7=。+7人，故常数函数〃x）=c不是T函数.

（2）因为g（公）=log。（公）=logflx+logflT,

由题意得log/=T存在解，

所以，存在T,使得g（7k）=k）g“x+log“T=10gtix+T=g（x）+T,

即函数g（x）=bg«x是T函数.

（3）由题意“對=/（x）+T,则心（咐=[〃6+=2=/2㈤+2飴㈤+72

若尸（x）为T函数，则尸（△）=.『（x）+T,

则应有2V（X）+T2=7,

化简得〃x）=q为常数函数.

由（1）知，常数函数/（犬）=?不是T函数，

这与已知矛盾，所以假设错误，所以/2（x）不为T