数值积分方法

关于数值积分方法abf(x)数值积分的应用背景:1)被积函数的原函数不能表示为初等函数某些实际问题仅有一些离散函数值,无法给出被积函数表达式3)被积函数过于复杂,难以求得其原函数借助于被积函数在一些点的函数值,推算出满足一定精度的定积分近似值---数值积分方法第2页,共36页，2024年2月25日，星期天预备知识牛顿―莱布尼兹公式如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式来求定积分。第3页,共36页，2024年2月25日，星期天预备知识积分中值定理若f是[a,b]上的连续函数，则存在x∈[a,b]，使第4页,共36页，2024年2月25日，星期天预备知识广义积分中值定理若f在[a,b]上连续，g在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，存在x,x∈[a,b]，使第5页,共36页，2024年2月25日，星期天数值积分问题牛顿―莱布尼兹公式

找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示

原函数表达式过于复杂

f(x)是由测量或计算得到的数据表第6页,共36页，2024年2月25日，星期天yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-1数值积分问题第7页,共36页，2024年2月25日，星期天5.1插值型求积公式f(x)在这些节点的值f(xi)，求定积分第8页,共36页，2024年2月25日，星期天定义设有计算的求积公式如其求积系数，则称此求积公式为插值型求积公式.定积分转换成被积函数的有限个函数值的线性组合，无需求被积函数的原函数.5.1插值型求积公式第9页,共36页，2024年2月25日，星期天两点公式x0=a,x1=b,n=1梯形公式：5.1插值型求积公式一、梯形公式---两点线性插值几何意义：用梯形面积代替被积函数的曲边梯形面积第10页,共36页，2024年2月25日，星期天梯形公式误差5.1插值型求积公式广义积分中值定理若f在[a,b]上连续，g在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，存在x,x∈[a,b]，使

利用这一定理梯形与曲边梯形面积的对比：正负决定

第11页,共36页，2024年2月25日，星期天三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式x0x2x1y=f(x)L2(x)5.1插值型求积公式第12页,共36页，2024年2月25日，星期天辛卜生公式:取x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,n=2辛卜生公式：5.1插值型求积公式误差精度较梯形高第13页,共36页，2024年2月25日，星期天yxoy=f(x)

ab5.2复合梯形公式第14页,共36页，2024年2月25日，星期天分段线性插值--复合梯形法等分求积区间，比如取步长，分[a,b]为n等分，分点为

,k=0,1,2,…,n2.在区间[xk,xk+1]上求3.取和值，作为整个区间上的积分近似值第15页,共36页，2024年2月25日，星期天复合梯形公式误差由各小区间梯形误差累加小区间增多,误差减小→控制第16页,共36页，2024年2月25日，星期天……x0x1x2xkxk+1xn-1xn复合梯形公式(节点加密)第17页,共36页，2024年2月25日，星期天复合梯形公式(节点加密)由递推逐渐逼近，达到计算精度即停止。条件成立则终止计算并以T2n为定积分的近似值第18页,共36页，2024年2月25日，星期天教材P68--例5.1(1)牛顿-莱布尼兹公式—0.8670(2)梯形公式—0.75(3)辛卜生公式—0.8775(4)复合梯形公式T4=0.8617第19页,共36页，2024年2月25日，星期天5.3其它复合求积公式借用积分中值定理若f是[a,b]上的连续函数，则存在x∈[a,b]，使得将其用于积分的近似计算，取ξ=b,得---积分右矩形公式复合右矩形公式第20页,共36页，2024年2月25日，星期天如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n),h=(b-a)/n得到复合右矩形求积公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的误差估计复合右矩形公式第21页,共36页，2024年2月25日，星期天复合辛卜生公式记每2个节点间增加一个中值节点,节点数由n→2n.节距变为h=(b-a)/2n.展开,得第22页,共36页，2024年2月25日，星期天利用数据表xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.76473.50683.20002.87642.46002.265492计算积分复合求积方法比较取n=8用复合梯形公式=第23页,共36页，2024年2月25日，星期天取n=4,用复合辛卜生公式复化求积方法第24页,共36页，2024年2月25日，星期天定义如果一个求积公式(a)对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但至少对一个m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。定理对于求积公式(a)具有m次代数精度的充分必要条件为该公式对f(x)=1,x,…..xm

精确成立，而对f(x)=xm+1，不精确成立。5.4数值积分公式的代数精度第25页,共36页，2024年2月25日，星期天求代数精度的阶数--确定以下求积公式的代数精度5.4数值积分公式的代数精度?阶代数精度1阶代数精度?阶代数精度第26页,共36页，2024年2月25日，星期天5.4数值积分公式的代数精度证明代数精度的阶数第27页,共36页，2024年2月25日，星期天若求积节点xk任意选取，则求积公式中含有2n+2个待定参数xk和Ak(k=0,1,…n),适当选取这些参数，可使求积公式具有2n+1次代数精度，称这种用n+1个求积节点而具有2n+1次代数精度的求积公式为高斯求积公式，n+1个节点为高斯点。5.4高斯求积公式对于插值型求积公式第28页,共36页，2024年2月25日，星期天例：求形如的两点高斯求积公式。梯形公式：高斯公式：对求积公式中的四个待定系数A0,A1,x0,x1适当选取，使求积公式对f(x)=1，x，x2，x3

都准确成立3次代数精度5.4高斯求积公式第29页,共36页，2024年2月25日，星期天5.4高斯求积公式第30页,共36页，2024年2月25日，星期天求三点高斯求积公式高斯公式：对求积公式中的6个待定系数A0,A1,A2,x0,x1,x2，使求积公式对f(x)=1,x,x2,x3,x4,x5都准确成立代数精度阶数(2n+1)=55.4高斯求积公式n+1个求积节点数为3→n=2得三点高斯求积公式:第31页,共36页，2024年2月25日，星期天5.4高斯求积公式高斯求积公式在定积分中的应用构造对应函数x(t)=k+jt,使x(-1)=a且x(1)=b

得k=(a+b)/2,j=(b-a)/2，相应有第32页,共36页，2024年2月25日，星期天P75.例5.6(1)梯形公式—0.75(2)辛卜生公式—0.8775(3)复合梯形公式T4=0.8617第33页,共36页，2024年2月25日，星期天求二重积分的四点高斯求积公式(了解)其中:将二点高斯求积公式直接应用到二重积分的累次积分中第34页,共36页，2024年2月25日，星期天3.