2022-2023学年河北省高一年级下册期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省武强中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84,则这组分数的中位数和众数

分别是（）

A.84,85B.84,84C.85,84D.85,85

【答案】B

【分析】利用中位数和众数的定义进行判断.

【详解】数据84,79,86,87,84,93,84按从小到大的顺序排一列:79,84,84,84,86,87,93,

所以这组分数的中位数和众数分别是84,84,故A,C,D错误.

故选：B.

2.数据8,6,5,2,7,9,12,4,12的第40百分位数是（）

A.5B.6

C.7.5D.8

【答案】B

【分析】根据百分位数概念计算可知位置，然后可得.

【详解】把这组数据按照从小到大的顺序排列可得：

2,4,5,6,7,8,9,12,12,

因为9x40%=3.6,所以这组数据的第40百分位数是第4个数据6.

故选：B

3.从一个容量为加（m23,meJV）的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方

法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是g,则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体

中每个个体被抽中的可能性是（）

A.—B.—C.!D.—

5423

【答案】D

【分析】利用随机抽样每个个体被抽到的概率相等即得解

【详解】随机抽样每个个体被抽到的概率相等，

选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为g

故选：D

【点睛】本题考查了随机抽样每个个体被抽到的等可能性，考查了学生概念理解能力，属于基础题

4.某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况，对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查,

已知老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，若从中年教师中抽取了4人，则从青年教

师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多（）

A.5人B.4人C.3人D.2人

【答案】D

【分析】设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x,y,然后根据分层抽样的原理列方程，然

后解方程求解即可.

【详解】设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x,y因为老年、中年、青年教师分别有36

人，48人，60人，且从中年教师中抽取了4人，所以金=白=/，解得x=3,y=5,则y—x=2.

483660

故选：D.

5.某工厂对一批新产品的长度（单位：mm）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此

估计这批产品的众数为（）

［频率/组距

0.08------------1-।

SO4

SO3

O2

O.

0101520253035长度（mm）

A.20B.25C.22.5D.22.75

【答案】C

【分析】由频率分布直方图众数的计算方式求解即可.

【详解】这批产品的众数为:空手=22.5.

故选：C.

6.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是（）

A.3个都是篮球B.至少有1个是排球

C.3个都是排球D.至少有1个是篮球

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用随机事件、不可能事件、必然事件的定义逐项判断作答.

【详解】依题意，选出的3个球：“3个都是篮球”与“至少有1个是排球“可能发生，也可不发生，它

们是随机事件，A,B都不是；

因只有2个排球，所以选出3个球不可能都是排球，“3个都是排球”是不可能事件，C不是；

因只有2个排球，所以选出的3个球至少有1个是篮球，“至少有1个是篮球”是必然事件，D是.

故选:D

7.设0为正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）

【答案】A

【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式

运算即可.

【详解】如图，从C,O5个点中任取3个有

{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}

{A,C,0,{8,C,0共10种不同取法，

3点共线只有{A。C与{8。0共2种情况，

由古典概型的概率计算公式知，

取到3点共线的概率为2旨;1

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容

易题.

8.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=3,BC=4,CC,=3,ZACB=90,则与所成的

角的余弦值为（）

A.—B.叵C.@D.@

10345

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，写出8G的坐标，由夹角公式可得结果.

【详解】如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则C（0,0,0）,A（3,0,3）,5（0,4,0）,C,（0,0,3）,

所以B=（3,0,3）,BC,=（O,-4,3）,

/…CA,■BC93&

所以小网叫=网网t=汨=而，

所以直线BC,与AC所成角的余弦值为述.

10

故选：A.

二、多选题

9.己知空间中三点A（0,1,0）,8（2,2,0）,C（—1,3,1）,则下列结论正确的有（）

A.ABLACB.与AB共线的单位向量是（LL0）

C.AB与BC夹角的余弦值是D.平面A8C的一个法向量是（1,-2,5）

11

【答案】AD

【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD,根据共线向量和单位向量判断B,根据向量夹角

的坐标运算判断C.

【详解】由题意可得A3=(2,l,0),AC=(—1,2,1),BC=(-3,1,1),

选项A：ABAC=-2+2+0=0<故A8_LAC，正确；

选项B：(1,1,0)不是单位向量，且(1,1,0)与钻=(2,1,0)不共线，错误;

cos(AB,BC)ABBC-6+1+0后

选项C：氐而丁，错误;

选项D：设加=(1,-2,5),则%48=2-2+0=0，相•AC=-l-4+5=0,

所以相，48，m_L4C，又=所以平面ABC的一个法向量是—2,5),正确;

故选：AD

10.某校高二(13)班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是()

累积频数

A.没有人的成绩在30~40分这组内

B.第50百分位数位于60~70分这组内

C.第25百分位数位于40-50分这组内

D.第75百分位数位于70-80分这组内

【答案】ABC

【分析】按照百分位数的定义，一一进行计算即可.

【详解】由题图知没有人的成绩在30~40分这组内；故A正确；

由40x25%=10,取第10、11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40~50分这组内；故C正确;

由40X50%=20,取第20、21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60~70分这组内；故B正确;

由40x75%=30,取第30、31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60-70分这组内.故D不正

故选：ABC

11.掷一枚质地均匀的骰子，记”向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,

贝I（）

A.B

B.A=B

C.AcB表示向上的点数是2

D.AuB表示向上的点数是1或2或3

【答案】CD

【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断.

【详解】由题可知，”向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件8,

所以事件B不包含事件A,故A错误；

事件B也不等于事件A,故B错误；

事件ACB表示“向上的点数是2”，故C正确；

事件AUB表示“向上的点数是1或2或3”，故D正确.

故选：CD.

12.分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6）,设事件"第一

枚骰子的点数为奇数“，事件N="第二枚骰子的点数为偶数”，则（）

A.M与N互斥B.P（A/）=-C.M与N相互独立D.P（MN）=-

【答案】BCD

【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据古典概型的

计算公式即可判断B；根据对立事件的概率公式结合交事件的概率公式即可判断D.

【详解】解：由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响，

故事件〃与事件N为相互独立事件，故A错误，C正确；

,31

尸W）十；；，故B正确；

P（MuN）=l-P（而cW）=l-；xg=故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.打靶3次，事件4=“击中i发"，其中i=0,l,2,3.那么4=4&A,表示.

【答案】至少击中1发

【分析】根据和事件的定义判断.

【详解】根据并事件的定义可知，4=AAA3表示A、4、A至少有一个发生，

所以A=AA,A3表示至少击中1发.

故答案为：至少击中1发.

14.已知一组数据-3,2”,4,5-a,1,9的平均数为3（其中aeR）,则中位数为.

【答案】3.5

【分析】首先根据平均数求出参数。，即可一一列出数据，再求出数据的中位数即可；

【详解】解：因为数据一3,24,4,5-。,1,9的平均数为3,所以一3+2。+4+5—。+1+9=3乂6,解得。=2,

所以则组数据分别是-3,4,4,3』,9,按从小到大排列分别为-313,4,4,9,故中位数为岁=3.5

故答案为：3.5

15.若样本数据xi,X2,...,xio的标准差为8,则数据2x4,2x2-1,....2xu）-l的标准差为.

【答案】16

【详解】因为样本数据内，9，.・.，布的标准差为8,,师=8,即。X=64,数据

2占-1,2%-1,...,2%-1的方差为。（2*-1）=4"=4*64,则对应的标准差为Jo（2X-l）=16,

故答案为16.

16.甲射击命中目标的概率是;,乙射击命中目标的概率是!，丙射击命中目标的概率是9.现在三人同

时射击目标，则目标被击中的概率为.

3

【答案】4/0.75

4

【分析】先求出目标不被击中的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出目标被击中的概率

【详解】由题意可得，目标不被击中的概率为：:1x2；x=3==1,

2344

则目标被击中的概率为l-'=g.

44

【点睛】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一

些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.

二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式尸（A）=l一尸（•），即运用逆向思维（正难则

反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.

四、解答题

17.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的

平均数为。，第50百分位数为b,求。/的值.

【答案】a=14.7,b=l5

【分析】根据已知，利用平均数、百分位数的计算公式求解即可.

【详解】把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,

其平均数4=\*(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,

因为10x50%=5,

所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为。=笥"=15.

18.某校夏令营有3名男同学4B.C和3名女同学X.F.Z,其年级情况如下表：

一年级二年级三年级

男同学ABC

女同学XYZ

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)

用表中字母列举出所有可能的结果

设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学“，求事件A/发生的概率.

2

【答案】(1)15,(2)丁

【详解】试题分析：(1)列举事件，关键是按一定顺序，做到不重不漏.从6名同学中随机选出2人参

加知识竞赛的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y}.{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},

共15种.(2)”为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，其事件包含

{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此，事件M发生的概率P(M)=(=|.

试题解析：解(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},

共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为

{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此，事件,1/发生的概率P(M)$=|.

【解析】古典概型概率

19.杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高

三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120

名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其

(1)需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人；

(2)请补全频率分布直方图.

【答案】(1)高一抽取60人，高二抽取40人，高三抽取20人

⑵答案见解析

【分析】(1)根据分层抽样的定义按比例求解即可；

(2)由各组的频率和为1求出第三组的频率，从而可求出第三组的小矩形的高度，进而可补全频率

分布直方图.

【详解】(1)报名的学生共有1080人，抽取的比例为置=",

所以高一抽取54()x9=60人，高二抽取360x^=40人，高三抽取180x1=20人；

(2)第三组的频率为1-(0.1+0.15+0.3+0.25+0.05)=0.15,

故第三组的小矩形的高度为0015,补全频率分布直方图得

O39.549.559.569.579.589.599.5分数

20.如图直角梯形ABC。中，AB〃Cr),AB，BC,BC=C。=5AB=2,E为A8中点.以OE为折痕

把VAOE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2/.

⑴求证：PE_L平面A8C£>；

(2)二面角P—OC—8的大小.

【答案】(1)证明见解析

吗

【分析】根据已知，利用勾股定理以及线面的垂直判定定理进行证明.

根据己知，利用二面角的定义以及直角三角形的性质进行求解.

【详解】(1)因为在直角梯形ABC。中，48〃8,48,80,5为48中点.

所以P£J_Z)E,

又PE=2,CE=2yf2,PC=2-j3.

所以2炉+虑2=尸（＞,即PEJ.EC,又DEcEC=E,DE,ECu平面ABCD,

所以PE_L平面ABC。；

连接PO,由（1）有：PEJ_平面A8CD,又£>Cu平面ABC。，

所以PEJ.DC,又DELDC,PEcDE=E,PE,DEu平面PDE,

所以。C,平面PQE,又DPu平面PDE,

所以DC_LP£),

则々DE即为二面角尸-OC-B的平面角，

TT

在RtARDE中，PE=DE=2,所以NPOE=:，

所以二面角p—r>c—8的大小为：：

21.如图，在正方体ABC。-ABC。中，E为8线的中点.

DC

（I）求证：质"/平面42《：

（II）求直线4A与平面ARE所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）

【分析】（I）证明出四边形ABGR为平行四边形，可得出BCJ/A。，然后利用线面平行的判定定

理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；

（II）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直

角坐标系，利用空间向量计算求解.

【详解】（I）［方法一］：几何法

如下图所示：

在正方体AB8-A耳GR中，且AB=A£,4耳〃GR且A与=GR,

.•.AB//GR且AB=CQ,所以，四边形ABG。为平行四边形，则

BG<Z平面AQE,A，u平面ARE,..BG〃平面A£\E；

［方法二］:空间向量坐标法

以点A为坐标原点，A。、AB,AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标

系A-•孙z,

设正方体ABC。-AAGA的棱长为2,则A（o,o,o）、A（0,0,2）、D,（2,0,2）,E（0,2,l）,AR=（2,0,2）,

AE=（0,2,1）,

.、n-AD,=0（2x+2z=0

设平面ARE的法向量为〃=（x,y,z）,由“A］.。，得,丫+:。，

令z=-2,贝!］x=2,y=l,则〃=（2,1,-2）.

又；向量80=（2,0,2）,BC/〃=2x2+0xl+2x（—2）=0,

又.BC1<Z平面..BG//平面AQE；

（II）［方法一］:几何法

延长CG到尸，使得弓尸=8后，连接EF,交B£于G,

又；QF//BE，，四边形BEFG为平行四边形，BC,HEF,

又：BC\/AD\,：.4。/小尸,所以平面4。£即平面42所，

连接。。，作CH_L"G,垂足为“，连接F",

•••FC\1平面AB|GR,D}Gu平面4瓦GRFCJD,G,

又；FCqC'H=C,,A直线D,G1平面C/H,

又,/直线D,Gu平面D、GF,：.平面DfiF1平面CtFH,

G在平面DtGF中的射影在直线FH上,二直线FH为直线FC,在平面D,GF中的射影，/C、FH为

直线FG与平面。。尸所成的角,

根据直线尸C"/直线AA，可知NGF”为直线AA与平面ARG所成的角.

2x12

设正方体的棱长为2,则GG=GF=i，aG=6.・.GH=

•_C、H_2

••sinNC[FH=----=一,

FH3

即直线AA与平面ARE所成角的正弦值为不

接续（I）的向量方法，求得平面平面ARE的法向量”=（2,1,-2）,

../?•AA.42

XVM=（0,0,2）,.-.cos<",M>=噌=-而=个，

直线AA,与平面ARE所成角的正弦值为|.

［方法三］:几何法+体积法

如图，设B,G的中点为F,延长Ag,AE,RF,易证三线交于一点P.

因为BqaAVE/3AR,

所以直线A4与平面ARE所成的角，即直线BE与平面P所所成的角.

设正方体的棱长为2,在！PEF中，易得PE=PF=后,EF=6,

3

可得SPM=/.

1311

由V:棱飒-诋=&棱锥尸-叱,得1'/•旦//ugX/xlxlxZ,

整理得4〃=；.

所以sinNB^EH=*=；.

BlE3

所以直线4A与平面AQE所成角的正弦值为;.

［方法四1：纯体积法

设正方体的棱长为2,点A到平面AEDy的距离为h,

在△AE。中，AE=®AD、=2&D\E=3,

21+4炉-皿9+5-8后

cosZAED=

12D.EAE-2x3x石-5

所以sinNAED、=~~，易得SAED,=3.

1I4

由％小耳=以-何，得丁人快小用二六码/,解得〃=§,

h2

设直线