河北省唐山市滦州二中2023-2024学年高二年级上册期中数学试题

河北省唐山市滦州二中2023-2024学年高二上学期期中数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知圆M的方程为(x+lf+(y-2)2=4,则圆心M的坐标是()

A.(-1,2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

2.直线2x+5y—10=0在x轴，y轴上的截距分别为a,b,则()

A.a=2,b=5B.a=5,b=2

C.a=—2,b=5D.a=—5,b=2

3.已知直线的点斜式方程为＞-3=唐(尤-4),则这条直线经过的定点、倾斜角分别是

()

A.(4,3),60°B.(-3,-4),60°C.(4,3),30°D.(-4,-3),60°

4.圆。|：/+V+2尤=。与圆.—4y+1=。的位置关系为()

A.内切B.相交C.外切D.外离

5.在空间直角坐标系中，已知A(L0,1),以1,1,一1),C(2,2,-l),则点B到直线AC的

距离为()

A.-B.立C.-D.1

333

6.如图，在四面体ABCD中，AB=CD=3,AC=BD=4u，AD=BC=26，△ABC

的重心为0,则。0=().

4

A.2B.-D.3

3

,2

7.椭圆C:—+匕=1的焦点为耳、工，若点尸在C上且满足|尸司-|尸阊=8,则△白尸鸟

10075

中最大角为().

A.60B.90C.120D.150

8.在正方体48。£)-4月6。1中，E,产分别为棱A片，棱与G的中点，则以下说法正

确的是()

A.BDJ平面DEFB.BA〃平面CEF

C.平面3。8」平面。理D.平面AC4_L平面OEF

二、多选题

9.已知向量a=(LT,0),=(-1,0,1),c=(2,-3,l),则()

A.|a-/?|=6B.(a+26).(b+e)=6

C.(a+56)_LeD.a/lib—c^

10.已知直线/:x-2y+l=C)G"eR),圆C:(x-左了+(y-2左-1)。=1(keR),则下列选

项中正确的是()

A.圆心C的轨迹方程为丁=2尤-1

B.左=-：时，直线/被圆截得的弦长的最小值为百

C.若直线/被圆C截得的弦长为定值，则〃z=g

D.加=1时，若直线/与圆相切，则上=0

11.如图，正方体ABC。-446A的棱长为2,E为A4的中点，尸为棱BC上的动点

A.存在点P,使RPLAG

B.存在点尸，使PE=5E

Q

c.四面体"GA的体积为定值|

试卷第2页，共4页

D.二面角P-D.E-C,的余弦值的取值范围是

22

12.己知椭圆C:二+匕=1的左、右焦点分别为片、F2,过乙的直线与C交于A,B两

43

点，贝1|()

A.ZkAB8的周长为4

B.△A8W的周长为8

C.椭圆C上的点到焦点的最短距离为1

D.椭圆C上的点到焦点的最短距离为3

三、填空题

13.已知直线4：3x+4y-2=0，：3x+4y+2=0,贝必与'之间的距离是.

14.直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程：

22

15.若以原点。为圆心的圆同时经过椭圆二+2=1(。＞。＞0)的左顶点A及右顶点

ab

且被过焦点F(c,O)的直线I：x=c分成弧长为2:1的两段圆弧，则该椭圆的离心率e等

于一

四、双空题

16.在正四棱柱ABCD-A由6。中，AG=#,AC1与底面ABCO所成角的余弦值为多,

则该四棱柱的体积为;异面直线4B与AD｝所成角的余弦值为.

五、解答题

17.在.ABC中，己知A(O,1)I(5,-2),C(3,5).

⑴求BC边上中线所在的直线方程；

(2)求AB边上的高所在的直线方程.

18.已知空间三点A(-2,0,2)、5(-1,1,2),C(一3,0,4),^a=AB，b=AC.

(1)若向量左a+B与左。一26互相垂直，求实数人的值；

⑵若向量荷-b与a-"共线，求实数4的值.

19.如图，在直棱柱ABC-A4a中，AC±BC,AC=BC=AAl=l,延长AC至O,使

AC=CD,连接B。，B,D,CXD.

⑴求证：AQ±B{D；

(2)求平面与G。与平面ABC所成锐二面角的正切值.

20.一条光线从点P(-2,1)射出，经x轴反射后穿过点Q(4,2).

(1)求反射光线所在直线/的方程.

(2)圆心在无轴，半径为3的圆A与(1)中的/相交弦长为4,求圆A的方程.

21.已知线段的端点8的坐标是(6,5),端点A在圆£：(x_4『+(y-3)2=4上运动.

(1)求线段42的中点P的轨迹C2的方程：

⑵设圆C/与曲线C2的交点为/、N,求线段的长.

22.己知椭圆C：.+r=1(。>6>0)经过点4(0,1),且离心率为手.

⑴求椭圆C的方程；

(2)椭圆C上的两个动点M,N(M,N与点A不重合)直线AM,AN的斜率之和为4,

作于H.问：是否存在定点P,使得忸同为定值.若存在，求出定点P的坐

标及忸”|的值；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据圆的标准式，即可得到圆心的坐标.

【详解】3-。)2+(丫-讨=户的圆心坐标为(她)；

.•.0+1)2+0-2)2=4的圆心坐标为(-1,2)；

故选：A.

2.B

【解析】将直线方程化为截距式方程即可得出.

【详解】由2x+5y-10=。可得2x+5y=l。，即±+上=1,

52

「•Q=5,b=2.

故选：B.

3.A

【分析】由直线的点斜式方程的特点可得到过的点和斜率，根据斜率求倾斜角.

【详解】因为直线的点斜式方程为y-3=百。-4),

由直线的点斜式方程的特点可知，直线经过定点(4,3),

斜率为6，即倾斜角为60°.

故选：A.

【点睛】本题考查了直线方程的点斜式特点，属于基础题.

4.B

【分析】求出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，由圆心距与半径之间的关系即可判断

【详解】由题意，a：(%+i『+y2=i,圆心为a(—i,o),半径11,

22

O2:x+(y-2)=3,圆心为。2(°,2),半径马=百，

由。02=炉下=百，|4-引<002<4+2可知，两圆的位置关系为相交.

故选：B

5.D

【分析】利用向量投影的定义结合勾股定理即可求解.

【详解】因为AB=(O,l,-2),AC=(1,2,-2),

答案第1页，共14页

南=；/^。2-2)=1»

所以3到直线AC的距离为=J5—4=1■

故选：D

6.C

【解析】四面体ABCD还原到长方体GCED中，求得DE=4,利用三角形相似求得

重心。与尸点重合得解.

【详解】如图，将四面体ABCD还原到长方体A£B"-GCED中，易知四面体ABCD的棱是

长方体AEBH-GCFD的面对角线，

lAB2+AC2+BC2l32+(y/n)2+(2y/3)2

则DE=yjEA2+EB2+EC2

V2-V2

连接断交BC于M,连接40,则A〃为5c边的中线，AABC的重心。为A〃靠近M的

三等分点.把长方体的对角面AEFD单独画出，如图，记尸为AM和田的交点.

pnAPAF)

因为△位阴s且==2,所以P为AM靠近M的三等分点，即重心。

PEMPEM

28

与尸点重合，i^OD=PD=-ED=~

故选：C

答案第2页，共14页

【点睛】对棱分别相等，还原为长方体是解题关键.

7.C

【分析】利用椭圆的定义结合已知条件可求得△月产不中的最长边的长，利用余弦定理可求

得结果.

【详解】在椭圆C中，a=10,b=5y[3,则c==5,

由已知可得;一,n，所以，户司=14,|叫|=6,闺局=10,

rrx+尸尸2=，U

所以，|尸耳|＞国闾＞|尸闾,故在△耳时中,/PFy[最大,

.附「+怩耳「一①「

由余弦定理可得cos/尸心片

2|尸用M用2

0<ZPF2F1<180,故NP££=120,

故选：C.

8.C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量工具逐项判断即可

不妨设正方体棱长为2,如图,建立空间直角坐标系。-孙z，则

£(2,1,2),F(l,2,2),BQ,2,0),D.(0,0,2),C(0,2,0)

答案第3页，共14页

DE=(2,l,2)m=(l,2,2),

m•DE=02。+b+2c=0

设平面DEF的法向量加=(。,"c):.<

m•DF=0。+2b+2c=0

令〃=2力二2,则。=-3,易得平面。跖的法向量加=(2,2,-3)

=(-2,-2,2),因为机与股不平行，所以3,与平面。口不垂直，故A错

CE=(2,-l,2),CF=(l,0,2),

n-CE=012尤一y+2z=0

设平面CEE的法向量”=(x,y,z);.二c，

令x=2,y=2,则z=-l,易得平面CEF的法向量〃=(2,2,-1)

因为•”=TOW0,所以BDt与平面CEF不平行，故B错.

EF=(-1,1,0),DB=(2,2,0),DD{=(0,0,2)

EFDB=0

因为，所以EFLDB,EFLDR

EFDD^O

又DBcDD[=D,DBu平面BDD},DD}u平面BDDX

所以斯工平面BOA,即EF1平面BDB},

又EFu平面OEP,所以平面BDBX1平面OER故C正确

5D,AC=0,BD「AB,=0,B£>,nAB,=B,,则BD,为平面AC用的一个法向量

BDX-m=(-2,-2,2)-(2,2,-3)=-14N0,所以平面ACS,与平面DEF不垂直，故D错误

故选：C

9.BCD

【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算一一计算可得.

【详解】解：因为“=(1,-1,0),。=(一1,0,1),

所以4功=(2,-1,-1),所以"="2+(-1)2+(-1)2=正,故A错误；

因为a+26=(-1,-1,2),6+c=(l,-3,2),所以(a+26)・(b+C)=6,故B正确;

因为4+5斤(-4,一1,5),所以(a+56)・c=-4x2+(Tx(-3)+5xl=0,故C正确；

答案第4页，共14页

因为力」=(-3,3,O),a=(1-1,0),所以力」=_3%所以酎/(力」)，故D正确.

故选：BCD

10.BC

【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A,再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B,

求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C,求出圆心到直线的

距离，即可判断D；

【详解】解:圆C:(x—Z)2+(y-2%—1)2=1(兀eR)的圆心坐标为。0,2%+1),

所以圆心C的轨迹方程为y=2无+1,故A错误；

x+l=O•X——1

直线/：X-冲+1=0(m£R),令八，解得c，即直线/恒过点M(-LO),

—y=0y=u

当左时圆C:(x+/+y2=i,圆心为c[_g,O),半径厂=1,又1Mq=

所以直线/被圆截得的弦长的最小值为、户一眼。『=6,故B正确；

对于C：若直线/被圆C截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离

Vl2+m2Vl2+m2

所以1一2m=0,解得加=g,故C正确；

卜-(2左+1)+1_冈

对于D：当根=1时直线/：%—y+l=O,圆心到直线的距离d="2([『二飞,

若直线与圆相切，则左=±逝，故D错误；

故选：BC

11.AB

【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项

进行分析，从而确定正确答案.

答案第5页，共14页

建立如图所示空间直角坐标系，

设CP=a（O4a<2）,则尸（a,2,0）,£（2,1,2）,A（2,0,0）6（0,2,2）,D,（0,0,2）,则

Aq=(-2,2,2),〃P=(a,2,-2),=-2cz+4-4=-2a,

当a=0时，即尸点与C点重合时，D,P1AC,,故A正确.

由尸E知J(a-20+12+22=J22+F+02,解得a=2,此时尸点与B点重合,

故B正确.

1114

VE-PCVX2S为定值，故错误.

lDl=P-C1D1E=^-GRE=§x2X]X2x2=§C

又AE=(2,l,0),RP=(a,2,—2),设平面2欧的法向量々=(x,y,z),

D]E%=2x+y=0=0

由i令X=]贝!|y=_2,z=-|-2

Dph=ax+2y-2z=0=0

又平面O£G的法向量%=（0,0,2）,

故D错误.

故选：AB

12.BC

【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案.

22

【详解】由题意，椭圆。:二+乙=1,可得a=2,b=&,则c=WF=i，

43

答案第6页，共14页

则AAB8的周长为/=|钻|+|9|+忸同=(|不|+|然|)+(忸凰+忸阊)=2.+2a=8,

又由椭圆的几何性质，可得椭圆C上的点到焦点的最短距离为。-c=1.

故选：BC

【分析】由两平行线间的距离公式求解即可.

［详解］因为4：3%+4y-2=0,4：3x+4〉+2=。，

所以两直线平行，

,12-(-2)|4

所以4与6之间的距离功=:7：,

4

故答案为：—

14.4%+3>=0或无+>一1=0

【分析】根据题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线的方程.

【详解】由题意，当直线过原点时，此时所求直线的斜率为左=-三，所以所求直线的方程

4

^jy=--x,即4%+3y=0；

当直线不过原点时，设直线的方程为二=1(。20),又由直线过点(-3,4),

aa

代入得^+3=1=。=1，即直线的方程为％+，-1=。，

aa

所以直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距相等方程为4x+3y=0或x+y-l=0.

【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据直线在坐标轴上的截距相等，分

类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

15.—/0.5

2

答案第7页，共14页

【分析】设直线/交圆。于点M、N,求出/OMN的值，可得出同=；。闾，即可求得

该椭圆的离心率的值.

2兀

【详解】设直线/交圆。于点/、N,由题意可知，ZMON=y,

又因为|OM=|ON|,贝uo肋v为等腰三角形，且NOMNJ,

又因为Ux轴，垂足为点八所以，|O刊=即。=与，

故该椭圆的离心率为e=£=；.

a2

故答案为：■

16.2-

5

【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积；利用平移直线,

转化为RC与A2所成角.

【详解】解：如图可知：AG=«,cosZAC,A=y-

.•.4G=应，AA,=2,

答案第8页，共14页

・••正四棱柱的体积等于4耳.明=2;

,/A,BD}C,

.••2C与4,所成角即为所求角，记为巴

8；+皿-35+5-2_4

cos0=

2CR•AD、2x5一5’

4

••・异面直线AB与AR所成角的余弦值为I.

4

故答案为：2,—.

17.(l)x-8y+8=0

⑵5x-3y=0

【分析】(1)根据题意可求出3C两点的中点。，从而由AD两点求出8c边上中线所在直

线方程；

(2)由48两点斜率求出高所在直线斜率，利用点斜式从而求解.

【详解】(1)由题意知4(0,1),8(5,—2),C(3,5),所以线段3c中点坐标为,

3_,

所以可得3C边上中线所在的直线斜率心_5-1_1,

4-08

所以可得直线方程为：y-l=1(x-0),即尤-8y+8=0；

O

故所求直线方程为：x-8y+8=0.

1+23

(2)由题意知A3所在直线斜率KB=S=-=,

所以可得AB边上的高所在的直线斜率％=-4=£，

kAB3

所以可得直线方程为：y-5=|(x-3),即5x-3y=0.

故所求直线方程为：5x-3j=0.

18.(1)左=-万或2

(2)%=-1或1

【分析】(1)求出向量入+6、L-26的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实

答案第9页，共14页

数上的方程，解之即可;

(2)求出向量加7一6与a一26的坐标，^Aa-b=m(a-Ab),可得出关于2、机的方程组,

即可解得实数4的值.

【详解】(1)解：由已知可得a=AB=(U,O),b=AC=(-1,0,2),

所以，ka+b=k(l,l,0)+(-l,0,2)=(k-l,k,2),

ka-2b=k(l,l,0)-2(-l,0,2)=(k+2,k,-4),

由题意可知(左a+6)，(Aa-26)=(左一1)(%+2)+左。-8=2k"+左一10=0,

即(2Z+5)优—2)=0,解得左=一：或2.

(2)解：4a—Z?=4(1,1,。)一(一1,0,2)=(4+1,4—2),

=0,2)=(1+2,1,-22),

A+1=机（1+丸）

m=—l

由题意，设Xa-6=〃z(a-X6),所以，＜丸=根,解得

A=-1

-2=-2Am

因此，2=±1.

19.(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)建立坐标系，利用向量法即可证明

(2)求出平面的法向量，利用向量法即可求平面瓦G。与平面43c所成锐二面角的正切值.

【详解】(1)证明：；在直棱柱ABC-中，AC1BC,

.•・以C为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，

AC=BC=AA,=1,延长AC至。，使AC=CD,

■.C(0,0,0),B(1,0,0),。(0,1,0),G(0,0,D,A(0,-1,0),/?,(1,0,1),

则4G=(0,1,1),8。=(一1,1,一1),

则AG.8Q=(0,l,l)・(T,l,T)=1—1=0,

答案第10页，共14页

则AG，BQ,即AG，片。；

(2)平面ABC的法向量为“=(0,0,1),

设机=(尤,,，z)为面B£D的一个法向量,

则CtB,=CB=(1,0,0),B,D=(-1,1,-1),

mC[B]=0曰x=0x=0

则，得c，即

mB'D=0-x+y-z=0y=z

令z=i,则y=i,则讥=(o,i,i),

,nun1v2

贝nIjcos1^=-^=丁

Im||n|V22

设平面B©D与平面ABC所成锐二面角为e„

,贝(Jcos3==>0=—

24

即tan0=1,

即平面B£D与平面ABC所成锐二面角的正切值为1.

20.⑴x—2y=0

(2)(x+5)2+y2=9^(x-5)2+y2=9.

【分析】利用P(-2,1)关于x轴的对称点在反射光线所在的直线上，结合点斜式方程可解答

案；

利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再结合弦长与半径的值可求圆心坐标，则圆

的方程可求.

【详解】(1)(1)设点P关于x轴的对称点为S(-2,-1),

2—(—1)]1

则直线SQ的斜率为“〉[=7,贝USQ方程为了=彳(尤+2)-1,即/方程为x-2y=0.

4—(—2)22

答案第11页，共14页

(2)设圆心(。,0),则圆心到直线/的距离为

2

由弦长等于4+22=32y解得〃=±5.

所以圆A的方程为(x+5y+/=9或(x-5)z+/=9.

21.(l)(x-5)2+(y-4)2=l

⑵半

【分析】(1)设点尸的坐标为(x,y),点A的坐标为(5,%),由于点8的坐标为(6,5),利

用点尸是线段AB的中点，求出毛=2苫-6,%=2y-5,通过点A在圆G上运动，转化求

解中点P的轨迹的方程即可；

(2)将圆C1与圆C2的方程相减得2x+2y-19=0,求出圆C?的圆心到直线2x+2y-19=。的

距离d,即可求解IMN|；

【详解】(1)设点尸的坐标为(x,y),点A的坐标为(我,％),

由于点2的坐标为(6,5),且点尸是线段A8的中点，所以A血詈，y=

fxn=2x-6_

于是有,5①，

[%=2y-5

因为点A在圆G：(x—4)2+(y-3)2=4上运动，即：(尤0-4)?+(%-3>=4②，

把①代入②，得(2xT6-4>+(2y—5-3产=4,整理，得(x-5入+(y-4尸=1,

所以点尸的轨迹C2的方程为(—5)2+(y-4)2=1.

(2)将圆G：(x-4)2+(y-3)z=4与圆C?:(x-5)2+(>-4)2=1的方程相减得：2x+2y-19=0,

由圆64-5)2+(丫-4)2=1的圆心为(5,4),半径为1,

且(5,4)到直线2x+2〉-19=。的距离d="拶;*=孝,

贝lj|MN|=2=浮

答案第12页，共14页

22.（l）y+/=l；

⑵存在定点P（-；,0），使得|尸引为定值且定值为乎.

【分析】（1）由题意得匕=1,再由离心率，结合。，瓦C的关系求得。，得椭圆方程;

（2）假设存在定点户满足题意，在MN的斜率存在，设直线MN的方程为>=依+"，

"（XQJN5,必），直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得芯+%，，同时注意

A>0,利用七M+KN=4求得公”，的关系，得直线MN过定点T,AT的中点即为定点尸.再

验证MN斜率不存在时也满足题意.

【详解】(1)由已知6=1,e=£=包二=必，解得.=如