2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章 等式性质与不等式性质

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.3等式性质与不等式性质

【考试要求】1.掌握等式性质2会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.两个实数比较大小的方法

a-b>O^a>bf

作差法—（。，

a~b<O^a<h.

2.等式的性质

性质1对称性：如果Q=b,那么b=a；

性质2传递性：如果a=b,b=c,那么a=c；

性质3可加（减）性：如果。=b,那么〃±c=b士c；

性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc；

性质5可除性：如果a=b,cWO,那么旦=2

CC

3.不等式的性质

性质1对称性：a>bob<a；

性质2传递性：a>b,b>c^a>c；

性质3可加性：a>b^a+c>b+c；

性质4可乘性：d>h，c>00ac>bc；a>b,c<0=ac<bc；

性质5同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0>ac>bd；

性质7同正可乘方性：心6>0=*>〃（〃WN,〃22）.

【常用结论】

1.若ab>0,且丄.

ab

2,若a>h>0,m>0=>纥'+"；

a。+〃7

若b>a>Q,m>0=>:>〃+〃?

aa~\~m

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)两个实数a,6之间，有且只有Ab,a=b,三种关系中的一种.(V)

(2)若纟>1,则6>4.(X)

a

(3)若x>y,则f>y2.(X)

(4)若丄」，则b<a.(X)

ab

【教材改编题】

1.如果。。>从，那么下列不等式中，一定成立的是()

A.ac2>bc2B.a>b

C.a+c>b+cD.->^

cc

答案D

解析若c<0,贝1J所以〃c2Vbe2,a+c<b-\~c9A,B,C均错；

因为ac>bc,则c2>0,因为ac>bc,则即且>纟，故D正确.

C2C2CC

2

2.己知-3x,N=-3x+x-3f则M,N的大小关系是.

答案M>N

解析VA/-^=(x2-3x)-(-3x2+x-3)

=4/-4X+3=(2X-1)2+2>0,

：.M>N.

3.若l<tz<2,2<*<3,则纟的取值范围是

b

答案41)

解析由2Vb<3,

得kV，

3b2

又l<a<2,

，1X%X12X」,

3b2

即

■探究核心题型

题型一数(式)的大小比较

例1(1)已知pWR,M=(2p+l)(p—3),N=(p—6)(p+3)+10,则M,N的大小关系为()

A.M<NB.M>N

C.MWND.M^N

答案B

解析因为A/—•N=(2p+1)(/?—3)—[⑦―"6)(/?+3)+10]=p2—2p+5=(p—l)2+4>0,所以

M>N.

⑵若a>6>l,P=ae%Q=be",则尸，。的大小关系是()

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.不能确定

答案C

eh

解析P,。作商可得笄”=立，

Qbe

a

令人x)="，则/(乃==0,

XX1

当x>l时，/(x)>0,所以40=£在(1,+8)上单调递增，

X

因为心6>1,所以浮，

ba

更

又#>0,”>0,所以4=立<1,所以尸<0.

ba。空

a

思维升华比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

跟踪训练1(1)已知a,b为不相等的实数，iBM^a2-ab,N^ab-b2,则A/与N的大小关

系为()

A.M>NB.M=N

C.M<ND.不确定

答案A

解析因为M—N=(a2—ab)—(ab—b2)=(a-h)2,

又a乎b,所以(a—b)2>0,即

(2)已知川=e+1,N=e则M,N的大小关系为

20222023

e+le+l—

答案M>N

p.2021-I-1J022_|-l

解析方法一M-N^~~——

e2022+le2023+l

=(e202l+l)(e2O23+l)―(e2022+1)2

(e2022+l)(e2023+l)

2022

e2021+e2023—2e

-(e2022+l)(e2023+l)

e2021(e-l)2人

=------------------------->0.

(e2022+l)(e2023+l)

：.M>N.

方法二令大外二三?；

'+1

^''+1)+1--.1--

=ee=~L-|-e一

et+1+led+1+i'

显然人x)是R上的减函数，

；.貝2021)>/(2022),即M>N.

题型二不等式的性质

例2⑴已知a>6>c>0,下列结论正确的是()

A.2a<Z>+cB.a(b—c)>b(a—c)

C.-—>•_■-D.(a-c)3>(ft-c)3

a-cb-c

答案D

解析a>b>c>0,/.2a>b+c,故A错误；

<a=3>h=2>c=l>0,贝U〃(b—c)=3vb(a—c)=4,故B错误;

由a>b>c>0可知，a—c>b—c>0,

~■一<~■一，(〃-c)3>(b—c>,故C错误，D正确.

a-cb-c

(2)(多选)若〃>0>b>—a,c<d<0,则下列结论正确的是()

A.ad>bcB.-+^<0

dc

C.a-c>b—dD.a(d—c)>b(d—c)

答案BCD

解析因为a>0>6,c<d<0,所以Q"VO,bc>0,所以故A错误；

因为0>b>—a,所以a>—b>0,因为c<d<0,

所以一c>一">0,所以〃(一(?)>(——所以Qc+bd〈O,cd>0,所以生土想="+耍0,故B

cddc

正确；

因为c〈d,所以一c>—d,因为心瓦所以a+(—c)>6+(—rf),即a—c>b—d,故C正确；

因为a>O>b,d—c>0,所以a(d—c)>b(d—c),故D正确.

思维升华判断不等式的常用方法

(1)利用不等式的性质逐个验证.

(2)利用特殊值法排除错误选项.

(3)作差法.

(4)构造函数，利用函数的单调性.

跟踪训练2(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等

号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“v”和符号，并逐步被数学界接受，不等

号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,ceR,则下列命题正确的是()

A.若a>b,则ac2>bc2

B.若三>与则a<b

C.若a<b<c<0,则纟纟+」

aa+c

D.若a>b,则a2>b2

答案C

解析对于A选项，当。=0时不满足，故错误；

对于B选项，由不等式性质知，胃>4两边同时乘以。2>0,可得a>b,故错误；

C2C1

对于C选项，若a<b<c<0,贝!]a+c<0,b—Q>0,(b—a)c<0,a(a+c)>0,故纟一"十。=

aa+c

地土上处3=纥处<0,即”±£,故正确；

a(a+c)a(a+c)aa+c

对于D选项，取。=-1,b=-2,可得次〈炉，故错误.

(2)(多选)若1<Lo,则下列不等式正确的是()

ab

A.^—<—B.|a|+/»0

a+bab

C.a-->b--D.Ina2>\nb1

ab

答案AC

解析由L4<0,可知bqvo.

ab

A中，因为“+XO,ab>09所以二-vO,—>0.

a+bah

则一;一<；,故A正确；

a+bab

B中，因为6<av0,所以一b>—4>0.

故一抗>同，即同+b<0,故B错误；

C中，因为*a<0,又〃<0,

ab

则一1>一丄>0,所以Q—丄>6—丄，故C正确；

abab

D中，因为X〃v0,根据y=/在(—8,0)上单调递减，可得分,层,。，而》=lnx在定义域(0,

+8)上单调递增，所以ln〃>ln〃2,故D错误.

题型三不等式性质的综合应用

例3(1)已知一1今<4,2勺<3,则y一y的取值范围是，3x+2y的取值范围是

答案(-4,2)(1,18)

解析V-l<x<4,2<y<3,・•・一3〈一产一2,

；・一4<x—y<2.

由—l<x<4,2<y<3,

得一3<3x<l2,4<2y<6,

・・・l〈3x+2六18.

延伸探究若将本例(1)中条件改为一1<%+产4,2<了一)Y3,求3x+2y的取值范围.

解设3x+2y=m(x+y)+n(x—y),

5

加=；，

2

,m+n=39.

则.Ai

〃一〃=2,n=~.

2

即3x+2产*x+v)+；(x-y),

又:一1<x+y<4,2<x—y<3,

i3

+^)<10,l<^(x—y)<~,

•3.1，,、丄I,,23

..-^<-(x+y)+-(x-y)<~,

即一，3x+2产益,

22

f_323]

，3x+2y的取值范围为I2'2J

(2)已知3va<8,4v*9,则“的取值范围是________.

h

答案Q2]

解析V4</><9,丄丄丄，

964

又3<a<8,

.•.丄X3〈"2X8,即丄屋<2.

9b43b

思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求

得整体范围.

跟踪训练3(1)已知lWaW2,-1〈收4,则。一26的取值范围是()

A.[-7,4]B.[-6,9]C.[6,9]D.[-2,8]

答案A

解析因为一1W6W4,

所以一8W—2bW2,

由得一7Wa-2bW4.

(2)已知实数a,h,c,满足a>b>c,且a+b+c=O,那么色的取值范围是.

a

答案_2<耍一?

a2

解析由于a>b>c,且a+b+c=O,

所以〃>0,c<0,h=­a~c—a—c<a,2a>—c->—2,

99a

—a—c>c,-a>2c,々一丄，

课时精练

土基础保分练

1.（2023・长春模拟）已知〃>0,b>0,M=^a+b,N=W+栃，则M与N的大小关系为（）

A.M>N

B.M<N

C.MSN

D.M,N大小关系不确定

答案B

解析M2-N2=(a+b)~(a+b+2y]ab)

=-2\fab<09

2.已知o,bWR,若4丄同时成立，贝lj()

ab

A.ab>0B.ab<0

C.tz+A>0D.a+h<0

答案A

解析因为1<4，

七ixi11b—a八

所以一一7=-------0,

abab

又a>b,所以b—a〈0,所以ab>0.

3.（多选）已知avbvO,则下列结论正确的是（）

A.b2<abB.L丄

ah

C.2a>2bD.ln(l—6r)>ln(l—Z))

答案AD

解析对于A,因为〃vbvO,所以/?一〃>0,贝!|从一ab=b（b—a）<0,即析vab,故选项A正确;

对于B,因为"XO,所以心>0,则丹<与，即）<丄，故选项B错误;

ababba

对于C,因为avbvO且函数歹=2"是增函数，所以2y2上故选项C错误；

对于D,因为QVXO,所以1—a>l—b>l,又因为函数y=lnx在（0,+8）上单调递增，所以

ln（l—tz）>ln（l—/?）,故选项D正确.

4.若一R<a<ff5,则。一尸的取值范围是（）

A.-2兀vq—兀B.0<a—£<2兀

C.—2n<a—0<OD.{0}

答案C

解析V—Tl<P<1t,

/.—7tV一夕〈冗,

又一兀<。<兀,

-2兀〈a-兀，

又QV/?,/?<0,

5.已知x,y£R,且x>y>0,贝lj()

A.COSR-cosy>0

B.cosx+cosy>0

C.Inx—lny>0

D.lnx+ln^>0

答案C

解析对于A,y=cosx在(0,+8)上不是单调函数，故cosx—cos^>0不一定成立，A错误;

对于B,当工=兀，时，cosx+cosy=_1<0,B不一定成立；

对于C,y=lnx在(0,+8)上为增函数，若x>y>0,则lnx>lny,必有Inx—lny>0,C正确；

对于D,当x=l,歹=；时，lnx+Inj/=ln^<0,D不一定成立.

6.(多选)(2023•汕头模拟)已知〃，b,c满足cVzvb,且QC<0,那么下列各式中一定成立的是

()

A.QC(Q—c)>0B.c(b—a)<Q

C.ctr<ab2D.ab>ac

答案BCD

解析因为a,b,。满足c〈avb,且ac〈0,

所以c<0,a>0fb>0,a-c>09b—a>。,

所以ac{a—c)<0,c(b—a)<0,cb2<ab2,ab>ac.

7.(多选)设a,b,c,d为实数，且心b>0>c>d,则下列不等式正确的有()

A.c2<cdB.a—c<b~d

C.ac<bdD.———>0

ab

答案AD

解析因为a>b>0>c>d,

所以a>b>0fi>c>d9

对于A,因为0>c>d,由不等式的性质可得/〈cd,故选项A正确；

对于B,取。=2,b=l,c=—1,d=-2,

贝UQ—c=3,b—d=3,

所以a—c=b~~d,故选项B错误；

对于C,取。=2,b=l,c=—l9d=-2,

则ac=-2,bd=-2,

所以ac=",故选项C错误；

对于D,因为a>b>0,d〈c<0,则ad<bc,

所以针，

ab

故C_g>0,故选项D正确.

ab

8.(多选)(2022•沈阳模拟)已知非零实数a,6满足a>|6|+l,则下列不等关系一定成立的是

()

A.a2>62+lB.2a>2h+'

C.a2>4bD.U>b+l

答案ABC

解析对于非零实数a,6满足。>向+1,

则他+1)2,

即.2>〃+2创+1>按+1,故A一定成立；

因为4>向+126+1=2«>2m1,故B一定成立；

又(网一1)2》。即〃+i.2|b|,

所以。2>4同246,故C一定成立；

令a=5,6=3,满足a>|b|+l,

此时l/J=—+1=4,故D不一定成立.

3

9.已知加=/+/+22,N^2x+2y+2z-n,则MN.(填或“=”)

答案>

解析M-N—x2+z2—2x~2y—2z+兀

=(x-l)2+(y-l)2+(z-]>+兀-32兀一3>0,

故M>N.

10.能够说明“设a,6,c是任意实数.若标沖2>°2,则。+护”是假命题的一组整数a,b,

c的值依次为.

答案一3,一1,0(答案不唯一)

解析令a=-3,b=~\,c=0,则”2>/>212,

此时a+b=—4<0,所以a+b>c是假命题.

II.若l<a<3,—4<夕<2,则2a+|向的取值范围是.

答案(2,10)

解析♦.•一4<夕<2,

；.0柳<4,

又l<a<3,

2<2a<6,

：.2<2a+\^\<\0.

12.e-Tte与ee-7T啲大小关系为

答案eK-if<ee-ift

解析

ev-7Cn7lne

又0<^<l,0<7t—e<l,

7t

.用e<l,

即竺尤<1,即e"RC<ec•产.

立综合提升练

13.已知Oqvbvl,设机=61na,n=alnb,p=ln[nj,则相，n,p的大小关系为（）

A.m<n<pB.n<m<p

C.p<m<nD.p<n<m

答案A

解析因为0<a<ft<l,贝心>1,

a

且In<7<