2023-2024学年江西省高二年级下册开学联考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江西省高二下册开学联考数学模拟试题

一、单选题

1.若3=(1,2,-1),b=(-2,x,2),若》滴，则》=()

A.0B.2C.4D.-4

【正确答案】D

【分析】利用空间向量共线的坐标运算求解.

【详解】£=(12-1),%(-2,x,2),若。滴，则?=：==，解得x=-4.

故选：D.

2.圆：/+/=4与圆：(x-3『+(y-4)2=9的位置关系是()

A.内切B.相交C.外切D.相离

【正确答案】C

先求出圆心坐标和半径，求出圆心距，判断两圆的位置关系即可.

【详解】•••圆心。的坐标是(0,0),半径为2；

圆心仪的坐标是*，4),半径为3；

两圆的圆心距为,3?+42=5，

：5=2+3,

两圆的位置关系是：外切.

故选：C.

3.如图，在三棱柱中，P,。分别是CF,48的中点，PQ=aAB+bAC+cAD,

则a+b+c=()

A.1B.-1C.0.5D.-2

【正确答案】B

【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.

【详解】如图，连接C。.

因为产，。分别是C『，N8的中点，

~PQ=~PC+CQ^^FC+-{CA+CB^=--7D+^AC+^B-7c^=-7B-^C--7b,

所以。=—,b=~1,c=—,

22

贝!|a+b+c=-l.

故选：B.

4.如图，一束光线从4(3,4)出发，经过坐标轴反射两次经过点。(6,2),则总路径长即

C.3折D.任

【正确答案】C

【分析】求点A关于y轴的对称点”和点。关于X轴的对称点N的坐标，由反射性质知总

路径长为|MN|,用两点距离公式求其长度即可.

【详解】设点A关于y轴的对称点为点M,点。关于X轴的对称点为点N,

由光线反射知识可得M,B,C三点共线，N,C,8三点共线，

故M,B,C,N四点共线，

因为点A的坐标为（3,4）,点。的坐标为（6,2）,

所以点〃的坐标为（-3,4）,点N的坐标为（6,-2）,

由对称的性质可得MA=|MM，|DC|=|NC|,

所以\AB\+\BC\+\CD\=\MB\+|5C|+\CN\=\MN\,

又河=J。+6?=3内,

所以|/8|+忸C|+|CD|=3jii.

故选：C.

5.如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（）

A.220B.200C.190D.170

【正确答案】C

【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.

【详解】任取三个点有C1种，其中三点共线的有3c种，故能构成三角形C；2-3C；=19（M、,

故选：C.

6.小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从

3楼到4楼不同的走法总数为（）

A.28种B.32种C.34种D.40种

【正确答案】C

【分析】分五种情况：8,7,6,5,4步走完楼梯，每一种情况的方法数都求出来再相加即

可.

【详解】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种;

②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有C；=7种;

③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有C；=15种；

④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有C；=10种；

⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，

共计34种.

故选：C.

7.如图，长方体/BCD-EFG//中，AB=BC=2,BF=\,M为E尸的中点，P为底面4BCD

上一点，若直线〃尸与平面房HG没有交点，则“DP面积的最小值为()

A.—B.—C.—D.1

522

【正确答案】A

【分析】确定〃尸〃平面8MG,取C。中点N,证明平面Z//N〃平面8OG,确定P在月N上

运动，当。P_L4N时面积最小，计算得到答案.

【详解】直线打?与平面8MG没有交点，所以打平面5MG,

取C。中点N,连接HN,HA,

因为AB//HG,AB=HG,所以四边形/8G"是平行四边形，

所以4H//BG,BGu平面8DG,平面8DG,故〃平面8QG；

同理可得4V〃平面8£>G,ANCAH=A,平面NMV,

故P在力N上运动，当DP_L/N时，0P最小，最小值为华=述

V55

此时HOP的面积最小，求得Mix空=6.

255

故选：A

8.双曲线x2-/=l的左焦点为尸，A（o,-b）,河为双曲线右支上一点，若存在“，使得

|月0|+|/根=5,则双曲线离心率的取值范围为（）

A.B.[1,V5]C.[V3,+^）D.[石，田）

【正确答案】B

【分析】双曲线的右焦点可，|1M+MM=5等价于怩M+MM=3,所以怩1«3,由不

等式^/^77w3可求双曲线离心率的取值范围.

【详解】取双曲线的右焦点片，由双曲线定义|人"|=|与”1+2,如图所示，

故存在点M使得|械|+|/〃|=5等价为存在点"使得|耳M+MM=3,所以内4区3,当且

仅当4M，K三点共线时等号成立，

则“2+C?43，由解得而。=1,故离心率1<6«石.

故选：B

二、多选题

9.已知直线/：（a+2）x-y+2a-3=0在x轴上的截距是夕轴上截距的2倍，则。的值可能

是（）

53

A.—B.0C.-D.—2

22

【正确答案】AC

33

【分析】依题意可得aw-2,分。=彳和a两种情况讨论即可.

22

【详解】依题意可得。#-2,

当。=13时，直线/为7:x-y=O,此时横纵截距都等于0,满足题意；

当时.，直线/在x轴上的截距为主必，在V轴上截距2a-3,

2a+2

则子.=2x（2a-3）,得a=-］或a=］（舍去）

a+2''22

综上所述，。的值为5或;3.

22

故选：AC.

10.下列说法正确的是（）

A.用0,1,2,3,4能组成48个不同的3位数.

B.将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法.

C.小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法.

D.甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自

己写的贺卡，有9种不同的方法.

【正确答案】BD

【分析】根据分步乘法计数原理求出三位数的个数判断A,根据隔板法和分步乘法计数原理

求出分配方法数，判断B,利用间接法求出满足要求的方法数判断C,利用分步乘法计数原

理求出满足条件的方法数，判断D.

【详解】对于A,第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排

个位数有5种排法，由分步乘法计数原理可得共有4x5?=100个不同的三位数，A错误；

对于B,第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指

标排成一排，7个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一

种将7个指标分给3个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有C：=15种方法，由

分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种，B正确；

对于C,因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为24种，所以

借回至少1本的方法数为2*-1=15种，C错误；

对于D,第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法,

第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计

数原理可得共3x3=9种方法，D正确：

故选：BD.

11.如图，正方体4BCD-EFGH棱长为1,点P为8尸的中点，下列说法正确的是（）

A.FDLCHB.尸G〃平面尸C”

C.点P到平面ZGC的距离为也2

D.与平面CGHQ所成角的正弦值为：

2

【正确答案】ACD

【分析】A选项:证明CH_L平面FGD,可得C"_LF£＞；

B选项：FG的平行线与平PC"交，故尸G与平面PC"不平行；

C选项：即〃平面/EGC,点P到平面NEGC的距离即为点尸到平面/EGC的距离，可求

结果：

D选项：找到P点在平面CG皿内的投影，几何法求9与平面CGHD所成角的正弦值.

【详解】如图所示：

对于A：连接G。，FD,正方形CQHG中C，_LG。,

FGJ.平面CD〃G,C〃u平面CD〃G,CHVFG,

尸G,GZ)u平面尸GO,FGCGD=G,C〃_L平面尸GD,

五。u平面尸GD,可得CHJ.FD,A选项正确;

对于B：取CG中点"，显然PM〃尸G,而尸M与平尸C”交，故FG与平面尸C”不平行，B

选项错误:

对于C:正方形FGHE中FHLGE,CG_L平面尸G"E,FHu平面FGHE,FHICG,

CG,GEu平面/EGC,CGAGE=G,FH_L平面/EGC,

BFUCG,B/u平面/£GC,CGu平面/EGC,所以/平面ZEGC,

点P到平面/EGC的距离即为点F到平面/EGC的距离，等于空=正，C选项正确.

22

对于D：取CG中点"，PM±CGHD,PM=2,PH=ylPF2+FH2=l-+2=~,

V42

PM2

所以P4与平面CG"。所成角的正弦值为行=§,D选项正确.

故选：ACD

12.已知顶点在原点O的抛物线/=2q，（p>0）,过抛物线焦点尸的动直线/交抛物线于

A、8两点，当直线/垂直于夕轴时，/8。面积为8.下列结论正确的是（）

A.抛物线方程为r=8%

B.若48=12,则的中点到x轴距离为4.

C./80有可能为直角三角形.

D.|"|+4忸尸|的最小值为18.

【正确答案】ABD

【分析】直线/垂直于>轴时，/8O面积为8,可求得P=4,得到抛物线方程，验证选项

A,利用抛物线焦点弦的性质求的中点到》轴距离验证选项B,设出直线/的方程，与抛

物线联立方程组，利用韦达定理和向量数量积求/80内角的范围验证选项C,利用韦达定

理和基本不等式证明选项D.

【详解】当直线/垂直于夕轴时，/8O面积为d=8,P=4,故A正确；

2

若4B=12,有A、8两点到准线距离之和为12,则的中点到准线距离为6,故的中

点到x轴距离为6-2=4,B正确；

设直线N8：y=kx+2,联立f=8y可得x?-8fcr-16=0,由韦达定理知王々=-16,

%%='•*=（**）=4,OAOB=x{x2+yty2=-12<0,故4O8>90°.

8864

一定是钝角三角形，C错误；

M目+4忸下|=*+2+4（及+2）=yt+4^2+10>处+10=1«,D正确.

故选：ABD

三、填空题

13.与直线y=-gx垂直，且过点（3,0）的直线方程为.

【正确答案】y=2x-6

【分析】根据直线垂直以及直线方程点斜式求得正确答案.

【详解】由于所求直线和直线y=-gx垂直，

所以所求直线的斜率为2,

所以所求直线方程为y=2（x-3）,即y=2x-6.

故y=2x-6

14.椭圆《+[=1的左右焦点分别为片，F2,P为椭圆上一点，则△尸耳鸟面积与△尸片用周

2516

长的比值的最大值为.

3

【正确答案】-##0.75

4

【分析】根据椭圆方程求a,"c,结合椭圆的定义求片工的周长，结合三角形面积公式求

其面积最大值，由此可得结论.

【详解】设椭圆]+若=1的长半轴为。，短半轴为，，半焦距为。，

2516

贝lj〃=5,6=4,c=3,

因为阳用=2c=6,|P用+|「用=2a=10,

所以△尸片名的周长为16,

由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，△助鸟的面积最大，

所以△尸百尸2面积的最大值为:出勾6=从=12,

所以4PF岛面积与△尸与5周长的比值的最大值为4.

4

故二.

4

15.网课期间，小王同学趁课余时间研究起了七巧板，有一次他将七巧板拼成如下图形状，

现需要给下图七巧板右下方的五个块涂色（图中的1,2,3,4,5）,有4种不同颜色可供

选择，要求有公共边的两块区域不能同色，有种不同的涂色方案.

6

1

1个/八/

^7^5I7^5|

【正确答案】252

【分析】先给2涂色，再涂5,再涂3、4,这一步要分3与5同色和3和5不同色两种情况,

最后涂1,按分步计数乘法原理计算.

【详解】第一步：涂2,有4种颜色；

第二步：涂5,有3种颜色

第三步：涂3、4,当3与5同色时，4有3种颜色；当3和5不同色时，3有2种颜色，4

有2种颜色，第三步共7种.

第四步：涂1,有3种颜色.

共计4x3x7x3=252种.

故252

16.若3(x-2)'=°+瓜+M2+公3+ex"+八5+(]+x)4,其中a,b,c,d,e,./I为常数，

那么6+c+"/=.

【正确答案】109

【分析】利用赋值法求a+6+c+d+e+/和。，利用二项式展开式通项公式求e,由此可得

结果.

【详解】因为3(x-2丫=a+bx+ex2+dx,+ex4+fx5+(1+x)4,

令x=1,得—3=a+/>+c+d+e+f+16,

整理得：a+b+c+d+e+f=-\9,

令x=0,得-96=a+l,a=-97,

因为(x-2)5的展开式的通项公式为I”=(-2丫，

所以3(x-2)s的展开式中含一项的系数为3C：-(-2),

又(l+x『的展开式中含一项的系数为C：,

所以3c•(-2)=e+l,e=-31,

将。、e代入即可求得b+c+d+/=109.

故109.

四、解答题

17.已知展开式中前三项二项式系数之和为46.

(1)求〃的值.

(2)请求出展开式的常数项.

【正确答案】(1)〃=9,

(2)5376.

【分析】(1)由二项式展开式的通项公式求前3项的二项式系数，列方程求〃:

(2)根据通项公式确定常数项的项数，由此求常数项.

【详解】(1)二项式(2五+3的展开式的通项为(।=c*.2"-*一》方=C'一二，

所以(2五+工丫展开式中前三项二项式系数依次为：C：,C；,C〉

由已知可得C：+C：+C；=46,

解得"=9或〃=-10,又〃为大于等于2的正整数，

故〃=9；

(2)由(1)(24+2］的展开式的通项为〃।=c>2i.上券，

令Q二-T上,k=0,得上=3,

2

所以的展开式的常数项为C；-26=5376.

18.已知圆C：x2+/=4,尸为圆C上任意一点，Q(Y,0)

(1)求P。中点M的轨迹方程.

(2)若经过。的直线/与M的轨迹相交于48,在下列条件中选一个，求/8O的面积.

条件①：直线43斜率为!；②原点O到直线43的距离为生叵.

4-17

【正确答案】⑴(x+2)?+y2=1

(2)答案见解析

【分析】(1)先由中点坐标公式求得P(2x+4,2y),再利用直接代入法即可求得M的轨迹

方程；

(2)选择①：先利用点斜式得到直线的方程，再利用点线距离公式与圆的弦长公式求

得|/用与原点O到43的距离〃，从而得解；

选择②：先利用原点。到直线48的距离，分类讨论直线48斜率存在与否两种情况，从而

求得直线力8的方程，进而利用圆的弦长公式求得|/四,由此得解.

【详解】(1)依题意，设M(x,y),

因为〃是尸。的中点，。(-4,0),

所以P(2x+4,2j),

将P代入圆C：/+/=4,得(2x+4『+4)J=4,化简得(x+2y+/=1,

故M的轨迹方程为(x+2)2+/=1.

(2)记"的轨迹为圆E,则£(-2,0),半径为厂=1,

选择①:

因为直线力8斜率为;，直线/(即直线48)经过。(-4,0),

所以直线，5的方程为y=*+4),即……=。，

|-2-4x0+4|_2

所以点E到直线的距离为d

J1+16-晒'

222VH

所以|/邳=2J以-d=2jITTF

|0-4x0+4|4

又点。到直线的距离为/?=

Vl+16—后'

所以8M=9需^

乙乙711VI/1/

选择②:

当直线Z8斜率不存在时，由直线/(即直线48)经过。(-4,0),得直线为x=-4,

此时原点O到直线43的距离为4,与原点O到的距离为土叵矛盾，舍去；

17

当直线Z5斜率存在时，设直线/8为^=左(》+4),即Ax-y+4A=0,

所以原点。到直线43的距离为九［="7，解得A=±l，

W+1174

所以直线力8为夕=士;(x+4),即x±4y+4=0,

|-2±4x0+4|_2

此时点E到直线AB的距离为&

Ji+16-M

所以|/邳=2、/2V13

VT7

而NC_'uol/_12疝4_4yf3

所以“的=5»a也=V布X赤=1

19.如图(1)是将一副直角三角尺拼成的平面图形，已知8C=指，4c8=45。，N£>=60。,

现将48C沿着8c折起使之与△8C。构成二面角，如图(2).

(1)(2)

(1)当三棱锥A-BCD体积最大时，求三棱锥A-BCD的体积:

(2)在(1)的情况下，求/C与5。所成角的余弦值.

【正确答案】(1)*

⑵迈

4

【分析】(1)作力。工8C,根据题意先求得C。，/。的值，折起过程中，△88面积不变,

当40为三棱锥88的高时，三棱锥88体积最大，再根据三棱锥的体积公式求解

即可；

(2)在(1)的情况下建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）如图，作

折起过程中，△BCD面积不变，当力。为三棱锥的高时，三棱锥体积最大,

i瓜.亚X6

YVAO=

A-BCDBCD3'~~~2~

（2）如图，建立空间直角坐标系,

则/0,0,-^,B-^-,0,0,C--^-,0,0等国

就='*'°‘一曰>丽=（-&，"明

设4C,8。所成的角为。，

3瓜

则cos®=|cosl^AC,8D）卜

耳2日4

：.AC与BD所成角的余弦值为近.

4

20.双曲线E：4-4=1>（〃>0,人>0）的左右焦点分别为耳，工，其中双曲线E的一

ah

条渐近线方程为》=或》，M为双曲线上一点，当/耳£M=90。时，优

22

（1）求双曲线的方程.

（2）48为双曲线左右顶点，过写作一条直线交双曲线于尸，Q,设力80的斜率为匕，

左2，求富的值.

【正确答案】（1）土-

45

1

(2)--

【分析】（1）由渐近线方程可得2=且，又由/片居历=90。时，\F2M\=I->可得Q=2.

a22a2

后可得双曲线方程；

（2）设过乙直线为x=〃9+3,P（xqJ,。仁,多）.将直线与双曲线方程联立，利用韦达定

理可得〃%力=~4（乂+力）①，又可得3=〃叫"：:，代入①可得答案.

6加必丁2+“2

【详解】⑴•••双曲线E的一条渐近线方程为尸正x,.•心=』1①.

2a2

当/耳入“=90。时，EM=|=Q②.

22

由①②得a=2,6=J?，••.双曲线的方程为--—=1；

45

Z,£=1

（2）由（1）可得乙（3,0）,设尸。：x=my+3,与双曲线方程联立有：45一，消去

x=my+3

X得（5/-4）/+30叩+25=0.

由题有4设P&，乂），。（乙,%）,由韦达定理有：

[△=400"+400>0

30加25,曰5z

Nf2/，凡力=:2#可得孙为―/（必+^^①，

5加一45加一46

A

又"若=亲含翡±—J将①代入②

工2—2

15

k-7^2i

得5=_6----6----=_1

%,5255

2+"

oo

21.如图，正三棱柱4BC-DEF中，AB=AD=2,点G为线段8E上一点（含端点）.

（1）当G为8E的中点时，求证：CD，平面ZFG

（2）是否存在一点G,使平面4FG与平面/8C所成角的余弦值为叵？若存在，请求出某

13BE

的值，若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）存在，出1

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量方法证明尸GJ_CD,结合/F_LCZ）,化简线面

垂直判定定理证明CD1平面/EG；

（2）设穿■=，，2e[0,l],求平面NFG与平面48C的法向量，利用向量夹角公式求两向量

的夹角余弦，由条件列方程求义即可.

【详解】（1）由已知，CG，平面NBC,ABC为等边三角形,

以点C为原点，为X/轴正方向建立空间直角坐标系，

则C（0,0,0）,0（2,0,2）,尸（0,0,2）

作8Af_Ly轴，BM=1,CM=6,

则G",l)

则用

而函=(2,0,2)

FGLCD

由菱形性质知/尸_LC。

AFu平面AFG,FGu平面AFG,AFQFG=F

CZ)_L平面/FG；

(2)由(l)C(0,0,0),力(2,0,0),尸(0,0,2)

记=(0,0,1)为平面/BC的一个法向量，

设变=2,2G[0,1],则旃=3而=2(0,0,2)=(0,0,2行

BE

所以

所以用=(1,百,24-2卜成=(2,0,-2),

设平面4FG的法向量为〃=(x,y,z),

则卜+后+(22-2”=0,

2x-2z=0

取x=>/3可得，y=1-22,z=y/3,

所以7=(61-22,6)为平面/EG的一个法向量，

则(：0$0=卜05(加研=",=

设平面AFG与平面ABC所成角为夕，

1'71H-H/+("2犹13

解得：2=2也或上立(均符合