概率论与数理统计第一

关于概率论与数理统计第一全概率公式和贝叶斯公式TotalProbabilityTheoremAndBayes’Rule第2页,共43页，2024年2月25日，星期天第3页,共43页，2024年2月25日，星期天引例：已知男性人群中有5%是色盲患者，女性人群中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，问这人是色盲患者的概率是多少？第4页,共43页，2024年2月25日，星期天A定义1设为随机试验E的样本空间，

B1，B2，…，Bn为E的一组事件，如果(1)BiBj=

（i≠j）;则称B1，B2，…，Bn为样本空间

的一个划分。(2)B1B2B3Bn……定理1全概率公式第5页,共43页，2024年2月25日，星期天引例：已知男性人群中有5%是色盲患者，女性人群中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，问这人是色盲患者的概率是多少？解：A表示“随机选一人是色盲患者”表示“随机选一人是男性”表示“随机选一人是男性”第6页,共43页，2024年2月25日，星期天例1一保险公司据以往的资料知道来投保的客户可分为两类，一类是容易出事故的，另一类则不是。前一类在一年中出一次事故的概率为0.1，后一类则为0.05。一新来的投保客户属于易出事故一类的概率为0.2。求一新来投保客户在第一年内出一次事故的概率。第7页,共43页，2024年2月25日，星期天例2今有三个盒子，第一个盒子内有7只红球和3只黄球；第二个盒子内有5只蓝球5只白球；第三个盒子内有8只蓝球和2只白球。现在第一个盒子中任取一球，若取到红球则在第二个盒子中任取两球；若取到黄球则在第三只盒子中任取两球，求第二次取到的两球都是蓝球的概率。第8页,共43页，2024年2月25日，星期天练习

有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3,0.1，0；求他迟到的概率．第9页,共43页，2024年2月25日，星期天123例3有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.第10页,共43页，2024年2月25日，星期天该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.或者问:123?第11页,共43页，2024年2月25日，星期天贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件A）发生的最可能原因.定理2贝叶斯公式该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.第12页,共43页，2024年2月25日，星期天练习某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4，如果他乘飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12。（1）求他迟到的概率；（2）如果他迟到了，试推断他是怎么来的，说说你的理由。第13页,共43页，2024年2月25日，星期天例4据以往的临床记录，某种诊断糖尿病的试验具有以下的效果：若一被诊断者患有糖尿病则试验结果呈阳性的概率为0.90；若一被诊断者未患糖尿病，则试验结果呈阳性的概率为0.06。又已知受试验的人群患糖尿病的概率为0.03。如果一被诊断者其试验结果呈阳性，求此人患糖尿病的条件概率。第14页,共43页，2024年2月25日，星期天

贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分别称为原因的先验概率和后验概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。第15页,共43页，2024年2月25日，星期天

在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(A1|B)知道B发生后P(A2

|B)P(A3|B)最大偏小第16页,共43页，2024年2月25日，星期天例5在电报通信中不断发出信号0和1，统计资料表明发出0和1的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，分别以概率0.7和0.1接收到0和1，以0.2的概率收到模糊信号“x”；发出1时，分别以概率0.85和0.05收到1和0，以概率0.1收到模糊信号“x”。（1）求收到模糊信号“x”的概率；（2）当收到模糊信号“x”时，译成哪个信号为好，为什么？第17页,共43页，2024年2月25日，星期天0

01

x

10.70.850.20.10.050.1

0.60.4（1）求收到模糊信号“x”的概率；（2）当收到模糊信号“x”时，译成哪个信号为好，为什么？第18页,共43页，2024年2月25日，星期天例6某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据已往的纪录有以下数据，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，试分析此次品最可能出自哪个制造厂？第19页,共43页，2024年2月25日，星期天元件制造厂次品率提供晶体管的份额

10.020.1520.010.8030.030.05（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，试分析此次品最可能出自哪个制造厂？第20页,共43页，2024年2月25日，星期天练习：设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%、20%，且各车间的合格品的概率依次为96%、98%、95%。现从待出厂的产品中检查出了一个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？第21页,共43页，2024年2月25日，星期天练习：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早晨机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？第22页,共43页，2024年2月25日，星期天这一节我们介绍了全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.第23页,共43页，2024年2月25日，星期天小结全概率公式：由因遡果贝叶斯公式：由果索因第24页,共43页，2024年2月25日，星期天第五节事件的独立性EventIndependenceNew第25页,共43页，2024年2月25日，星期天A,B是试验E的两个事件，若P(B)>0,

可以定义P(A|B)B已发生影响A发生的概率很多时候还有P(A|B)=P(A)此时有P(AB)=P(A)P(B)一般P(A|B)≠P(A)

B已发生对A发生的概率没有影响第26页,共43页，2024年2月25日，星期天

显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设第27页,共43页，2024年2月25日，星期天由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.P(AB)=P(A|B)P(B)第28页,共43页，2024年2月25日，星期天一、两个事件相互独立mutualindependence

定义1定理1第29页,共43页，2024年2月25日，星期天例1设P(A)>0,P(B)>0,则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立。事件独立的例题：例2甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别是0.5和0.4。现已知目标被命中，则它是乙射中的概率是多少？例3设0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B|A)，试证：A、B相互独立.第30页,共43页，2024年2月25日，星期天二、多个事件相互独立性mutualindependence

定义2定义3定理2第31页,共43页，2024年2月25日，星期天例4现有四张卡片，其中第一张只写有1，第二张只写有2，第三张只写有3，第四张上写有1，2，3三个数字。现从中任取一张卡片，设A，B，C分别表示抽到写有数字1，2，3的卡片，则有P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4,P(ABC)=1/4.显然P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C两两相互独立，但是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)第32页,共43页，2024年2月25日，星期天定义3：对n个事件,若下面的等式同时成立则称相互独立。定理2第33页,共43页，2024年2月25日，星期天例5某电路由电子元件A和两个并联的电子元件B，C串联而成，已知元件A，B，C能正常工作的概率依次为0.8，0.9和0.7，假定各电子元件能否正常工作是相互独立的。(1)求整个电路能正常工作的概率；(2)若整个电路正常工作，分别求A，B能正常工作的概率。第34页,共43页，2024年2月25日，星期天例6某工人照看甲、乙、丙三台机床，在任意时刻这三台机床不需要照管的概率为0.8,0.9,0.6,设这三台机床是否需要照管是相互独立的，且这名工人同时只能照管一台机床。试求在任意时刻：（1）“有机床需要工人照管”的概率；（2）“机床因无人照管而停工”的概率.第35页,共43页，2024年2月25日，星期天例7一架长机与两架僚机一起飞往某目的地进行轰炸，三架飞机中只有长机有导航设备，若无导航设备，则飞机不能到达目的地。在飞机到达目的地之前，必须飞过敌方的高射炮阵地上空，这时任何一架飞机被击落的概率都是0.2。到达目的地后，各架飞机独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。（1）求目标被炸毁的概率；（2）如果目标被炸毁，问是被哪种情况炸毁的可能性最大？第36页,共43页，2024年2月25日，星期天例8一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。每次任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次。如发现有次品，则认为这批产品不合格，但检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05