2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市一中高一年级下册期末数学试题【含答案】

2023年上学期期末考试试卷

高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求.

m+2i.c、

z=---------(meR)..

1.若复数IT是纯虚数，贝沢机+11=()

A.V5B.2C.245D.4

【答案】A

【解析】

【分析】先化简求出Z,根据Z是纯虚数可求出加，即可求出丨加+”.

［详解］Z=加+2'=(加+2,)(1+，)_加-2+(加+2)i

'~1-/"(1-0(1+/)=2，

w—2=0

当Z为纯虚数时，］cC，解得加=2,

m+i=2+i,m+i\-\/5■

故选：A.

2.某单位老、中、青人数之比依次为2:3:5.现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为〃的样本，若样

本中青年人人数为20,则此样本的容量〃为()

A.40B.50C.70D.100

【答案】A

【解析】

【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.

【详解】依题意可知，〃=20+---=40.

2+3+5

故选：A

3.在锐角三角形力中，a=2bsmA,则8=()

7T7T7t1

A.-B.-C.-D.----

64312

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】解：在锐角三角形48c中，0<8〈工，由正弦定理得一二=一2一，

2sinAsinB

又a=2bsin”，所以sin8=丄，且0<8〈工，故8

226

故选：A.

4.如图是四边形Z8CQ的水平放置的直观图则原四边形Z8CZ)的面积是()

/OE'X'

A.772B.14C.1472D.28

【答案】D

【解析】

【分析】由斜二侧画法可知四边形Z8CZ)为直角梯形，从而可求出其面积.

【详解】由题意可知四边形力8CQ为直角梯形，且48=5,。。=2,4。=8,4CM6=90。,

所以四边形48CQ的面积为

；(A8+C0)NZ)=；x(5+2)x8=28,

5.设“，b,C是空间的三条直线，给出以下五个命题，其中正确的命题的个数是()

①若。丄,，b丄c,则。丄c；

②若。、b是异面直线，b、c是异面直线，则。、c也是异面直线；

③若“和b相交，b和c相交，则”和。也相交；

④若“和6共面，b和c共面，则。和。也共面；

⑤若a//b,b//c,则a〃c；

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由线线的位置关系定义可否定命题①②③④；由平行公理可以得到命题⑤为真命题.

【详解】①垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；

②与同一直线异面的两直线可能是相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；

③与同一直线相交的两直线可能是相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；

④若a〃b,则。和b共面；若b与c相交，则b和c共面.

此时。可以是异面关系也可以是共面关系，故命题不正确：

⑤若b//c,则是正确命题；

综上，仅有⑤正确.

故选:B.

6.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天，每天的日均气温都不低于22℃”.已知甲，乙，丙，丁

四个地区某连续5天日均气温的数据特征如下：

甲地中位数为27℃,平均数为26℃.

乙地第60百分位数为24℃,众数为22℃.

丙地最高气温为31℃,平均数为25℃,标准差为3℃.

丁地下四分位数为23℃,上四分位数为28C,极差为7℃.

则可以肯定进入夏季的地区是()

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】C

【解析】

【分析】根据中位数，平均数，百分位数及极差的定义举出反例即可判断甲乙丁三地，根据标准差利用反

证法即可判断丙地.

【详解】对于甲地，中位数为27℃,平均数为26℃,

若5天气温的数据为21,26,27,28,28,则甲地没有进入夏季；

对于乙地，第60百分位数为24℃,众数为22C,

5x60%=3,则第60百分位数为第三个数与第四个数的平均数，

若5天气温的数据为21,22,22,26,27,则乙地没有进入夏季;

对于丙地，最高气温为31℃,平均数为25℃,标准差为3C,

设前面四个数据为占,X2，七,%4(占<x2<x3<x4),

则([(/_25)2+(々_25)2+(七_25)2+(4-25j+(31-25j]=32,

故(百_25)2+(/-25)2+(演―25)2+(七-25)2=9,

所以(％—25)2<9,

若事<22,则(再一25『〉9,这与(苞一25)2W9矛盾，

所以22<玉〈》24工34茏,，所以丙地肯定进入夏季；

对于丁地，下四分位数为23℃,上四分位数为28℃,极差为7℃,

15315

由5cx-=-5rx-=—,

4444

得下四分位数为按从小到大排列得第2个数据，上四分位数为按从小到大排列得第4个数据，

若5天气温的数据为21,23,22,28,28,则丁地没有进入夏季.

故选：C.

7.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件N表示“小于5的偶数点出现”，事件8表示“不小于5的点数出现”,

则一次试验中，事件Z或事件8至少有一个发生的概率为()

1245

A.-B.—C.-D.一

3399

【答案】B

【解析】

【分析】根据互斥事件、和事件的知识求得正确答案.

2121

【详解】依题意。(/)=一=一,尸(8)=—=一，48是互斥事件，

6363

112

则事件A或事件B至少有一个发生的概率为-+-=—.

333

故选：B

UUVUUUt'UUI51UUV

8.O为三角形内部一点，6、。均为大于1的正实数，且满足aOZ+bO8+cOC=C8,若邑。相、5厶。把

S

、\OBC分别表示AOAB、AOAC.\OBC的面积，则SSOAB:S&OAC:SSOBC为()

222

A.(c+l)：(b—l):aB.c\b\aC.D.c:b:a

ab-\c+\

【答案】A

【解析】

【分析】

利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可.

【详解】解：由“5+b砺+cO?=赤，

:.aOA+bOB+cOC^OB-OC

aOA=(l-b痺-(1+c)反

而+(b-1)历+(l+c匹=0

如图设两=4戸，函=仅_1)为，西=(l+c)OC

.•.西+西+西=6,即。是A44G的重心

-$A04G=SA044=SAQ'C

c—OA-OBsinZAOB»cni

.SAOAB=_2_________________=OAOB=]

^。/「。飴由幺。々0A'OB'a0T)

S&OAB=4伍_])向同理可得S»OAC=q(]+c)SAO4G，S&OBC=(b一])(]+(.)SbOBC\

••SAOAB：SWC-S.OBC=司&:公司：(b/l+c)

所以S^QAB-SAOAC.SAOBC=(c+l)：(b—l)：。*

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力，属于中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.

9.一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有()

A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有1件次品”和“都是次品”

C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”

【答案】AD

【解析】

【分析】根据题意,由互斥事件的定义分析所给的四个选项，可得答案.

【详解】根据题意，依次分析所给的4个事件：

对于A：“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”与“恰有2件次品”不会同时发生，是互斥事件；

对于B：“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，

因此两事件不是互斥事件；

对于C:“至少有1件正品”包括“恰有1件正品和“2件都是正品”，“至少有1件次品”包括“恰有1

件次品和“2件都是次品”，因此两事件不是互斥事件；

对于D:“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，与“都是正品”不会同时发生，是互

斥事件，故AD是互斥事件.

故选：AD

10.设机，〃是两条不同的直线，a*0是两个不同的平面，则下列命题正确的有()

A.若m//(3,”||夕，m,”ua,则a〃/?

B.若阳〃“，m丄a，则”丄a

C.若a丄/，加丄a,则加///

D.若〃?//a,mu/3,aC]/3=n,则加〃〃

【答案】BD

【解析】

【分析】根据空间中平行、垂直关系逐项分析判断.

【详解】对于选项A：根据面面平行的判定定理可知：此时要求加，〃相交，

但题中没有确定是否相交，所以不能判断£是否平行，故A错误；

对于选项B：根据线面垂直的性质可知：若〃2〃〃，加丄a,则〃丄a,故B正确；

对于选项C：若a丄尸，加丄a,则加//尸或隕u/7,故C错误;

对于选项D：根据线面平行的性质定理可知：若mlla,muB,a(}p=n,则加〃“，故D正确；

故选：BD.

11.下列说法正确的有

A.在△NBC中，a'•bc=sinA:sinB:sinC

B.在△/8C中，若sin24=sin2B,则△48C为等腰三角形

C.A4BC中，si"4>sinB是4>8的充要条件

D.在△/BC中，若si〃A=；,W>]A=—

【答案】AC

【解析】

【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解.

【详解】由正弦定理‘=—竺=」一=2R

sinAsin5sinC

可得：a:b:c=2RsinA:2RsinB:2RsinC

即。：b:c=sinZ:sin8:sinC成立，

故选项A正确；

由sin2/=sin25可得2/=2B或24+28=乃，

71

即1=8或N+8=—，

2

则“8C是等腰三角形或直角三角形，

故选项B错误；

在中，由正弦定理可得

sinZ>sin8=a>bo4〉3,

则sinZ>sin8是2>6的充要条件，

故选项C正确；

在△ZBC中，若si〃Z=；,则4=—或4=——，

故选项D错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题.

12.如图，已知正方体“BCD-44GA的棱长为2,E，尸分别为的中点，G在线段4cl上

运动(包含两个端点)，以下说法正确的是()

A.三棱锥C-EFG的体积与G点位置无关

3

B.若G为中点，三棱锥C-ERG的体积为5

9

C.若G为4G中点，则过点E，F,G作正方体的截面，所得截面的面积是］

D.若G与G重合，则过点E，F,G作正方体的截面，截面为五边形

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据锥体的体积、正方体的截面等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】由于三角形CEF的面积固定，G到平面CEP的距离固定，

所以三棱锥C-E/G的体积与G点位置无关，A选项正确.

113

S,--2x2—x1x1x1x2x2——.

arCEFF222

13

所以心由二県四二与四句’B选项错误.

对于C选项，当G为4G中点时，连接A。，则G是qA的中点，连接

由于民尸分别是工。,/8的中点，所以EF//BD,

由于亜//3卩,则EF//BR,

即过点E，F,G作正方体的截面是等腰梯形瓦4。一

D[E=B、F=5

等腰梯形EFBR的高为（可272-72?逑

2F

所以等腰梯形EFBR的面积为仅JI+J小乎x；=|,C选项正确.

对于D选项，当G与G重合时，

延长EF交C8的延长线于G,连接GG,交BB］于H,连接产”，

延长FE交的延长线于/,连接C/，交。2于丿，连接E/，

则五边形EF/ZCJ是过点E，F,G作正方体的截面.所以D选项正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知平面向量£=(2,1),很为单位向量，且,+2可丄则向量方在向量£上的投影向量的坐标

为.

【答案】m

【解析】

【分析】由他+2B)丄(万-B)求得鼠6,进而根据投影向量的概念求得答案.

【详解】Va=(2,l),A|a|=722+12=75.B为单位向量，|同=】,

又丄,一耳，

(a+2b—=1b~=5+a,b—2=0,即,.5=—3>

a-ha（63、

・•・B在万方向上的投影向量为何口

故答案为：mi

14.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是且是互相独立的，则灯亮的概率为.

JV——,

【答案】£13

【解析】

【分析】当三条线路只要有一条线路闭合，灯就会亮，三条线路都断开时，灯才不亮，只需求出三条线路

同时断开的概率即可.

【详解】记"K1,K2，K：3，K4四个开关闭合”分别为事件Z,B,C,D,可用对立事件求解，图中含开关的三

_11/113

条线路同时断开的概率为P(C)P(O)[1—P(45)]=,x1—]=77,所以灯亮的概率为

16

故答案为:三

16

15.祖唾，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖胞原理：“幕势既同，则积不容异”，即夹

在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总

相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖随原理解决如下问题：如图2,有一个倒圆

锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相

切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为.

图I图2

【答案】1271

【解析】

【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部

分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案.

【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径厂，

球体半径为R，贝“=斤_〃2,截面圆面£=仃2=%伊2—〃2）；

圆柱中截面小圆半径。£=力，大圆半径为A，则截面圆环面积S2=S大圆一S小圆=万（尺2一/2）,所以E=$2,

又高度相等,

所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积.

同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.

图1图2

如图2,设球体和水接触的上部分为県半球，没和水接触的下部分为匕卜半球,

小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积.

已知球体半径为厂=2,&48C为等边三角形，

OB=2OD=2r=4,0E=EF=-r=\,

2

根据祖H6原理厶半球=%柱一%台=71X22•1—§422+12+V22-12J-1=-71,

45

4半球=県_厶半球=y7IX2一，-§兀=9兀，

设图2中轴截面为梯形/"GC的圆台体积为喺台，

県=1台一限半球=；乃[（2百）2+（6）2+JQ6）2.（6>].3-971=1271,

故答案为：12兀.

16.如图点尸在由射线OM线段0B及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且

一一一1

OP=xOA+yOB，则x的取值范围是一；当x=-§时，y的取值范围是—.

【答案】①.(-8,0)

【解析】

【分析】由向量加法的平行四边形法则，。尸为平行四边形的对角线，该四边形应是以08,0/的反向延长

线为相邻两边，得到*的取值范围，当x=-丄时，要使点尸落在指定区域内，即点P应落在。E上，得到

2

y的取值范围.

【详解】解：如图，。收〃/8,点尸在射线。〃，线段08及幺8的延长线围成的区域内（不含边界）运动,

UULUUULUULU

且。尸=xOZ+yO8，由向量加法的平行四边形法则，。尸为平行四边形的对角线，该四边形应是以

0B,0A的反向延长线为相邻两边，

故X的取值范围是（-8,0）：

113

当彳=——时，要使点尸落在指定区域内，即点P应落在DE上，CD=-OB,CE=-OB,

222

故y的取值范围是：I.

【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量用5的夹角为120°,且|万|=1,出|=2庁=加1+3尻

(1)求|2)-5卜

（2）当B丄己时，求实数%

【答案】⑴2百;

（2）12.

【解析】

【分析】（1）利用向量数量积的运算律及已知求12。-6|；

（2）由向量垂直可得"工=0,结合数量积的运算律列方程求参数值即可.

【小问1详解】

由|25—肝=4。2-4展B+r=4-4*卜2*（一；）+4=12,贝U|25—瓦=2行.

【小问2详解】

由题设B-c-md-6+362=12-^=0»则m=12.

18.如图，在平面四边形Z8CQ中，ZADB=45°,ZBAD=105°,AD=—>BC=2,/C=3.

2

（1）求边48的长；

（2）求的面积.

【答案】（1）G

⑵乎

【解析】

【分析】（1）在中利用正弦定理可得解;

（2）在"8C中，先由余弦定理得cos48。，进而得sinN/BC,最后利用面积公式求解即可.

【小问1详解】

在△48。中，NABD=180°—(45°+105°)=30°,

由正弦定理得18="。三"45

sin30°

【小问2详解】

在中，由余弦定理得

“冃二百

c…dBC"

2ABxBC273x2-6

sinNABC=Jl-cos?NABC

6

V33VTT

S&ABC—xABxBCxsin/.ABC=—x>/3x2x

22

19.某校2021年高一年级共有1000名学生，现对高一年级上学期期中考试数学成绩（单位：分）进行分析,

随机抽取100名学生，将分数按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成

（1）求。的值，并估计该校2021年高一上学期期中考试数学成绩在［110,150）的人数；

（2）估计该校高一上学期期中考试数学成绩的第80百分位数.

【答案】（1）a=0.0100,250人

（2）115

【解析】

【分析】（1）由各组的频率和为1,列方程可求出a的值，再求出数学成绩在口10,150）的频率，从而可估

计出人数，

（2）由样本数据中数学成绩在110分以下所点比例为0.75,在130分以下所点比例为0.95,由此能估计

该校高一上学期期中数学考试成绩的第80百分位数

【小问1详解】

由题意得20x(0.0050+0.0050+0.0075+0.0200+a+0.0025)=1,

解得a=0.0100

由频率分布直方图可得，期中考试数学成绩在［110,150）的频率为

20x(0.0100+0.0025)=0.25,

所以该校2021年高一上学期期中考试数学成绩在［110,150）的人数约为

0.25x1000=250(A)

【小问2详解】

由(1)知样本数据中数学成绩在110分以下所点比例为

0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所点比例为0.75+0.2=0.95,

所以80%分位数一定位于［110,130)内,

AQ_n75

由110+20X5°5"=115,可得样本数据的第80百分位数约为115分,

0.95-0.75

所以该校高一上学期期中考试数学成绩的第80百分位数约为115分

20.已知函数/(x)=sin®x+Q乂①〉0,|同＜兀)的图象如图所示.

(1)求。，。的值；

(2)设尸=—求函数尸(x)的单调递增区间.

(3)设G(x)=/(x)+/(受)，xe0修，求函数G(x)的值域.

TT

【答案】(1)0)=2,(p=一一；

2

knTtknn

(2)-9-----1-----(左eZ).

T828

(3)0,1

_o_

【解析】

【分析】(1)观察图象可求函数/(X)的周期，由此可求0,再由=1求S；

(2)化简函数E(x)的解析式，结合正弦函数性质求函数E(x)的单调递增区间.

(3)化简函数G(x)解析式，结合正弦函数性质求函数G(x)的值域.

【小问1详解】

设函数/(x)=sin((yx+Q)的最小正周期为T,

因为函数/(工)=5m(0》+9)的图象过点(：,0)15，1

77E717r

所以一='—'=!,所以T=兀，又。>0,

4244

2兀

所以一=兀，所以①二2,

co

因为sin[2x>e]=l,则〈兀，

所以2x]+e=W，所以8=-'；

【小问2详解】

因为/(x)=sin2x--,化简可得/(x)=-cos2x,

<2)

又R（x）=/（x）/

所以b(x)cos2xcos!2x-^-1,

F（x）=cos2xsin2x=—sin4x,

_,7C._.7C,_.klL7Ck,TL7U.

々A2kjt—«4x<2ATUH—,kGZ口J得，-------<xW----1—,kGZ,

222828

izTrjr“JT"JT

所以函数户1(x)的单调递增区间为—■--(左eZ).

282o

【小问3详解】

因为G（x）=+,

所以G（x）=-cos2X-COS（X+K）=-2cos2x+cosx+1,

所以G（x）=-2（cosx-；）+（，

7T

因为XE0,—,所以0<cosx<l,

所以04］cosx-丄］<—，故—24一2（cosx-，］<0

I4）16814）

99

所以04G（x）=-2+-<

88

「兀19

所以函数G（x）=/（%）+/xe0（的值域为0,-

,2」8

21.如图所示，矩形Z8C。中，AB=3,8C=4.E、尸分别在线段6c和/。上，AB"EF,将矩形ABEF

沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF丄平面ECDF.

M

（1）求证：NC//平面MFD；

（2）若EC=3,求证：NDLFC；

（3）求四面体NEEC体积的最大值

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）2

【解析】

【分析】（1）要证线面平行，先证线线平行，先证四边形MAC。是平行四边形，即可.

（2）要证线线垂直，先证线面垂直，先证/C丄平面NED即可.

1r2

⑶设NE=x,四面体MEC的体积为儿在0=3-（X-2/+4，即可求最值.

【小问1详解】

证明：•.•四边形儿他尸，EC。尸都是矩形，

J.MN//EF//CD,MN=EF=CD,.•.四边形JWCD是平行四边形，

NC7/M。，平面，NC//平面MFZ）；

【小问2详解】

证明：连接E。，设亜0尸。=。，•••平面A/NEF丄平面ECOP,且NE丄EF,

NE丄平面EC0E,•••NE丄RC,

又EC=AB=3,：.四边形ECDF为正方形，；.FC丄ED,

FC丄平面又NDu平面NED,：,ND丄FC,

【小问3详解】

解：设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4,

由（1）得NE丄平面EEC，

四面体NFEC的体积为：

VNFEC=TS^EFC'NE=T'X\4~X）=7（-%2+4x）=7-1一2）~+4,

J厶厶ZJ-

x=2时，四面体的体积最大，其最大值为2.

22.有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的我含量超过其体重的l.OOppm（即百万分之一）时，人食

用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出3