2023-2024学年广东省广州大学附中九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州大学附中九年级（上）月考数学试卷（10

月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

人B夕4

2.将一元二次方程5/-1=©化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）

A.5,-1B.5,4C.5,-4D.5,1

3.抛物线、=一（％-2）2+3的顶点坐标是（）

A.(-2,3)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

4.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题

意的是（）

11

A.“（%+1）=90B.x（x+1）=90C.i%（x-1）=90D.x（x-1）=90

5.若二次函数y=（a-l）x24-3%4-a2-1的图象经过原点，则a的值必为

（）

A.1或一1B.1C,-1D.0

6.若关于X的方程徵工2+2%-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A.m<—1B.m>—1且?n0C.m>—1D.m>—1且mH0

7.如图，在△ABC中，AB=AC,/A=40。，点。，P分别是图中所作直线和射线与4B,的交点.根据图

中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）

A.AD=CD

B.Z.ABP乙CBP

C.乙BPC=115°

D.乙PBC=LA

8.已知一元二次方程％2一3%+1=0的两根为%i，%2,则后一5/一2%2的值为（）

A.-7B.-3C.2D.5

9.某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元.若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份.市场调查

反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份.若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每

份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（）

A.（16+x-12）（360-40%）=1680

B.（x-12）（360-40%）=1680

C.（%-12）［360-40（%-16）］=1680

D.（16+%-12）［360-40（%-16）］=1680

10.抛物线上y=（6一4）/有两点4（一3,、1）、8（2,为），且%>力，则瓶的取值范围是（）

A.m>4B.m<4C.m>4D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.一元二次方程/-3x+2=0根的判别式2=.

12.在函数、=者中，自变量的取值范围是.

13.若二次函数y=ax2+bx-1经过（一1,0）,则2023+2a-2b的值为一.

15.如图，四边形力BC。中的两条对角线4。,8。互相垂直,4。+80=10,A______________n

当4C为_____时.四边形ABCD的面积最大.

16.如图，平面内三点A、B、C,4B=4,AC=3,以BC为对角线作正方形BDCE,E_____________C

0

连接4D,则4。的最大值是______.

tr-----------］D

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.用适当的方法解方程.

(1)4(%-I)2=9.

(2)x2-6x-4=0.

四、解答题(本大题共8小题，共68.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题4.0分)

如图，要设计一本书的封面，封面长为27cm,宽为21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如

果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的右上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周的宽度(结

果保留根号)？

恩患政治。

19.(本小题6.0分)

一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离双单位：m)之间的函数关系是y=-2(％-4产+3.

如图，A,B是该函数图象上的两点.

(1)画出该函数的大致图象；

(2)请判断铅球推出的距离能否达到11机，并说明理由.

产B

3------------------------------1

I

4)!

I

III_________11111111tlI.

-3-2-1。1234567891011x/m

20.(本小题6.0分)

已知：a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程/+2ax+a+l=

0.

21.(本小题8.0分)

已知关于久的一元二次方程式-4mx+3m2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求小的值.

22.(本小题10.0分)

如图,已知抛物线y=ax2+法+c(a八0)与x轴交于点

4(1,0)和B(—3,0),与y轴交于C(0,3).

(1)求抛物线的解析式，并求出顶点。的坐标.

(2)观察图象，直接写出一元二次不等式：ax2+bx+c<0解集为：

(3)若抛物线的对称轴交x轴于点M,求四边形BMCD的面积.

23.(本小题10.0分)

如图，抛物线y=a(x+l)2的顶点为4,与y轴的负半轴交于点B,且工研=今

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C是该抛物线上4、B两点之间的一点，求S-BC最大时，点C的坐标.

24.（本小题12.0分）

小爱同学学习二次函数后，对函数y=-（|幻-1）2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图

的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：;

②方程-（|x|-I）2=-1的解为：;

③若方程-（|m-I）2=仅有四个实数根，则m的取值范围是.

（2）延伸思考:

将函数y=-（|划-1下的图象经过怎样的平移可得到函数为=-（IXT|T）Z+2的图象？写出平移过程，并直接

写出当1<%W2时，自变量x的取值范围.

25.（本小题12.0分）

问题背景：（1）如图1，A/ICB和ACEF都是等腰直角三角形，点E在4B上，连BF,求证：BF1AB；

迁移运用：（2）如图2,在△ABC中，4B=AC,NB4C=120°,点P在△ABC外，P4=2,PB=6,ABPA=60°,

求PC的长；

拓展提升：（3）如图3,在等腰Rt^ABC中，AC=BC,UCB=90°,点E、F在△ABC外，Z.ECF=135°,BE/

/AF,直接写出线段8E、AF.EF之间的关系.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：选项A、C、。的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，

所以不是中心对称图形.

选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：B.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.【答案】C

［解析］解：5%2—1=4x,

5尤2—4x—1=0,

二次项的系数和一次项系数分别是5、-4,

故选：C.

先化成一般形式，即可得出答案.

本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系

数带着前面的符号.

3.【答案】B

【解析】解：,••抛物线的解析式为：y=-(x-2)2+3,

二其顶点坐标为(2,3).

故选股

直接根据二次函数的顶点式进行解答即可.

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：由题意可知：

x(x-1)=90.

故选：D.

设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，可列出方程.

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数丫=a/+bx+c(a、b、c为常数，a40)图象上的点

的坐标满足其解析式，同时考查了二次函数的定义.

先把原点坐标代入二次函数解析式得到a的方程，解方程得到a=l或a=-1,根据二次函数的定义可判断

a=-1.

【解答】

解：把(0,0)代入y=(a—l)x2+3%4-a2-1,

得a?-1=0,解得a=1或a=-1,

因为a-1HO,

所以a#l,即a=—1.

故选：C.

6.【答案】B

【解析】解：•••关于x的方程+2%—1=0有两个不相等的实数根，

pn#0

"U=22-4xmx(-l)>0,

解得：m>一1且m*0.

故选:B.

利用二次项系数非零及根的判别式Z>0,即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围.

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式d>0,找出关于M的

一元一次不等式是解题的关键.

7.【答案】O

【解析】【分析】

本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解

题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.

利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理一一判断即可.

【解答】

解：4、由作图可知，点。在4C的垂直平分线上，

DA=CC,故选项A正确；

B、由作图可知，BP平分乙4BC,

/.ABP=Z.CBP,故选项B正确：

C、vAB=AC,/.A=40°,

4ABe=4ACB=11(180。-40°)=70°,

vDA=DC,

乙4=/.ACD=40°,

•••ACBP=l^ABC=35°,乙BCP=4ACB-/.ACD=30°,

NBPC=180°-35°-30°=115°,故选项C正确；

D、由上，Z.PBC=35°,LA=40°,则4PBe力4力，故选项。错误.

故选：D.

8.【答案】A

【解析】解：•••一元二次方程%2-3%+1=0的两根为右，x2,

xf—3xi=—1,xr+x2=3,

Xj—5刀1-2X2=xf—3X]—2Qi+%2)=-1-2x3=-7.

故选:A.

根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出优-3%i=-1,X1+X2=3,将其代入变形后的代数式

中即可求出结论.

本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，找出*-

3%1--1,/+%2=3是解题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：设每份盒饭涨价X元，

则(16+x-12)(360-40x)=1680,

故选4.

设每份盒饭涨价x元，利用每一份的利润x售出的份数=总利润，列出方程即可.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程.

10.【答案】A

【解析】解：•••火一3,%)、8(2,%)在抛物线上，

%=9(m—4),y2=4(m—4),

,■,yi>、2，

9(m-4)>4(m—4),

m>4,

故选：A.

把4、B两点的坐标分别代入抛物线解析式可用小分别表示出yi和丫2,利用条件可得到小的不等式，可求得m

的取值范围.

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键.

11.【答案】1

【解析】解：ra=1,b--3,c=2,

A—b2-4ac=9—8=1.

故答案为：L

根的判别式d=b2-4ac,把相应值代入求值即可.

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键.

12.【答案】尢22且芯片3

【解析】解:由题意得:mg,

解得：x>2且x*3,

故答案为：X22且x片3.

让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列式求值即可.

考查求函数自变量的取值范围；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分

母不为0.

13.【答案】2025

【解析】解：把(-1,0)代入y=a/+取-1,得a-b-l=0,

即a—b=1,

则2023+2a-2b=2023+2(a-b)=2023+2x1=2025,

故答案为：2025.

把(-1,0)代入y=ax?+bx-1,即可得出代数式a-b的值，，代入2023+2a-2b=2023+2(a-b)即

可得到结论.

本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求解析式是解题的关键.

14.(答案］——7

【解析】解：原式凸

2

=az2，

故答案为：—T.

a-2

根据分式乘除法的计算方法进行计算即可.

本题考查分式的乘除法，掌握分式乘除法的计算方法是正确计算的前提，将分子分母分别进行因式分解是

正确解答的关键.

15.【答案】5

【解析】解：设AC=x,四边形4BCD面积为S,则BD=10-x,

则：S=^AC-BD=1x(10-x)=-1%2+5x,

.1.S有最大值，

5L

当*=一不二不=5时，四边形4BCD的面积最大，

即当4c=5时，四边形4BCC面积最大，

故答案为5.

根据已知设四边形4BCD面积为S,AC为X,则BO=10-x,进而求出S=-：/+5%,再求出最值即可.

本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键.

16.【答案】号

【解析】解：将△力BD绕点。顺时针旋转90。，得△MCD,如图:

S.AADM=90°,

是等腰直角三角形,

AD-AM>

力。最大，只需4M最大，而在△ACM中，AM<AC+CM,

••・当且仅当A、C、M在一条直线上，即不能构成△ACM时，AM最大，且最大值为4C+CM=4C+4B=7,

此时40==手，

故答案为：Z£2.

将44BD绕点。顺时针旋转90。得到△COM.由旋转不变性可知：AB=CM=4,DA=DM.AADM=90°,推

出△ADM是等腰直角三角形，推出推出当月M的值最大时，4。的值最大，利用三角形的三边

关系求出4M的最大值即可解决问题.

本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转

化的思想思考问题，属于中考常考题型.

17.【答案】解：(l)4(x-l)2=9,

(XT)?/,

X-1.=±.3

51

・・・与=5,%2=一亍

(2)X2-6X-4=0,

x2—6x=4,

%2—6x+9=4+9,即(％—3)2=13,

%—3=±V13»

・,・打=3+V13,x2=3-V13.

【解析】(1)应用直接开方法解一元二次方程即可.

(2)应用配方法解一元二次方程即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配

方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

18.【答案】解：设上下边衬的宽均为9%cm,则左右边衬均为加cm.

•一'本书的封面长为27cHi,宽为21cm,

.,.中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm,中央矩形的面积为(27-18x)(21-14x)cm2.

由题意，得(27-18x)(21-14%)=(l-；)x27x21,

解得%1="詈，&=史誓(不合题意舍去).

则9%-5-4--2；-7-/-3，7_%=4-2---；---

44

答：上下边衬的宽为54为7C切，左右边衬的宽为42为lv=c-.

44

【解析】设上下边衬的宽均为9xcm,则左右边衬均为7xcm.由题意：使四周的彩色边衬所占面积是封面面

1

的

积

4-列出一元二次方程，解方程，即可解决问题.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

19.【答案】解：(1)y=-2(苫-4)2+3,

••・抛物线的顶点B的坐标为(4,3),

对称轴为直线x=4,

当x=0时,y=~~*x(-4)2+3=-x16+3=

二点4坐标为(0,|),

点4关于对称轴的对称点C(8,|)也在抛物线上，

-I

当y=0时，-衰(％―4)2+3=0,

解得X]=10,x2=-2,

••・抛物线与x轴正半轴的交点为。(10,0),

故函数的大致图象如图所示，

(2)不能，理由如下：

令y=0时，一*(%-4)2+3=0,

即(％—4)2=36,

解得：%i=10,x2=-2(舍去),

V10<11,

・•・铅球推出的距离不能达到11M.

【解析】本题考查二次函数在实际问题中的应用.

(1)根据二次函数的解析式确定出顶点坐标，对称轴，与坐标轴的交点，在直角坐标系中描出这些点，从而

画出二次函数的大致图象；

(2)令y=0,解关于x的一元二次方程，求出方程的正数解，即可判断铅球推出的最大距离.

20.【答案】解：解不等式5(a■-2)+8<6(a-•1)+7,得a>—3,

最小整数解为-2,

将a=—2代入方程/+2ax+a+1=0,得/—4x—1=0,

配方，得(x-2)2=5.

直接开平方，得％-2=±，万.

-

解得=2+A/5>x2=2-5.

【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解.

配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

先解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3,所以最小整数解为一2,于是将a=-2代入方程得/一

4%-1=0.利用配方法解方程即可.

21.【答案】(1)证明：a=1,b=-4m,c=3m2,

AA=b2-4ac=(-4m)2—4x1x3m2-4m2.

:无论zn取何值时，4m2>0»即420,

•••原方程总有两个实数根；

(2)解：：/—4mx+3巾2=0,gp(x-m)(x-3m)=0,

:.Xj=m,x2=3m.

vm>0,且该方程的两个实数根的差为2,

3m—m=2,

•••m=1.

【解析】⑴根据方程的系数，结合根的判别式可得出4=4nI?,利用偶次方的非负性可得出4m2>0,即4>0,

再利用“当220时，方程有两个实数根”即可证出结论；

(2)利用因式分解法求出;q=m,不=3TH.由题意得出m的方程，解方程则可得出答案.

本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当420时，方程有两

个实数根”：(2)利用因式分解法求出方程的解.

22.【答案】解：(1)•••抛物线与y轴交于C(0,3),

・•・c=3,

・•.y=ax2+b%+3,

把(1,0)、(一3,0)代入y=a%?+必+3中,得

(Q+b+3=0

19a-3b+3=O'

解得仁多

二次函数的解析式是y=-x2-2x+3,也即y=-(%+l)2+4,

其顶点。的坐标是(-1,4)；

(2)x>1或x<—3；

11

0)S四边形BMCD~SABPM+S^MCD=2X2X4+EX1X4=4+2=6.

【解析】【分析】

本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式组，解题的关键是掌握解方程

组，以及二次函数顶点的计算公式、三角形面积计算公式.

(1)已知抛物线与y轴交于C(0,3),易知c=3,再把(1,0)、(一3,0)代入丫=。/+加:+3中，可得关于a、b的

二元一次方程组，解即可求a、b,从而可得二次函数解析式；

(2)在点4B以外的工的取值都能使a/+bx+c<0,即x>1或x<-3；

(3)观察可知S四边影BMCD=SABDM+SAMCD,再根据三角形的面积公式可求其面积.

【解答】

解：(1)见答案；

(2)据图可知：a/+bx+c<0解集为x>1或x<—3；

(3)见答案.

23.【答案】解：(1)由题意得：力(一1,0),B(0,a),

0A=1»0B——a,

S&AOB=2'

解得，a——1,

••・抛物线的解析式为y=-(x+I)2：

(2)•••4(-1,0),

二直线4B为y=—x—1,

过C作x轴垂线，交直线AB于点。，连接力C、BC,

设C（x,-（x+1产），则。

•••CD=-（x+l）2+x+1,

SxABC-S&ACD+SABCD=1[—+1）2+X+1]X1,

,1•SAABC=-2（X+区）2+1&

.•.当x=时，△ABC的面积最大，

将X=—2代入C（x,—（X+1）2）,得C（-

•1•SAABC最大时，点C的坐标为（—：,一；）.

【解析】(1)由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据408=：确定出a的值，即可确定出解析式；

(2)过C作CDlx轴，交直线AB于点。，设C(x,-(x+l)2),则。根据S-BC=SMCD+SABCD表

示出△ABC的面积，根据二次函数的性质即可求得.

此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积

等，表示出C、。的坐标是解本题的关键.

24.【答案】解：（1）①函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；

@x=-2或x=0或x=2；

③—1<m<0;

（2）如图，将函数y=-（团-1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数为=-（I'TT）2+2的

有图可知：当l<y1W2时，自变量x的取值范围是一1<尤<3且X41.

【解析】【分析】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键.

（1）根据图象即可求得；

（2）根据“左加右减，上加下减”的图象平移规律，画出函数月=YxT|T）Z+2图象，根据图象即可得到结论.

【解答】

解：（1）观察探究：

①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；

②方程—（|X|—I）2=—1的解为：x——2或工—0或x—2；

③若方程一（|划一I）2=m有四个实数根，则a的取值范围是—1<m<0.

故答案为：函数