2023届云南大附属中学中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如果t>0,那么a+t与a的大小关系是（）

A.a+t>aB.a+t<aC.a+t>aD.不能确定

2.下列计算正确的是（）

A.（a2）3=a6B.a2*a3=a6C.a3+a4=a7D.（ab）3=ab3

3.已知关于x的方程一二+句心=宇白恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（

)

x-2xx-2x

A.1B.2C.3D.4

4.一次函数y=—gx+l的图像不经过的象限是：（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

—x<1

5.不等式组\<，的解集是（）

3%-5<1

A.x>-1B.x<2C.-l<x<2D.-l<x<2

>/x-3।x-3

6.等式1——=J'J—成立的x的取值范围在数轴上可表示为()

Jx+1Vx+1

7.实数a,b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（)

帛\2

-7-10

A.a+b=0B.b<aC.ab>0D.|b|<|a|

9.平面上直线a、c与b相交（数据如图），当直线c绕点O旋转某一角度时与a平行，则旋转的最小度数是（）

b

C.40°D.30°

10.若点A（2,y,）,B（-3,y2）,C（-1,丫3）三点在抛物线y=82一4x一机的图象上，则必、”、力的大小关

系是（）

>

A.yl>y2y3

>>

B.y2y1y3

>>

c.y2y3yi

D.y3>yi>y2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2019层的三角形个数为

12.如图，AB是。。的切线，B为切点，AC经过点O,与。O分别相交于点D,C,若NACB=30。，AB=&，则

阴影部分的面积是

13.某小区购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元.

已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，求银杏树和玉兰树的单价.设银杏树的单价为x元，可列方程为.

14.计算：J沃-病的结果为.

15.若a是方程3胃一万一2=0的根，则5+2a—6a2=.

16.如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片（4AEP）,

使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）问题提出

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD的中点，则NAEBZACB（填

问题探究

（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，NAPB最大？并说明理由；

问题解决

（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的

距离BD=1L6米.如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果，最

好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离.

18.（8分）如图所示，在白ABC中，AB=CB,以BC为直径的。O交AC于点E,过点E作。O的切线交AB于点F.

（1）求证:EF±AB；

（2）若AC=16,0O的半径是5,求EF的长.

19.（8分）已知关于x的一元二次方程X?-（2k+l）x+k2+k=l.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）当方程有一个根为1时，求k的值.

20.（8分）（2016山东省烟台市）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了

旗杆的高度.如图2,某一时刻，旗杆45的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长

6c为4米，落在斜坡上的影长。为3米，ABVBC,同一时刻，光线与水平面的夹角为72。，1米的竖立标杆尸。在

斜坡上的影长。R为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin72%0.95,cos72°«0.31,tan72°«3.08）

21.（8分）如图，已知AC和BD相交于点O,且AB〃DC,OA=OB.

求证：OC=OD.

22.（10分）抛物线M：丁=加-4依+。一1（。。0）与x轴交于A,3两点（点A在点3左侧），抛物线的顶点为。.

环

1-

----1----1---->

-1。1234x

-1-

（1）抛物线〃的对称轴是直线；

（2）当AB=2时，求抛物线"的函数表达式;

（3）在（2）的条件下，直线/：>=丘+/女。0）经过抛物线的顶点。，直线y=〃与抛物线M有两个公共点，它

们的横坐标分别记为王，x2,直线y=〃与直线/的交点的横坐标记为七（%3>0）,若当-24〃〈一1时，总有

xt-x3>xi-x2>0,请结合函数的图象，直接写出左的取值范围.

23.（12分）为了进一步改善环境，郑州市今年增加了绿色自行车的数量，已知A型号的自行车比B型号的自行车的单

价低30元，买8辆A型号的自行车与买7辆B型号的自行车所花费用相同.

（1）A,B两种型号的自行车的单价分别是多少？

⑵若购买A,B两种自行车共600辆，且A型号自行车的数量不多于B型号自行车的一半，请你给出一种最省钱的方案，

并求出该方案所需要的费用.

24.如图，O为直线AB上一点，ZAOC=50°,OD平分NAOC,ZDOE=90°.写出图中小于平角的角.求出NBOD

的度数.小明发现OE平分NBOC,请你通过计算说明道理.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1,A

【解析】

试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.

Vt>0,

**3Ita，

故选A.

考点：本题考查的是不等式的基本性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.

2、A

【解析】

分析：根据幕的乘方、同底数幕的乘法、积的乘方公式即可得出答案.

详解：A、幕的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式计算正确；B、同底数幕的乘法，底数不变，指数相加，原式=加，

故错误；C、不是同类项，无法进行加法计算；D、积的乘方等于乘方的积，原式计算错误；故选A.

点睛：本题主要考查的是幕的乘方、同底数塞的乘法、积的乘方计算法则，属于基础题型.理解各种计算法则是解题

的关键.

3、C

【解析】

先将原方程变形，转化为整式方程后得2x?-3x+(3-a)=1①.由于原方程只有一个实数根，因此，方程①的根有两种

情况：(D方程①有两个相等的实数根，此二等根使x(x-2)#1；(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使x

(x-2)=1,另外一根使x(x-2)W1.针对每一种情况，分别求出a的值及对应的原方程的根.

【详解】

去分母，将原方程两边同乘x(x-2),整理得2X2-3X+(3-a)=1.①

方程①的根的情况有两种：

(1)方程①有两个相等的实数根，即△=9-3x2(3-a)=1.

23

解得.

O

2373

当•时，解方程2x2-3x+(-7+3)=1,得X[=X2=：.

824

(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为1或2.

(i)当x=l时，代入①式得3-a=l,即a=3.

当a=3时，解方程2x?-3x=l,X(2X-3)=1,xi=l或X2=1.4.

而勺=1是增根，即这时方程①的另一个根是x=L4.它不使分母为零，确是原方程的唯一根.

(ii)当x=2时，代入①式，得2x3-2x3+(3-a)=1,即a=5.

2

当a=5时,解方程2x-3x-2=1,xi=2,x2=-y.

xi是增根，故*=-；为方程的唯一实根；

23

因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是3,5共3个.

O

故选C.

【点睛】

考查了分式方程的解法及增根问题.由于原分式方程去分母后，得到一个含有字母的一元二次方程，所以要分情况进

行讨论.理解分式方程产生增根的原因及一元二次方程解的情况从而正确进行分类是解题的关键.

4、C

【解析】

试题分析：根据一次函数y=kx+b仆邦，k、b为常数)的图像与性质可知：当k>0,b>0时，图像过一二三象限；

当k>0,b<0时，图像过一三四象限；当kVO,b>0时，图像过一二四象限；当kVO,b<0,图像过二三四象限.

这个一次函数的1i=-‘CO与b=l>0,因此不经过第三象限.

2

答案为C

考点：一次函数的图像

5、D

【解析】

由-xVl得，，x>-1,由3x-5Wl得，3xW6,...xM,...不等式组的解集为-1VXW2,故选D

6、B

【解析】

根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围.

【详解】

X-320

由题意可知:

x+1>0

解得：x..3,

故选：B.

【点睛】

考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.

7,D

【解析】

根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2,b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1,即可

得出|b|V|a|.

【详解】

A选项：由图中信息可知，实数a为负数，实数〃为正数，但表示它们的点到原点的距离不相等，所以它们不互为相

反数，和不为0,故A错误；

B选项：由图中信息可知，实数a为负数，实数b为正数，而正数都大于负数，故B错误；

C选项：由图中信息可知，实数a为负数，实数〃为正数，而异号两数相乘积为负，负数都小于0,故C错误；

D选项：由图中信息可知，表示实数〃的点到原点的距离大于表示实数b的点到原点的距离，而在数轴上表示一个数

的点到原点的距离越远其绝对值越大，故D正确.

:.选D.

8、C

【解析】

根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.

【详解】

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

9、C

【解析】

先根据平角的定义求出N1的度数，再由平行线的性质即可得出结论.

【详解】

解：VZ1=18O°-100°=80°,a〃c,

.,.Za=180°-80°-60°=40°.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补.

10、C

【解析】

首先求出二次函数V=4X-机的图象的对称轴x=-2=2,且由a=l＞0,可知其开口向上，然后由A（2,%）

2a

中x=2,知力最小，再由B（-3,y2）,C（-1,y3）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小,

所以丫2＞丫3•总结可得丫2＞丫3＞门.

故选C.

点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数

y=ax2+bx+cCa*0）的图象性质.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、2.

【解析】

设第n层有斯个三角形（n为正整数），根据前几层三角形个数的变化，即可得出变化规律％“=2"-2"，再代入n=

2029即可求出结论.

【详解】

设第"层有诙个三角形（〃为正整数），

。2=2+2=3,03=2x2+2=5,04=2x3+2=7,♦・・，

.•・〃”=2（n-2）+2=2〃-2.

:.当/i=2029时,02029=2x2029-2=2.

故答案为2.

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律"“=2"-2”是解题的关键.

]Z、---

26

【解析】

连接OB.

二•AB是。O切线，

/.OB±AB,

VOC=OB,ZC=30°,

AZC=ZOBC=30°,

:.ZAOB=ZC+ZOBC=60°,

在RtAABO中，VZABO=90°,AB=6，ZA=30°,

/.OB=1,

1.5x

【解析】

根据银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据“某小区购买了银杏树和玉兰树共1棵”列出方程即可.

【详解】

设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5X元，根据题意，得：

120009000

------------1----------

x1.5%

120009000

故答案为:------------1----------

x1.5%

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

14、272

【解析】

分析：根据二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可.

详解：原式=3岳5夜=-20.

点睛：此题主要考查了二次根式的加减，灵活利用二次根式的化简是解题关键，比较简单.

15、1

【解析】

利用一元二次方程解的定义得到3a2-a=2,再把5+2a-6a?变形为5-2（3〃—力，然后利用整体代入的方法计算.

【详解】

Va是方程3/-2=0的根，

:.3a2-a-2=0,

:.3a2-a=2,

:.5+2Q-6Q2=5-2（3/-Q）=5-2X2=L

故答案为：L

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

16、5&或46或1

【解析】

如图所示:

①当AP=AE=1时，VZBAD=90°,...△AEP是等腰直角三角形，二底边PE=J5AE=5，^;

②当PE=AE=1时，VBE=AB-AE=8-1=3,ZB=90°,PB=,/pE2-BE2=4,，底边

AP=JAB?+PB?=VS2+42=46；

③当PA=PE时，底边AE=1；

综上所述：等腰三角形AEP的对边长为50或4石或1;

故答案为50或或L

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)>；(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由见解析；(3)4M米.

【解析】

(1)过点后作后/_148于点F,由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：△AEf是等腰直角三角形，易证NAEB=90。,

而NAC8V90。，由此可以比较NAE8与NAC8的大小

(2)假设尸为CZ)的中点，作AAP5的外接圆。。，则此时。切。。于P,在上取任意异于尸点的点E,连接

AE,与。。交于点尸，连接BE、BF；由NA尸3是△屈的外角，得乙4尸且N4尸3与NAPB均为OO

中弧AB所对的角，贝！|NAKB=NAP8,即可判断/4尸3与NAE8的大小关系，即可得点P位于何处时，NAPB最大;

(3)过点E作CE〃。尸，交AD于点C,作AB的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点O,使OA=CQ,

以点。为圆心，。3为半径作圆，则。。切CE于点G,连接。G,并延长交。尸于点P,连接。A,再利用勾股定理

以及长度关系即可得解.

【详解】

解：(1)ZAEB>ZACB,理由如下：

如图1,过点E作EFJLAB于点F,

・•'在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD中点，

二四边形ADEF是正方形，

:.ZAEF=45°,

同理，NBEF=45。，

二ZAEB=90°.

而在直角△ABC中，ZABC=90°,

.,.ZACB<90°,

.*.ZAEB>ZACB.

故答案为：>;

(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由如下：

假设P为CD的中点，如图2,作AAPB的外接圆。O,则此时CD切。O于点P,

图2

在CD上取任意异于P点的点E,连接AE,与OO交于点F,连接BE,BF,

VZAFB是AEFB的外角，

...NAFBANAEB,

VZAFB=ZAPB,

.*.ZAPB>ZAEB,

故点P位于CD的中点时，NAPB最大：

(3)如图3,过点E作CE〃DF交AD于点C,作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点O,

使OA=CQ,

以点O为圆心，OA长为半径作圆，则。O切CE于点G,连接OG,并延长交DF于点P,此时点P即为小刚所站的

位置，

由题意知DP=OQ=JOA2_AQ2,

VOA=CQ=BD+QB-CD=BD+^AB-CD,

BD=U.6米，*AB=3米，CD=EF=1.6米，

••.OA=lL6+3-1.6=13米，

••・DP=7132-32=W10*，

即小刚与大楼AD之间的距离为4s方米时看广告牌效果最好.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，勾

股定理等知识，难度较大，熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.

18、(1)证明见解析；(2)4.8.

【解析】

(1)连结OE,根据等腰三角形的性质可得NOEC=NOCA、ZA=ZOCA,即可得NA=NOEC,由同位角相等，两

直线平行即可判定OE〃AB,又因EF是。。的切线，根据切线的性质可得EFJ_OE,由此即可证得EF_LAB；(2)

连结BE,根据直径所对的圆周角为直角可得，NBEC=90。，再由等腰三角形三线合一的性质求得AE=EC=8,在

RtABEC中，根据勾股定理求的BE=6,再由△ABE的面积=ABEC的面积，根据直角三角形面积的两种表示法可得

8x6=10xEF,由此即可求得EF=4.8.

【详解】

(1)证明：连结OE.

VOE=OC,

.,.ZOEC=ZOCA,

VAB=CB,

.,.ZA=ZOCA,

.*.ZA=ZOEC,

，OE〃AB,

YEF是。O的切线，

.*.EF±OE,

.•.EF±AB.

(2)连结BE.

•••BC是。O的直径，

.,.ZBEC=90°,

又AB=CB,AC=16,

.*.AE=EC=—AC=8,

2

VAB=CB=2BO=10,

•••BE=7BC2-EC2=V102-82=6，

又4ABE的面积=ABEC的面积，即8x6=10xEF,

/.EF=4.8.

【点睛】

本题考查了切线的性质定理、圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形的两种面积求法等知识

点，熟练运算这些知识是解决问题的关键.

19、(2)证明见解析；(2)k2=2,k2=2.

【解析】

(2)套入数据求出△=b2-4ac的值，再与2作比较，由于A=2>2,从而证出方程有两个不相等的实数根；

(2)将x=2代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值.

【详解】

(2)证明：A=b2-4ac,

=[-(2k+2)]2-4(k2+k),

=4k2+4k+2-4k2-4k,

=2>2.

•••方程有两个不相等的实数根；

(2)•••方程有一个根为2,

：.22-(2k+2)+k2+k=2,BPk2-k=2,

解得：k2=2,kz=2.

【点睛】

本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（2）求出△=b2-4ac的值；（2）代入x=2得出关于k

的一元二次方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键.

20、13.1.

【解析】

试题分析：如图，作CM〃AB交AD于M,MNLAB于N,根据?=鲤，可求得CM的长，在RTAAMN中利用三

CDQR

角函数求得AN的长，再由MN〃BC,AB〃CM,判定四边形MNBC是平行四边形，即可得BN的长，最后根据

AB=AN+BN即可求得AB的长.

试题解析：如图作CM〃AB交AD于M,MN_LAB于N.

CM=

由题喘黑呜4,1

在RT4AMN中，VZANM=90°,MN=BC=4,NAMN=72°,

.,.tan720=—,

NM

...ANH2.3,

VMN#BC,AB〃CM,

:.四边形MNBC是平行四边形,

3

.,.BN=CM=-,

2

/.AB=AN+BN=13.1米.

考点：解直角三角形的应用.

21、证明见解析.

【解析】

试题分析：首先根据等边对等角可得/A=NB,再由DC〃AB,可得ND=NA,ZC=ZB,进而得到NC=ND,根据

等角对等边可得CO=DO.

试题解析：证明：•；AB〃CD

AZA=ZDZB=ZC

VOA=OB

AZA=ZB

AZC=ZD

AOC=OD

考点：等腰三角形的性质与判定，平行线的性质

1135

22>(1)x=2；(2)y——x~+2x—；(3)k>—

224

【解析】

(1)根据抛物线的函数表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线M的对称轴；(2)根据抛物线的对称轴及AB=2

即可得出点A、8的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线/的函数表达式；(3)利用配方法求

出抛物线顶点。的坐标，依照题意画出图形，观察图形可得出匕<-2,再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出

2k+b=L结合〃的取值范围即可得出人的取值范围.

2

【详解】

(1)•抛物线M的表达式为)，=/_4以+。-1,

二抛物线M的对称轴为直线x=-士=2.

2a

故答案为：x=2.

(2)•.•抛物线了=。/-4如+。一1的对称轴为直线x=2,AB=2,

.•.点A的坐标为。,0),点8的坐标为(3,0).

将A(l,0)代入y=加-4依+。一1,得：。一4。+。-1=0,

解得：a=—,

2

...抛物线"的函数表达式为>=-

(3)Vy=——x2+2x--=―■-(x-2)2+—,

222、/2

...点O的坐标为［工；).

•直线y=n与直线/的交点的横坐标记为£(刍>0)，且当一2W〃W-1时，总有玉一七>七一/>0,

:.X2<X3<X1,

Vx3>0,

直线/与》轴的交点在（0,-2）下方,

**•b<—2.

•直线/：丫="+》（女。0）经过抛物线的顶点。,

2k+b=—,

2

,,1^5

..k=------>-.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）

利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式