2023-2024学年宁夏银川二中高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏银川二中高二(上)第一次月考数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.直线％+「丫一5=0的倾斜角是()

A-B-C-D史

A6D-3J36

2.“a=I”是“直线x+2ay-l=0和直线(a-l)x+ay+1=0平行”的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.直线/经过4(2,1)、B(l,m2)(7neR)两点，那么直线/的倾斜角的取值范围是()

A.[0,71)B.[0,JU即㈤C.[0币D.[O.JU&兀)

4.已知点4与点B(l,2)关于直线x+y+3=0对称，则点4的坐标为()

A.(3,4)B.(4,5)C.(-4,-3)D.(-5,-4)

5.如图，空间四边形。4BC中，万？=。而=瓦元=3点M在函上，且。M=2M4点N为BC中点，则

丽=()

121211

ATKTb一T

Q+BQ+-+C

2-3-2-3-22-

C.ia+D.|a+|b-|c

6.在长方体/^。。一必当口为中，BC=CCi=l,AB=^T1.,则异面直线BQ与

所成角的余弦值为()

A手D?

3

7.已知圆Ci：(x-27+(y-3)2=1,圆。2：0—3)2+(y—4产=9,M)N分别是圆C1，C2的动点，P为

x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为()

A.5AT2-4B.yT~V7-2C.6-D.V^7

8.点(x,y)在曲线y=74—刀2—2上,则|3x—4y+4|的取值范围为()

A.[|,y]B.[2,18]C.[1,9]D.靛]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.过点(1,4)且与圆(X++y2=4相切的直线方程为()

A.%-1=0B.y—4=0

C.3%—4y+13=0D.4%—3y+8=0

10.下列说法中正确的是()

A.已知空间向量日，ft,向量五〃3是d=43的充要条件

B.a=(x,-2,5),b=(l,y,-3)，若江与石共线，则xy=-2

C.空间向量五b，［不共面，且而=为+3,BC=a+c>CD=b-c>则4，B,C,。四点共面

D.a=(1,0,1),b=(2,-4,6).另在日方向上的投影为上=(4,0,4)

11.已知直线心ax+by-―=0与圆C：/+y2=「2,点火心匕)，则下列说法正确的是()

A.若点4在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点4在圆C外，则直线(与圆C相离

C.若点A在直线［上，则直线I与圆C相切D.若点4在圆C内，则直线［与圆C相离

12.在棱长为2的正方体ABC。-41B1G5中，M,N分别是BC,CG的中点，则()

A.4M与D］N为异面直线

B.AN1BD

C.点/到平面DMN的距离为2

D.若点Q为线段&C上的一动点，贝”QDi的范围生等

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知圆Q：x2+y2+2x-6y+l=0,圆C2：%2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所在的直

线方程为.

14.已知五=(5,3,1),h=(-2,t,-|),若，与3的夹角为钝角，则实数t的取值范围是

15.如图，平行六面体4BCD—4BiGDi的底面力BCD是矩形，AB=尸,AD=

>J~2,AAX=2/7,且乙44。=^AB=60°,则线段4cl的长为

16.设a>0,A(2a,0),8(0,2),。为坐标原点，则以04为弦，且与4B相切于点4的圆的标准方程为；

若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P(该点称为直角A048的Brocard点)，则点P横坐标x的最

大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知点P(l,2),直线八2x-y-1=0.

(1)求经过点P且与直线］平行的直线的方程；

(2)求经过点P且与直线I垂直的直线的方程.

18.(本小题12.0分)

已知圆C：(x—I)2+(y-2)2—25,直线八(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0(mG/?).

(1)求证：直线，恒过定点；

(2)当zn=0时，求直线I被圆C截得的弦长.

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱台ABC-aBiG中，Z.BAC=90°,AiA1平面ABC,AB=AC=2A1C1=2,且D为BC中点.

C

(1)证明：BC_L平面A1AD：

(2)若4A=<3,求此时直线BQ和平面4CD所成角的正弦值.

20.(本小题12.0分)

已知直线％—2y+1=0与圆C：%?+y2—4％+2y—Q=0交于A,B两点，CALCB.

(1)求实数a的值；

(2)若点P在圆C上运动，。为坐标原点，动点M满足而=2而，求动点M的轨迹方程.

21.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PA。为等边三角形且垂直于底面4BCD,AB=BC=\AD,^BAD=乙ABC=

90°,E是PD的中点.

⑴证明：直线CE〃平面P4B；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面4BCD所成角为45。，求二面角M—AB-D的平面角的余弦值.

22.(本小题12.0分)

已知圆C经过点E(0,6),尸(4,4),且圆心在直线心2x-5y+13=0±.

(1)求圆C的方程.

(2)直线y=Ax+3与圆C交于4B两点，问：在直线y=3上是否存在定点N；使得心N+册加=0(以N、kBN

分别为直线4N,BN的斜率)恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：％+—5=0的斜率为—?，

则所求倾斜角为".

O

故选：D.

根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解.

本题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：若直线x+2ay-1=0与直线(a-l)x+ay+1=0平行，

则有1xa=2ax(a-1),解得a=0或a=

而当a=0时，直线x+2ay-1=0与直线(a-l)x+ay+1=0重合，舍去，

所以，直线无+2ay-1=0与直线(a-l)x+ay+1=0平行=a=|,

所以“a=|”是“直线x+2ay—l=0和直线(a-1)%+ay+1=0平行”的充要条件.

故选：A.

由两直线平行求得a的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

本题考查了两直线平行的求法，充要条件的判定，属于中档题.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查直线的倾斜角，要求学生结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系，进行分析求解，属于

基础题.

设直线的倾斜角为0,0式。<兀，根据斜率的计算公式，可得4B的斜率为卜="=1—巾2,进而可

2—1

得k的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tan。41,进而由正切函数的图象分析可得答案.

【解答】

解：设直线4B的倾斜角为氏0<d<n,

根据斜率的计算公式，可得的斜率为％=/=1_m2,

2—1

易得k<1,

由倾斜角与斜率的关系，可得tan。41,

由正切函数的图象，可得。的范围是［0,，U6,7T),

故选D.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了相互垂直直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

片+半+3=。，解出即可得出.

设点A(x,y),由点4与点8(1,2)关于直线x+y+3=0对称，可得

『(-1)=-1

【解答】

解：设点4(x,y).

•••点4与点8(1,2)关于直线x+y+3=0对称,

寸号+3=。，解得——4

卧(一1)=一1

则点4的坐标为(-5,-4).

故选：D.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形

把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题.

由题意，把刀，0B，瓦三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，

将丽用三个基向量表示出来，即可得到答案.

【解答】

解：由题意

~MN=~MA+AB+~BN

1一——.I—

=^OA+OB-OA+^BC

2_,_,1_,1_

=--^OA+0B+-^OC-^OB

2__1_1__

=一可。2+^0B+^0C

又瓦？=五，OB=OC=c

—.2_1_1_

•••MN=-«+2+2C

故选艮

6.【答案】C

【解析】解：如图，・•・BC=CCi=1,BCi=y/~2,

:"Q

4»r?

111

色少4^..•…jc

'..y

AB

vAB=：,BD=V_3»C]D=V-3,

乙BGD是异面直线BCi和AB1所成的角或其补角，

“RrD-时+"2一萩_2_XT6

COS乙BC1D--2BC"[D__2XQXC_

故选：c.

推导出4BC1D是异面直线BC1和4B1所成的角或其补角，利用余弦定理能求出异面直线8cl与4%所成角的余

弦值.

本题考查异面直线所成角、余弦定理等基本知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解:圆G：[-2)2+(y-3)2=1的圆心(2,3),半径为J

圆C2：(X-3)2+0-4)2=9,的圆心(3,4),半径为3,

圆G关于％轴的对称圆的圆心坐标。3(2,-3),半径为1,

由图象可知当P,C2,C3,三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，

\PM\+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

即|C3c2|-3-1=J(3-2产+(4+31-4=5<2-4.

故选：A.

求出圆C1关于X轴的对称圆的圆心坐标。3，以及半径，然后求解圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

即可求出|PM|+|PN|的最小值.

本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，

属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：如图，曲线y=44-N一2为圆*2+(y+2)2=4的上半圆,

圆心4(0,-2),半径为2,B(2,-2),

|—4x(—2)+4|12

点4到直线3x-4y+4=0的距离依m=J32；(一4)2=V>2即直线3x—4y+4=0与圆相离,

|3x2-4x(-2)+4|18

点B到直线3x-4y+4=。的距离出口=5，

|3x-4y+4］的最小值为5(|4D|-2)=2,|3x-4y+4|的最大值为5|BC|=18,

则|3x-4y+4］的取值范围为［2,18］.

故选：B.

根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.

本题考查曲线与方程，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查圆的切线方程，属于基础题.

讨论切线的斜率是否存在，然后结合直线与圆相切的性质可求.

【解答】

解：圆(x+l)2+y2=*圆心坐标为(一1,0),半径为2,

过点(1,4)作圆(x+I)2+y2=4的切线,

当切线的斜率不存在时，直线x=l符合题意;

当切线的斜率存在时，可设切线方程为y—4=k(x—1),B|Jfcx-y+4-/c=0,

\-k+4-k\_Q

则k，

3

得

解k

4-_y+¥=0,即3x-4y+13=0,

4

故过点(1,4)且与圆(x+I)2+y2=4相切的直线方程为x=1或3x-4y+13=0.

故选AC.

10.【答案】BC

【解析】解：对于4空间向量五，b，向量3〃方是五=4方出r6)的充要条件，故A错误，

对于B,a=(x,-2,5),b=(l,y,-3)，日与旗线，

则L=马=高解得x=-|,y=

%—2535

故xy=-2,故B正确，

对于C，空间向量五，b>^不共面，且彳^=为+匕，=a4-c，CD=b-c>

则而=荏一就=(a+K)-(a+c)>

故A,B,C,。四点共面，故C正确，

对于D,a=(1,0,1),b=(2,-4,6),

则加在日方向上的投影为曾=等=44，故。错误.

|a|V2

故选：BC.

对于A,结合向量平行的性质，即可求解，

对于B,结合空间向量共线的性质，即可求解，

对于C,结合四点共面的性质，即可求解，

对于。，结合向量的投影公式，即可求解.

本题主要考查共线向量与共面向量，考查转化能力，属于基础题.

11.【答案】ACD

r2

【解析】解：力中，若4在圆上，则。2+〃=「2,而圆心到直线’的距离d=『『=四，所以直线与圆相

Ja2+bz

切，即A正确；

r2

B中，点4在圆C外，则。2+川>「2,而圆心到直线I的距离d=-^亏<|r|,所以直线，与圆相交，所以B不

Ja2+b2

正确；

2

C中，点4在直线/上，则。2+廿=/，而圆心到直线I的距离d=丁『r=旧，所以直线/与圆相切，所以

Ja2+b2

C正确；

r2

。中，点A在圆C内，^\a2+b2<r2,而圆心到直线/的距离4="]=^>旧，所以直线1与圆相离，所以。

Ja^+b2

正确；

故选：ACD.

4中，由点4在圆上，可得a,b,r的关系，求出圆心到直线I的距离，与半径比较可得4的真假；B中，由点

4在圆外，可得a,b,r的关系，求出圆心到直线/的距离，与半径比较，可得B的真假；C中，点4在直线1上，

可得a,b,r的关系，求出圆心到直线m勺距离，与半径比较，可得C的真假；。中，由点4在圆内，可得a,

b,r的关系，求出圆心到直线/的距离，与半径比较，可得。的真假.

本题考查直线与圆的位置关系的判断，点与圆，点与直线的关系的性质的应用，属于基础题.

12.【答案】BC

【解析】解：在棱长为2的正方体中，M,N分别是BC,

CCi的中点，

连接AM,DMDC,并延长，由三角形的中位线定理可得它们交于一点，

设为E,

故AM,D[N为相交直线，故A错误；

以D为坐标原点，以。A所在直线为无轴,DC所在直线为y轴,DDi所在直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,

则4(2,0,0),8(2,2,0),D(0,0,0),N(0,2,l),M(l,2,0),

Bi(2,2,2),4(2,0,2),C(0,2,0),劣(0,0,2),

则前=(-2,2,1)，BD=(-2,-2,0).

•.•福•丽=4-4+0=0,

.•.前J.前，故8正确；

DM=(1,2,0).而=(0,2,1)，西=(2,2,2)，

设平面DMN的法向量为元=(x,y,z),

则｛一一.，取x=2,得ri=(2,-1,2),

(n-DN=2y+z=0

则见到平面DMN的距离为d=|霄|=I上/I=2,故C正确；

设&Q，=0<A<1,贝i](m-2,n,t—2)=4(-2,2,-2),

解得Q(一2九2尢2-24),则6=(2+2九一2424—2),砧=(2尢-24,24),

、QAQD^4A+4A2+4A2+4A2-4AI~/VT5

则COS<Q4Q5)=嬴丽TJ⑵2+8.J⑵2[崎一亍'

Vcos<QA，E>>0.-<•4QD1不为钝角，故。错误.

故选：BC.

连接AM,DNDC,并延长，由三角形的中位线定理可得它们交于一点，设为E,由此判断4以D为坐标

原点，以所在直线为x轴，0C所在直线为y轴，。劣所在直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,利用

向量法判断BCD.

本题考查异面直线的判定、直线与直线垂直的判定、点到平面的距离、角的取值范围等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

13.【答案】3x-4y+6=0

【解析】解：,••圆G：x2+y2+2x—6y+1=0,圆C2：x2+y2—4%+2y—11=0,

•••两圆作差相减，

得两圆的公共弦所在的直线方程为3x-4y+6=0.

故答案为：3x—4y+6=0.

两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.

本题考查两圆的公共弦的直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用.

14.【答案】(一8龄

【解析】解：•••苍=(5,3,1),3=(—2,t,—|),益与石的夹角为钝角，

a-6=5X(-2)+3t+1x(一|)<0,

解得

又五=(5,3,1)与方=(一2』,一§不共线，

・•.实数t的取值范围是(-8,1|).

故答案为：(―8,|1).

利用空间向量夹角公式直接求解.

本题考查实数的取值范围的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.【答案】2，万

【解析】解：依题意，褊=前+西，得碣2=(荏+鬲)2=肝+2北用+西2,

由底面4BCD为矩形，AB=O,AD=O,得近？=荏？+而2=2+？=4,显然鬲2=双2=8，

又就•西=颂+而)•鬲=而•丽*+而•丽i1

=\AB\-\AAi\-cos60°+\AD\-\AAl\.COS60°=<7X2<7X+<7x2<7xg=4,

因此碣2=4+2x4+8=20，：•|宿|=2c.

故答案为：2v~亏.

根据给定条件，可得福^:就+石，再求出相关向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到

结果.

本题考查了向量的数量积的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16.【答案】(％-a)2+(y+a2)2=a2+a4

【解析】解：直线AB的方程为欧+介1,即x+ay=2a,过点4与4B垂直的直线方程为y=aQ-2a),

24

。4的垂直平行线为x=a,以。4为弦的圆的圆心为(a,—a2),半径「=J一0)2+(Y-0)2=<a+a,

所以所求圆的标准方程为(％-a)2+(y+a2)2=a2+a4@,

以。B为直径的圆的标准方程为M+(y-1)2=1@,

①-②得公共弦的方程为2a2y+2y=2ax,y=念y%，

代入②得/+(品x)2-2x/x=0,

3+1)

"a+->2,当且仅当a=1时取等号，t+；在[2,+8)上单调递增，故再不三~5.

°‘°aH■—a

故答案为：(X-a)2+(y+。2)2=02+。4；1_

由已知可得过点4与ZB垂直的直线方程为y=a(x-2a),进而可求圆心坐标与半径，可求点4的圆的标准方

程，求得两圆的交点P的横坐标％=2、里之一，可求最大值.

d+3心+1

本题考查求圆的标准方程，考查交点的横坐标的最大值的求法，属中档题.

17.【答案】解：(1)设经过点P且与直线/平行的直线方程为2x—y+C=0(CH—l),

将P(l,2)代入得2—2+C=0,解得C=0,

故经过点P且与直线，平行的直线方程为2x-y=0；

(2)设经过点P且与直线I垂直的直线方程为％+2y+G=0,

将P(l,2)代入得1+4+6=0,解得G=-5,

故经过点P且与直线，垂直的直线方程为x+2y-5=0.

【解析】(1)根据平行设出直线方程，代入点P(l,2),求出答案；

(2)根据垂直设出直线方程，代入点P(L2),求出答案.

本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题.

18.【答案】解：(1)证明：依题意直线八(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=~

O(meR),/\J\

整理得Z：(2%+y-7)m4-x+y-4=0,|]

叫.(x2%++yy"-7==00'解4”得曰：(％=31'

X

所以/恒过定点(3,1).

(2)当m=0时，直线Lx+y—4=0,

圆C：(%-1尸+(y—2)2=25的圆心为(1,2),半径为5,

(1,2)到直线1：%+y—4=0的距离为艮竽/=^==<5,

所以直线2被圆C截得的弦长为2J52一岛)2=■1y

【解析】(1)根据直线过定点的知识证得结论成立.

(2)根据点到直线的距离公式以及勾股定理求得弦长.

本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为&A1平面4BC,BCu平面4BC,所以1BC.

又因为4B=4C,。为BC中点，

所以ADLBC,

又=A,且ADu平面44。,

所以BC1平面4皿

(2)以4为坐标原点，AB,AC,4公所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系4-xyz,

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),

4(0,0,G),C(0,l，C),0(1,1,0),

所以监=(-2,1,C)同=(1,1,一门)^7?=(0,2,一＜3),

设平面4停。的一个法向量为元=(x,y,z),

则硕.五=0.南行=0.所以卜十y二f3z=0,

11\2y-Cz=0

可取y=l,则x=l,z=

所以平面&CD的一个法向量为元=(1,1,专),

设直线8cl和平面&CD所成角为仇

___>一］1VID

则sin。=|cos<BC］，n>\==~2^~，

故直线BC］和平面&CD所成角的正弦值为。.

【解析】(1)根据线面垂直的性质定理，以及判断定理，即可证明；(2)首先以点4为原点，建立空间直角坐

标系，并求平面&CD的法向量，最后代入线面角的向量公式，即可求解.

本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题.

20.【答案】解：(1)将圆化为标准方程为(％-2产+(y+l)2=。+5,a+5>0,

则圆心C(2,—l),半径r=丐，

记d为圆心C到直线48的距离，

因为C41CB,所以d=-r,又因为d="若"=V-5,

2V5

所以，亏=xJa+5，所以Q=5；

(2)设P(出,yo)，M(3),

因为而=2而，B|J(x0,y0)=2(x-2,y+l),解得片。二/二：，

Iyo一十/

又点P在圆C上，贝ijQo-2)2+(M,+1)2=10,从而得(2刀一6)2+(2丫+3)2=10,

所以动点M的轨迹方程为(x-3)2+⑶+1)2=|.

【解析】⑴由题意得圆心C到直线48的距离d=与r,求解即可；

(2)设「(&,%),M(x,y),由而=2而可得｛；：二；；；；，结合点P在圆C上，即可得动点M的轨迹方程.

本题考查了直线和圆的综合运用，属于中档题.

21.【答案】解：(1)证明：取P4的中点F,连结EF,BF,米

•••七是「。的中点，；.后F〃4。，EF=^AD,为

.•…，-―9。。\

2匕八，-七4二----口

BC//AD,EF//BC,EF=BC,.

•••四边形BCEF是平行四边形，二CE〃B『，火

•••BFu平面PAB,CEC平面P4B,/7：

・•・直线CE〃平面PAB.1\

(2)解：如图，取AD中点。，连结P。，CO,二三生三二=一.*_^

•••△PAD是正三角形，P。J.4。,

・••侧面PAD是等边三角形，且垂直于底面4BCD,

平面PADn平面力BCD=4D,POu平面PAD,

•••P。•L平面ABC。，又COu平面4BCD,•••POICO,

•••AOAB=BC=^AD,且/BAD=/.ABC=90°,

•••四边形力BC。是正方形，C。14。，

以。为原点，。。为x轴，。。为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

设4B=BC=^力。=1>则。4=OD=AB=CO=1,OP=V-3>

•••△POC是直角三角形，|OC|=?|OP|,

Z.PCO=60°,作MNA.CO,垂足为N,连结BN,

POICO,MN//PO,且P