上海市青浦区第一中学2022-2023学年九年级上学期期中考试卷

青浦一中2022学年第一学期期中学业质量调研

初三年级数学试卷

一、选择题：（每小题4分，满分24分）

1.在一张比例尺为L20000的地图上，量得A、8两地的距离是5。机，那么A、8两地的实际距离是

（）

A.500/ziB.1000m

C.5000znD.10000m

【答案】B

【解析】

B两地的实际距离为xcm,根据题意可得方程9=」一，解此方程即可求得答案,

【分析】首先设A,

x20000

注意统一单位.

【详解】解：设A,B两地的实际距离为xcm,

_________51

做姑题息行：一=”…，

x20000

解得：x=l00000,

V100000cm=1000m,

/.A,B两地的实际距离是1000m.

故选B.

【点睛】此题考查了比例尺的性质.比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一

单位.

2.已知两个相似三角形的相似比为4：9,则它们周长的比为（）

A.2：3B.4：9C.3：2D.16：81

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案.

【详解】解：；两个相似三角形的相似比为4：9,

它们的周长比等于相似比,即：4：9.

故选B.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键.

3.抛物线y=ax2+bx+c（其中。>0、b<0、c>0）一定不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数的各项系数进行判断对称轴以及与y点的坐标，画出草图，进而即可求得答案

【详解】解:4>0、/?<()、c>0

b

••・抛物线y=法+c的对称轴为工=——>0则对称轴在y轴的右侧，且开口向上,

2

令x=0,y=c>0,即抛物线与y点的坐标大于o,如图,

故该函数的图象不经过第三象限

故选C

【点睛】本题考查了二次函数丁=狈2+瓜+,（。。（））的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题

的关键.

4.如图，DEllBC,DFAC,那么下列比例式中正确的是（）

DBCFCFCEBFAE

A--------------B.----------C区=时D.--------------

ABBFBFEAEAFCFCAC

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线等分线段定理即可解答;

【详解】解：

.BDCE

'~AD~~EA

•：DFAC

.BFBD

"'~FC~~AD

.CEBF

''~EA~~FC

故答案为C.

【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，即：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

历

5.中，ZC=90°,tanA=—，那么三边BC:AC:43是（）

2

A.1:2:3B.1：V2：V3c.2：V5:3D.2:3:屈

【答案】B

【解析】

【分析】由题意设=得出4C=2x,再由勾股定理得出A8=，得出三边的比即可.

【详解】解：：/。=90。，tanA=-.

AC2

设6C=JIx，

AC=2x，

AB=y/AC2+BC2=y[6x，

BC:AC:AB=s[2x:lx:瓜x=V2:2:瓜=1:V2:G.

故选：B.

【点睛】此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵

活选择适当的方法解决问题.

6.如图，在RTAABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,四边形DEGF为内接正方形，那么AD：DE：EB为

【答案】B

【解析】

【分析】作CNLAB,再根据GF〃AB,可知△CGFszXCAB,由相似三角形的性质即可求出正方形的边

长，同理可得出AD及BE的长，进而得出结论.

即：DF=FG=EG=DE=a；

VFD±AB，四边形DEGF为内接正方形,

NA£>F=NC=90，

又：/4=Z4,

：.,ADF^,ACB,

ADDFADa〃”卬“一4

---=----,即n：n-----=—，AD=­a

ACBC433

同理可得：-8EGs_3c4

些=生，即：毁a3

，解得8石二一。；

BCCA344

43

AD:DE:EB=­a<7=16:12:9,

34

故选B.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

,,a2a-b

7.若；=三,则一;—=____.

h3h

【答案】-g

【解析】

【分析】根据：=得到a=代入式子计算即可.

b33

【详解】

h3

2,

/.a=—b,

3

2i,

a-h

bb3

故答案为：-5.

2

【点睛】此题考查代数式的求值，掌握等式的性质变形得到。=一。是解题的关键.

3

8.抛物线y=2/—1的顶点坐标是.

【答案】（0,-1）

【解析】

【详解】解：'：a=2,b=0,c=-\,

2a4a

...抛物线＞=2/一1的顶点坐标是（o,一1）,

故答案为（0,-1）.

9.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=2cm,b=4cm,那么c=cm.

【答案】8

【解析】

【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解.

【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，

所以b2=ac,BP42=2c,c=8.

故答案为8.

【点睛】本题考查了比例中项的定义，一般的，如果三个数a,b,c满足比例式a：b=6：c,则匕就叫做

a,c的比例中项.

10.如果a-2x=38，那么无用a、b表示为：x=.

13

【答案】—a—b

22

【解析】

【分析】根据向量方程的求解方法，可以先移项，再系数化一，即可求得答案.

【详解】解：-2x=30，

-2x=a+3b

-13-

x-——a——b,

22

]3

故答案为：—a—b.

22

【点睛】此题考查了平面向量的知识，解题的关键是掌握向量方程的求解方法.

11.已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=20cvn,AP>BP,那么AP=cm.

【答案】10V5-10##10（61）

【解析】

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫

做黄金分割，他们的比值（叵口）叫做黄金比.

2

【详解】解：点P是线段A8的黄金分割点，AP>PB,若AB=20,

则4P=20义与1=10后TO.

故答案为1075-10.

【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关

键

s

12.已知点G是一ABC的重心，那么《地空=.

【答案】-

3

【解析】

【分析】连接AG并延长交8C于点由G是重心可得。是的中点，所以

SABDG=S.CDG，又由重心定理可AG=2G。，贝IJ2sAB0G=SAABC，进而得到3s△BGC=〃ABC，即可求

解.

【详解】解：连接AG并延长交8c于点Q,

：G是一ABC的重心，

是的中点，AG=2GD,

•C=Cq—q

,•2ABD-uACD'屋BDG一'

・・•AG=2GD,

・・•Q^BDG—q'

•QC一q

••J°ABGD-U△ABD，

•qq—q

.Qq&BGC_i

,•二一］,

故答案为：-.

3

【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解

题的关键.

13.已知。的长度为2,h的长度为4,且b和。方向相反，用向量〃表示向量〃=.

【答案】-2a

【解析】

【分析】根据。的长度为2,。的长度为4,且/，和&方向相反，即可得到力=一2：.

【详解】解：；。的长度为2,/,的长度为4,且/，和i方向相反，

.11

b=—2a，

故答案为：—2〃.

【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键在于能够熟练掌握向量的相关知识.

14.已知抛物线y=a?+历:一2(。人>0)与y轴交于点4,过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,如果

AB=3,那么点8坐标为.

【答案】(-3,-2)

【解析】

【分析】根据表达式求出A点坐标再根据AB平行于x轴，AB=3可得8点坐标为

(3,-2)、(-3,-2),再根据ab>0得-—<0,所以B点坐标为(一3,-2).

2a

【详解】解：•.•对于yuaV+Ax-2(出?>0),当x=0时，y=-2,

.••A点坐标(0,-2)，

又•••AB=3,直线AB平行x轴

点坐标为(3,-2)、(-3,-2),

abX),

b

・・.--<0,抛物线对称轴在y轴左侧，

2a

.••8点坐标（—3,—2）.

故答案为：（一3,—2）.

【点睛】本题主要考查二次函数与y轴得交点，二次函数对称轴和两点之间的距离，熟练掌握二次函数基

本性质是解决本题的关键.

15.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西

门七百五十步有木.问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G分别是AD和的中

点，若所_149,痔=30,6"_148,6”=750,且EH过点A,那么正方形ABCD的边长为

【答案】300

【解析】

【分析】设=根据题意证明..EE4sA“G,从而得到对应边的比相等，列出方程即可求得

A尸，进而求得正方形的边长

【详解】解：正方形ABCD中，F、G分别是A。和A8的中点

AG=-AB,AF=-AD,ADJ.AB

22

:.AG^AF

EF_LAD,EF=30,GH±AB,GH=750

•­•AF//HG,AG//EF

Z.EAF=ZAHG,NE=ZHAG

•.,EFA^,AHG

设AF-AG-x,

EFAF

~AG~~HG

30x

即nn——=

x750

解得x=150

AF=150

AD=2AF=2x150=300

故答案为：300

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

16.如图，在一ABC中，点。、E分别在边AB、AC上，且BO=CE,延长ED交CB的延长线于F,若

AB:AC=3.2,DF=4,则历=.

【答案】6

【解析】

ABEMEMEF

【分析】证明一ABCs3C，,.8"S*A/EF，得一=一,一=一，由3O=CE得

ACECBDDF

ADEF

—=——，从而即可求解.

ACDF

【详解】解：过点E作交FC于点

EMAB,

/.ZA=AMEC,ZABC=ZEMC,NDBF=ZEMF,ZBDF=NMEF,

•••cABCSqEMC,,.BDFs.MEF，

.AB_EMEMEF

''~AC~~EC'~BD~~DF'

BD=CE,

.ABEF

••—，

ACDF

•；AB:AC=3:2,DF=4,

3EF

•.一=---

24

EF=6.

故答案为6.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及相似三角形的判定及性质，构造辅助线证明三角形相似得

AB_EMEM

=——是解题的关键.

~AC~~EC'~BDDF

底边

17.若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即切“顶角=

底边上的高

3

若等腰.ABC,AB^AC,且叫“4=e，则cosA=

7

【答案】—##0.28

25

【解析】

【分析】过点A作于。，过点B作5ELAC于E,设A£>=2a,BC=3a,根据勾股定理

得，AB=AC^y,进而判断..ABC是锐角三角形，点E在AC边上，从而得=由三角函数

的定义即可求解.

详解】如图，过点A作AO1BC于。，过点B作8ELAC于£

设AD=2a，BC=3a,

VAB-AC,ADLBC,

13

BD=CD=-BC=-a,

22

根据勾股定理得，

AB=AC=y]AD2+CD2=^(2<z)2+(y)2=—,

3

cn—aQ/o'

/.cosZABC=cos/ACB==-2—=-<——，

AC匕52

2

A450<ZABC<90°,45°<ZACB<90°,

900<ZABC+ZACB<180°，

ABAC+ZABC+ZACS=180。，

ZfiAC<90°,

.A3C是锐角三角形，

...点E在AC边上，

vADIBC,BEA.AC,

5ABC」8c即,xBaxZaJx3axBE,

22222

BE^—a,

5

/.AE7AB2-BE?

：.cosNBAC=—=%=—

AB匕25

2

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质是解题

的关键.

18.如图，已知矩形ABCD中，AB=6,AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上

的点E处，如果AE=2AM,那么CN的长为

【答案】8-34

【解析】

【分析】如图，过N作NFLAD于F,可得NF=AB,根据矩形的性质和折叠的性质可得/MEN=/B=90。,

EN=BN,根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得NAME=NNEF,进而可证明△AEMsaFNE,

根据AE=2AM可求出EF的长，在RtaFNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长.

【详解】如图，过N作NFLAD于F,

.四边形ABCD是矩形，AB=6,

；.NF=AB=6,

•..矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处,

，EN=BN,ZMEN=ZB=90°,

/AEM+/NEF=90°,

VZAEM+ZAME=90°,

ZAME=ZNEF,

又•.•/A=NEFN=90°,

.".△AEM^AFNE,

.AMEF

"AE-NF'

VAE=2AM,NF=6,

；.EF=3,

BN=EN=7NF2+EF2=A/62+32=3亚,

：BC=8,

/.CN=BC-BN=8-3A/5，

故答案：8-375

【点睛】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一

个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）［请将解题过程填入答题纸的相应位置］

2

19.计算：cos230-2sin245+------------------------

2sin60+tan45

【答案】----hV3o

4

【解析】

【分析】根据cos30°=^=sin60°,sin450=也，tan450=l求解即可.

22

2

【详解】解：原式=-2x©+1+^

2J

=--1+73-1

4

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值.

20.已知二次函数y^2x2-4x+5.

(1)用配方法把二次函数y=2f-4x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出这个函数图像的开

口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)如果将该函数图像沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A,与y轴

交于点B,顶点为C,求的面积.

【答案】(1)(1)顶点式为y=2(x-I/+3,图象开口向上，对称轴为直线尸1,顶点坐标为(1,3)；

(2)2

【解析】

【分析】(1)根据二次函数的图象与性质解答即可；

(2)根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A、8、C坐标即可求解.

【小问1详解】

解：(1)y=2Y-4x+5=2(x—1y+3,

...该二次函数的顶点式为y=2(x-7尸+3,图象开口向上，对称轴为直线广1,顶点坐标为(1,3)；

【小问2详解】

解：平移后的新抛物线的解析式为y=2(x-l)2+3-5=2(%-1)2-2,

；.C(1,-2),

当y=0时，由2(%—1)2—2=0得：%=0,%=2，

AA(2,0),B(0,0),即AB=2,

_ABC面积为2x2=2.

2

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点

问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键.

21.如图，在ABC中，ZC=90°,矩形COE尸内接于一ABC,且DE：EF=3:2,点、D、E、尸分别

在边AC、AB、BC上，连接BO,交EF于G.若BC=6,AC=8,求GF的长度.

Q

【答案】GF=-

9

【解析】

43

【分析】根据勾股定理易得AB=1()，然后可得tan=—,由题意可设。E=3x,EF=2x,则=—x,

32

进而可证_OEGS_BFG,最后根据相似三角形的性质可求解.

【详解】解：；NC=90°,BC=6,AC=8,

•••ABTAC'BC?=IO,

.小AC4

・・tan/B==—f

BC3

•..四边形CQEF矩形，DE:EF=3:2,

.•.设DE=CF=3x,EF=2x,ZADE=ZCDE^90°,

EF3

DE//BC,BF=---------=—x,

tanNB2

/.CF+BF=3x+-x=6,

2

4

解得：%=-,

3

EF=~,

3

DE//BC,

...JDEGS-BFG，

EGDE.

­二2,

FGBF

1Q

：.GF=-EF=~.

39

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握相似

三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理及矩形的性质是解题的关键.

22.周末，小明携带一台航拍无人机前往闵行体育公园内的锦绣湖畔进行测量作业，已知，无人机从E点

竖直上升150米后到达C处（如图所示），此时测得沁雅轩A的俯角为45°,之后，无人机水平飞行了6

秒到达。点，又测得莲亭B的俯角为30。，若点A、B、C、。、E均位于同一铅垂平面内，且无人机飞行

速度为20米/秒，求沁雅轩与莲亭之间的距离.（结果保留根号）

DC

【答案】沁雅轩与莲亭之间的距离为1506-30米.

【解析】

【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.

【详解】解：过。作。于点E,

DC

由题意知，四边形OREC是矩形，ZC4E=45°,ZDBF=30°,OF=EC=150米,

EE=C£>=20x6=120（米），

•••NC4E=45°,

二AE=EC=150（米），

AE=M一。。=30（米），

•：ZDBF=30°,

/.BF=6DF=1506（米），

/•AB=BF-AF=15OG-30（米），

答：沁雅轩与莲亭之间的距离为150百-30米.

【点睛】此题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与

数形结合思想的应用.

23.已知：在AA3C中，AB=AC,点D、E分别在边AC、AB上，连接BD、CE交于点尸，且

ZBFC=ZABC.

（1）求证：ABCFs&gOC.

（2）求证：BFBD=BECD.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得N/WC=NACB,即可得出/BFC=/DCB,由/FBC是公共角即

可证明△BCFsaBDC；（2）由（1）得△BCFS/^BDC,根据相似三角形的性质可得生=处，由

BFBC

ZBFC=ZEBC,NBCF=NECB可证明△CFBs/xCBE,即可得△CBEsaDCB,根据相似三角形的性质可

得生=生，进而可得结论.

CDBC

【详解】（1）；AB=AC,

ZABC=ZACB,

■：ZBFC^ZABC,

AZBFC=ZDCB,

•••NFBC=NCBD,

/.△BCF^ABDC.

D

(2)VABCF^ABDC,

BCBD2

诉=说'即nn叱=叱皿

VZBFC=ZEBC,NBCF=NECB,

.'.△CFB^ACBE,

ACBE^ADCB,

BCBE2

布=茄，n^nBC^BE-CD，

BFBD=BECD

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

24.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=f+云-3的图像与x轴交于A、B两点，与）’轴交于

点C,顶点为E.点。在二次函数的图像上，CD〃x轴，CD=2.

(1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标:

(2)在x轴上有一点尸，若以点F、B、。为顶点的三角形与△3CD相似，求点F坐标;

（3）点。是二次函数图像上一点，过点。向抛物线的对称轴作垂线，垂足为，，若HE=3HQ,求点

。的坐标.

【答案】（1）y=》2—2x—3；顶点E的坐标为（1，-4）

（2）点尸的坐标为（1,0）或（—6,0）

（3）点。的坐标为（一2，5）,（4，5）

【解析】

【分析】(1)先求出点。的坐标，根据C£>〃x轴，求出点。坐标，代入函数解析式求出〃值即可；

(2)先求出点A、8的坐标，再分别求出△BCD的三边长，设点尸(x,0),再分别讨论当3C、BF、

CT分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于x的方程，解方程即可；

2

(3)设点。(x,X-2X-3))求出函数对称轴，结合已知以及顶点E的坐标得“后=£一2x-3+4,

“。=打一1|,根据=列方程，解方程即可.

【小问1详解】

由题意可知：y=%2+/;x-3,

二当x=0时，y=-3,即点。的坐标为(0,—3),

C£)〃x轴，CD=2

，点。的坐标为(2，-3),代入抛物线得：4+如一3=-3

:.b=—2

抛物线的解析式为y=f_2x_3=(X—Ip—4

•・・顶点E的坐标为(1，-4)

【小问2详解】

由(1)得一2X—3,令y=0,即/一2%—3=0

解得：％=-1,X2=3

A(-1,0),8(3,0)

:.BD=M，CD=2,BC=3母

二设点E",o),

①当为△3b的最长边时，得

BCBFFC

疏一而一访

解得：x=\

:.点F（1.0）

②当M为△BCF的最长边时，得

BFFCBC

~BC~~BD~~CD

,-B-F—--3--7-2

一3五一2

:.BF=9

:♦点F（-6，0）

③当CF为△BCF的最长边时，得

CFBFBC

~BC~~BD~~CD

解得：x无解，所以这个点尸不存在

综上所述点F的坐标为（1，0）或（—6,0）

【小问3详解】

点。在函数图像上，则设点。（x,丁一2%—3），

二次函数对称轴为x=l

・•.HE=f_2x_3+4，HQ=\x-l\f

HE=3HQ

*t--2x—3+4=3|x_1|,

炉—5x+4=0或4~x—2=0

—

解得：％=1,9=4或X]=1,x2—2

当％=1时不符合题意，

故x=4或％=-2

故点。的坐标为（—2，5）,（4.5）

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像的性质，相似三角形的判定，解题关键是学

会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

25.如图，在RtzsABC中，/C=90。，AC=BC=6,点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射

线BC上一动点，且NFDE=90。.

（1）当DF〃AB时，连接EF,求NDEF的余切值；

（2）当点F在线段BC上时，设AE=x,BF=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）连接CE,若ACDE为等腰三角形，求BF的长.

c

【答案】(1)(2)y=_述+9(舟ijv3夜)；(3)6或7

【解析】

【分析】(1)先根据勾股定理求出A8的长，再由三角形的中位线定理求出OF的长，利用等腰直角三角

形的性质求出DE的长,由锐角三角函数的定义即可求出NDE尸的余切值；

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