2023-2024学年上海高二年级上册期中数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年上海高二上册期中数学模拟试题

一、填空题

1.已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为

【正确答案】宁54

【分析】根据圆柱体积公式，结合侧面展开图的性质进行求解即可

【详解】因为圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，

所以该圆柱的底面圆的周长为6,因此半径为2,而圆柱的高为6,

TI

故该圆柱的体积为%x6=—.

\TC)71

454

故一

Jt

本题考查了圆柱体积公式的计算，考查了数学运算能力.

2.某圆锥的底面积为4〃，侧面积为8)，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为一.

【正确答案】1

【分析】根据圆锥底面面积公式以及圆锥侧面面积公式，求出底面半径和母线长，即可得出

结论.

【详解】设圆锥的底面半径为「，母线长为/,

则1=47，解得r=2,

7crl=2/rl=84，解得/=4,

设该圆锥的母线与底面所成角为凡

2]71

所以cos<9=±=2,0<0<-,

422

所以夕=(.

故答案为.三

3.PP是一ABC所在平面a外一点，。是点PP在平面a上的射影.若PA=PB=PC,则。

是“ABC的心.

【正确答案】外心.

【分析】由平面ABC和PA=P3=PC,利用勾股定理，求得49=8O=CO,即可求

解.

【详解】如图所示，由点。是点P在平面a的射影，所以P。工平面A8C,

22

可得水…云一尸。?,BO=^PBT-POT,CO=>JPC-PO»

因为PA=PB=PC,所以A0=80=C0,

所以。为“ABC的外心.

故外心.

4.正方体ABCO-A4GA的棱长为a,E是棱。。的中点，则异面直线A3与CE的距离为

【正确答案】。

【分析】根据正方体的性质可得BCLAB，BC1.CE,则|BC|即为异面直线A8与CE的距离;

【详解】解：依题意可得BC_LAB,3cl面CC£)A，CEU面CQD，所以BCJ_CE,即

BC为AB与CE的公垂线，所以忸。=a即为异面直线AB与CE的距离，

AB

5.给出下列命题：

①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

其中所有正确命题的序号为.

【正确答案】②③

【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②；

由空间中直线与平面的位置关系判断③.

【详解】对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平

行、相交或异面，故①错误；

对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相

平行，故②正确；

对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确.

其中所有正确命题的序号为②③.

故②③.

6.如图，在坡面a与水平面厂所成二面角为60。的山坡上，有段直线型道路AB与坡脚/成

30。的角，这段路直通山顶A,已知此山高135G米，若小李从B沿着这条路上山，并且行

进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶A需要的时间是分钟.

【正确答案】18

【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理推得AC，直线/,从而在RtAOC与

中求得AB,由此求得小李到达山顶所需时间.

【详解】过点A作AOJ•平面尸，垂足为O,过点。作。C_L直线/,垂足为C,连接AC,

因为AO,平面夕，lu/3，所以/，AO,

又/_LOC,AOcOC=O,AO,OCu面AOC,所以/上面AOC,

又ACu面AOC,所以ACJ_直线/,

由题意可知NACO=60°,AO=1356,

所以在Rt,AOC中，AC=———=里叵=270,

sinN4cosin60°

在RtZ\ABC,ZABC=30°,所以A5=2AC=540,

因为小李行进速度为每分钟30米，

所以他到达山顶A需要的时间是540+30=18（分钟）.

故18.

7.如图是正四面体的平面展开图，M、N、G分别为£>E,BE,FE的中点，则在这个正

四面体中，MN与CG所成角的大小为.（结果用反三角函数值表示）

【分析】根据展开图还原几何体，利用平移找到异面直线所成的角，根据余弦定理即可求解.

【详解】由正四面体的平面展开图可得正四面体如图所示，其中点AB,C重合

，连接OG,因为为OE,AE的中点，所以MNPAO,所以NDAG

即为MN与CG所成的角或补角，不妨设正四面体的棱长为2,则AG=OG=g，在△ADG

中'由余弦定理可得，cos〃AG=皿露产=筹荥=字所以MN与CG所成

角的大小为arccos也.

3

故答案为arccos—

3

本题主要考查异面直线所成角的大小求解，考查作图能力与运算求解能力，属于基础题.

8.已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得

棱台的上、下底面的面积之比为1：4,若截去的小棱锥的侧棱长为2,则此棱台的表面积为

【正确答案】5+3V15

根据棱台的上、下底面的面积之比为1:4,利用相似比得到棱台的上、下底面的边长之比

为1：2,再根据截去的小棱锥的侧棱长为2和正四棱锥的底面边长为2,得到棱台的底面边

长和斜高，代入公式求解.

【详解】如图所示：

因为棱台的上、下底面的面积之比为1：4,

所以棱台的上、下底面的边长之比为1：2,

因为截去的小棱锥的侧棱长为2,

所以正四棱锥的侧棱长为4,

又因为正四棱锥的底面边长为2,即CD=2,

所以GA=1,CG=2,

作GE_LC£>,则CE=；(C£>_CQ)=g,

所以此棱台的表面积为S=4x；(l+2)x半■+1x1+2x2=5+3715,

故5+3后

9.己知圆柱的上、下底面的中心分别为。1、。2,过直线0。2的平面截该圆柱所得的截面

是正方形.底面圆的内接正三角形面积为士叵，则该圆柱的表面积为

2

【正确答案】12兀

【分析】先由三角形面积公式求出三角形边长，再由正弦定理求底面圆的半径，由表面积公

式求圆柱的表面积.

如图所示，设圆柱的底面圆半径为「，则高为人=2厂，

再设底面圆的内接正三角形边长为〃，

则该三角形的面积为5诋=走/=空，解得”指；

AliC42

~B

由正弦定理得嬴布=无=",所以r=&,

T

所以该圆柱的表面积为5=2兀/+2口/7=2兀*2+2兀*&*2a=12兀.

故答案为.12兀

10.已知正四棱锥P-A38的棱长都相等，侧棱尸B、PO的中点分别为M、N,则截面AMN

与底面A8C£）所成的二面角的正弦值是一.

【正确答案】与

【分析】设P。交MN于£,过A作直线///8O,证明出/丛。为所求二面角的平面角，求

出E。，AO,AE,即可求解.

【详解】如图，正四棱锥尸-ABC。中，。为正方形ABC。的两对角线的交点，

p

则PO4面ABC。.

因为侧棱心、PO的中点分别为M、N,所以MN为△PBD的中位线，所以MN//BD.

设PO交MN于E,则PE=EO.

因为PO1面ABC。，所以PO1B。.

又区D_LAC,ACPO=O,ACu平面PAC,POu平面PAC,所以%平面PAC.

过A作直线///BO,则〃/MN,所以/u面AMN,/u面相8,所以/为面AWN与底面

ABC。的交线.

因为ABC。为正方形，所以8DLA0,所以/LAO.

由正四棱锥的对称性可得.AM=AN而E为MN的中点，所以UE4.

所以/E4O为所求二面角的平面角.

又EO=二AO=a,AO=-^-a>所以AE=a

2424

所以sinZ.EAO=.

5

所以截面AMN与底面A8CO所成的二面角的正弦值是书.

故答案为

11.直三棱柱A4G-ABC中，平面ABC，平面ABB|A，且AC=内例，则AC与平面A8C

所成的角6的取值范围是

【正确答案】0。<。<30°

【分析】作于。.判断出NACZ）即为AC与平面A8C所成的角.设例=a,A3=x,

利用几何性质得到/以，=•sin6,进而V=3：sin’.证明出X.

\ja~+xl-3snr。

解得|sin6|<,，即可求出。的取值范围

2

【详解】作AOJ.AB于D.

4G

因为平面48CJ_平面ABAA,平面48Cc平面=A],

所以A。，平面A8C,所以NACO即为AC与平面ABC所成的角，ZACD=0.

设^=4,AB=x,则AC=®4,=岛.

在直角三角形AC。中，由正弦的定义.AD=ACsm0=43a-sin0

A8.AAax

在直角三角形ABA中，由等面积可得：AD=―

\Ja2+x2

3/sin?0

所以AD=/丁，一=6a•sin0所以f=

yja2+X1l-3sin20

在直三棱柱ABC-ABC中，A}A1BC.

因为JL平面ABC,所以AD,8c.

因为A41u平面AABg,A£)u平面A484，AA}r^AD=Af

所以BCJ.平面A484,故NCB4=90。，从而45＜4C,即冗＜百〃.

于是04斐叱＜3/,,解得田＜1_

又()°＜。＜90°,解得.0。＜6＜30°

故答案为.0°＜。＜30。

12.如图，三棱柱ABC-44G中，AA^BC^BIBB,,若AB=1,AC=6,BC=C,则

三棱柱ABC-ABC体积最大时，M=.

【正确答案】立

3

【分析】推导出平面ABC,设例=X,可求出AC的长，计算出S&/C,可求

得%sc-MW=3%-wc的解析式，结合二次函数的性质可求得答案.

【详解】因为B41A3,MBB、,则AA.1A.B,

又A4_L8C,\B\BC=B,AB,BCu平面A^C,所以A4,，平面ABC,

设A4,=x,在Rtz\A84中，A^B==Vl-x2

在R4CG中，ACJAC-CC；=h-x2，

/UAR_A-+AC-BC?_

所以c°s'--2AB-AC—飞2_巧(12)，

2-3x2

所以sin/BAC=

(23)(12)，

2-3x2>0

1-X2>0—q-,2

由已知可得〈2,可得0<x<—,

2-X2>03

x>0

所以4A8c=gAB.AC-sinN%C=^p^

又匕-ABC=VB、-ABC=%-ABC

所以三棱柱ABC-A4G的体积

v=3kBe=S/jc.M="2；"=；J2『-3X4=g卜(x2-J+；，

所以当时，三棱柱ABC-AAG体积最大，此时⑨=乎.

故答案为.3

3

二、单选题

13.设丛生生乃为空间中的四个不同点，贝『再、生生巴中有三点在同一条直线上''是

“丛生鸟、与在同一个平面上”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【正确答案】A

【分析】由公理2的推论(1)(2)即可得到答案.

【详解】由公理2的推论：

过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面，

可得巴、Pyp3'e在同一平面，

故充分条件成立；

由公理2的推论：

过两条平行直线,有且只有一个平面，

可得，

当耳€卜Ph、与J、P&C4时,

Pr生马、E在同一个平面上，

但耳、生舄、巴中无三点共线，

故必要条件不成立；

故选:A

本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;

公理2的三个推论：

(1)经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；

(2)经过两条平行直线,有且只有一个平面；

(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面；

14.在下列四个正方体中，能得出的是()

D.

【正确答案】A

【分析】由线面垂直的性质可判断A,根据异面直线所成角的计算可判断BCD.

【详解】对A,如图，连接BE,则在正方体中，CO1.8E,又AE_L平面3CEO,C£)u平

面8CE£>,则A£_LC£>,AEc3E=E,\8八平面43E,4?u平面ABE,，CE>_L,

故A正确；

对B,如图，连接AE,易得CD//AE,则/BAE'为异面直线A8,C£>所成角，/班£=60,

故48,8不垂直，故B错误;

对C,如图，CD//BE,则NABE为异面直线A8,C£)所成角，易得448E=45,故4B,C£>

不垂直，故C错误；

对D,如图，CDi/BE,则/ABE为异面直线AB,CD所成角，显然ZABEx90,故AB,8

不垂直，故D错误.

故选：A.

15.《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，

高五尺，问：积及米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四

分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，间米堆的体积及堆放的米各为多少？”

已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）

A.21斛B.34斛

C.55斛D.63斛

【正确答案】A

【分析】由扇形弧长公式可求得底面圆半径，根据圆锥体积公式计算出米堆的体积，进而计

算得到结果.

JT

【详解】由题意知：底部扇形弧长/=8,圆心角a=],圆锥的高力=5

，底面圆半径r='=3，米堆的体积V=4x,nrh=—•—x5=—

a兀43127i

，堆放的米约有f320+1.62=21斛

故选：A

本题考查圆锥体积相关问题的求解，涉及到扇形弧长公式、圆锥体积公式的应用，属于基础

题.

16.如果底面是菱形的直棱柱（侧棱柱与底面垂直的棱柱）ABCO-A4GA的所有棱长都

相等，448c=60分别为AB,BC,CC1的中点，现有下列四个结论：①平面

CCRD②A\B//MN③平面④异面直线AQ与MN所成的角为60,其中

正确结论的个数为

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】B

根据几何体的性质，对选项进行逐一判断.

【详解】解：因为底面是菱形，且ZABC=60°,E为中点，

所以AABC为等边三角形，且CE1AB,

又因为CD//45,

所以CE_LCD,

因为四棱柱ABC。-ABC。为直棱柱，

所以CGJ.平面£C£＞。，

故CE1CC,,

又因为CDC/C=C,CO,C/Cu平面GC。。，

所以CE_L平面C.CDD,,故选项①正确；

因为为BC,CG的中点，

所以MN//BQ,

若MN//AB,贝I」得到4///BC,,

与ABeBQ=8矛盾，故选项②不正确；

因为四棱柱ABCD-ABCR,

所以有AR〃8G,

因为M,N为8C,C£的中点,

所以MN//BG,

椒MNHAD、、

因为MNu平面

ARtz平面A、MN

所以4。//平面AMN,故选项③正确；

由③可知，MN//AD},

所以异面直线A。与MN所成的角即为直线4。与AR所成的角，

因为四棱柱ABC。-A&G。为直棱柱，且各棱长相等，

所以四边形AAOR为正方形，

故AQ1AR,即异面直线与MN所成的角为90。，故④不正确,

综上：本题的共有2个正确，故选B.

本题考查了几何体线面的位置关系，解题时应充分运用题中所给的条件，结合判定与性质定

理逐项进行验证.

三、解答题

17.如图，已知E、尸两点分别是正方形A8CZ）边4）、A8的中点，E尸交AC于点GC

垂直于ABC。所在平面.求证：£：广，平面6历。.

G

【正确答案】证明见解析.

【详解】试题分析：连接3。交AC于点。，由E,F是正方形ABCD边A。、A8的中点,

得到EFLAC,再根据GCL平面得到EFLGC,即可利用线面垂直的判定定理,

证得EF_L平面GMC.

试题解析：证明：如图，连接BO交AC于点0,

VE,尸是正方形A3CD边A。、A8的中点，ACLBD,

：.EF1.AC,

又：GC，平面ABCD,所u平面ABCD,

，EF.LGC,

,/ACGC=C,AC,GCu平面GMC

：.EF_L平面GMC.

直线与平面垂直的判定与证明.

18.如图，长方体ABC。-AgGP中，AB=BC=2,AC与底面ABC。所成的角为60°.

(1)求长方体ABCD-A4GR的体积;

（2）求异面直线\B与BR所成角的大小.

【正确答案】（1）8#

(2)arccos恒

14

【分析】（1）先证明幺。1是AC与底面A8C3所成的角，解三角形求AA，利用长方体的体

积公式可得结果；

（2）由BD//BR,可得乙41。是异面直线AB与8a所成角（或所成角的补角），利用余

弦定理可得结果.

【详解】（1）因为多面体ABC。-48cA为长方体，AB=BC=2,

所以A4i_L平面ABCD,AC=>/22+22=20，

所以幺C4是AC与底面ABCD所成的角，

因为AC与底面ABCZ）所成的角为60,

所以NACA=60,所以A4,=4Ctan60=20x百=2卡，

因为正方形ABC。的面积S=A5x8C=2x2=4,

所以长方体ABCD-AlB}C]Di体积丫=A4,xS=2而x4=8#.

(2)因为BD〃BQi,

所以NAB力是异面直线与耳。所成角（或所成角的补角）.

因为14+4=2直,A,D=A,B=y/22+(2y/6)2=277,

28+8-28V14

所以cos=

2xA3xBD2x26x2及-14

所以NABD=arccos

所以异面直线4B与BR所成角是arccos巫

14

19.如图，已知点P在圆柱。。的底面圆。上，ZAOP=120°,圆。的直径AB=4,圆柱的

（1）求三棱锥人-428的体积；

（2）求点A到平面A/0的距离.

【正确答案】（1）2道

尾

【分析】（1）计算出小、BP的长，利用锥体的体积公式可求得三棱锥A-APB的体积；

（2）计算出三棱锥A-AOP的体积以及△A。。的面积，利用等体积法可求得点A到平面

AP。的距离.

【详解】（1）解：因为A3是圆。的直径，所以±PB,

因为NAOP=120°,S.OA=OB=OP,所以NBA尸=30,ZABP=60,

又O8=OP=gA8=2,所以BP=2,AP=2y/3,

=»A-^ft'J^^_A8P=15^ap-A41=1xlx2x2^x3=2x/3.

1

（2）解：AtO=y]AA^+AO=V13.4尸〈必+4尸=0T,OP=2,

\P2+OP--\O2>/21

所以cosNAP。=

2A.POP一〒

所以sinZ/\P0=71-COS2Z4PO=-y-.

所以S“I后x2x正=通,设点A到平面A/°的距离为",

A"27

由以-48=匕一&8,得彩X2x26xgx3=；x26xd,解得"=|.

3

所以点A到平面A/。的距离为

20.如图所示的某种容器的体积为90万。"3,它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与

圆锥的底面圆半径都为rc〃?.圆锥的高为机，母线与底面所成的角为45。；圆柱的高为

hcm.已知圆柱底面造价为2a元/arr»圆柱侧面造价为〃元/cm2,圆锥侧面造价为-J2a元

(1)将圆柱的高灯表示为底面圆半径》的函数，并求出定义域；

(2)当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径「为多少？

90r

【正确答案】(1)1^=---,定义域为｛，［0<r<3师｝.(2)3cm

r~3

【分析】(1)由题4=「由圆柱与圆锥体积公式得匕=万产,色=90］一：1万一,,得

%二=2一2即(2)由圆柱与圆锥的侧面积公式得容器总造价为

"3，r23

22

y=\[2aSx+aS2+2aS3=2/rra4-27vrhya+2/rra,求导求最值即可

【详解】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45。，所以"二乙

圆锥的体积为V"，，圆柱的体积为匕

因为X+%=904,所以匕=%产％=904一；4「，

g、i,270-r390r

所以"=---L=~T一一•

"3/r3

因为乂=；兀/<90]，所以，<3痂.

因此0<r<3痂.

gn

所以〃==-；r；,定义域为｛r[0<r<3师｝.

r3

(2)圆锥的侧面积S|=7厂•五厂=0%产，

圆柱的侧面积S2=2万%,底面积5,=n,.

容器总造价为

22

y=\[2aSt+aS2+2aS3=2兀ra+2兀rh2a+2兀ra=2兀a(/+r4+广)=2乃〃[2厂+

卜।54)

令/⑺=，+岁54，则/⑺=2-54=.令/⑺=0,得r=3.

rr

当0<r<3时,尸⑺<0,/⑺在(0,3)上为单调减函数；

当3<r<3次时，/(r)>0,/⑺在(3,3师)上为单调增函数.

因此，当且仅当尸=3时，/⑺有最小值，即V有最小值，为90乃a元.

所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为3cm.

本题考查圆柱圆锥的表面积和体积公式，考查利用导数求函数最值，方程思想的运用，是中

档题

21.如图，在四面体A—38中，平面BCD,BCVCD,AD=2,BD=20.M是

AO的中点，P是8M的中点，点。在线段AC上，且AQ=3QC.