浙江省杭州市西湖区景汇中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区景汇中学九年级第一学期开

学数学试卷

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.）

1.下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

A.3+272=572B.712-73=9C.(&)2=2D.>/25=±5

3.技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差

分别为S单2=12（c%2）,S/=a（52）,检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，

则。的值可以是（）

A.10B.13C.14D.16

4.把一元二次方程（x-2）（x+3）=1化成一般形式，正确的是（）

A.x^+x-5=0B.x2-5x-5=0C./+工-7=0D./-5x+6=0

5.将抛物线y=-f向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数关系式

是（）

A.y=-（x-1）2-2B.y=-（x-1）2+2

C.y=-（x+1）2-2D.y=-（x+1）2+2

6.已知平行四边形A8C£>的对角线AC,8。交于点O,点£是边A8的中点，连结OE,

若△AO£的周长为15,则△ACO的周长是（）

A.15B.20C.25D.30

7.若点A（-2,州），8（-1,,小），C（1,心）都在反比例函数y=-2的图象上，

X

则>1,为，”的大小关系正确的是（）

A.y\<y^<y2B.y3<y2<y\C.y^<y\<yiD.y2<yi<J3

8.如图，在正方形ABC。中，点E在边AB上，以。石为边作矩形。使FG经过点G

若AO=2,则矩形。EFG的面积是（)

C.2&D.4&

9.如图，矩形A8CZ）的对角线BO经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反

2

比例函数y=k+4k+l,的图象上,若点斗的坐标为（-2,-3）,则k的值为（）

10.如图，在矩形ABCQ中，将△C£>E沿。E折叠，点C与点M重合，连结EM并延长EM

分别交8。，AD于点N,F,且BE=8N,若48=6,BC=8,则A尸的长是（）

A.5-JI。B.10-I。C.4--JJQD.8-2-JJQ

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分.）

11.二次根式A/2023-X中字母x的取值范围是.

12.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为.

13.如图，抛物线、=加+公+。的对称轴是直线x=-1,与x轴的一个交点为（-5,0）,

抛物线和与x轴的另一个交点为.

14.已知关于x的一元二次方程2炉-广机=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围

是.

15.已知点P(«,1-a)在反比例函数y=-(4力0)的图象上，将点P先向右平移9个

x

单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是.

16.将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的口48。，其中AAB尸丝△CDH,其内部

四个顶点构成正方形EFGH,若/ABF=45°,则CO的长为.

三、解答题(共8小题，满分66分)

17.(1)计算：/正-2\历xF.

(2)解方程：%2-4x-1=0.

18.已知抛物线》=浸+〃(aWO)的图象经过点4(1,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)请写出自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大.

19.已知：如图，在菱形ABC。中，过顶点。作£>E_LA8,DF1BC,垂足分别为E,F,

连结E凡

(1)求证：△CEF为等腰三角形.

(2)若/OEF=66°,求NA的度数.

20.为了了解某种电动汽车的性能，某机构对这种电动汽车进行抽检，获得如图中不完整

的统计图，其中A，B,C,D表示一次充电后行驶的里程数分别为150加%180hw,

210km

电动汽车一次充电电动汽车一次充电

行驶甲.程数条形统计图行驶里程数扇形统计图

电动汽车（辆）

里程数（「米）

（1）这次被抽检的电动汽车共有几辆？补全条形统计图.

（2）求这次被抽检的电动汽车一次充电后行驶的里程数的中位数和众数.

（3）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少km?

21.2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进

某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月

份的销售量为400件.

（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降

价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？

22.如图，在。48C。中，。为线段的中点，延长30交C。的延长线于点E,连接AE,

BD,ZBDC=90°.

（1）求证：四边形48DE是矩形；

（2）连接OC,若AB=2,BD=2&，求OC的长.

23.在平面直角坐标系中，反比例函数丫=区(%是常数，且%#0)的图象经过点A(a-1,

x

2).

(1)若。=4,求y关于x的函数表达式；

(2)点8(-2,b)也在反比例函数》的图象上.

①当-2V6W-1,求a的取值范围；

②若B在第二象限，求证：2b-a>-\.

24.如图，在正方形ABC。中，点E在边BC上(不与点B,C重合)，连结AE.点。关

于直线AE的对称点为P,连结PA,PB,PD,PO交AE于点F,延长PB交AE的延长

线于点H.

(1)依题意补全图形，并判断AP与AB是否相等.

(2)求的度数.

(3)求证：BH+PH=®AH.

参考答案

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.）

1.下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项不合题意；

C.既是轴对称图形又是中心对称图形.故本选项符合题意；

D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

2.下列计算结果正确的是（）

A.3+2V2=5\/2B./-百=9C.（e）2=2D.V25=±5

【分析】根据二次根式的加法运算对4选项进行判断；根据二次根式的减法运算对8选

项进行判断；根据二次根式的性质对C、。选项进行判断.

解：A.3与2证不能合并，所以A选项不符合题意；

B.氏--M=M，所以8选项不符合题意；

C.（&）2=2,所以C选项符合题意；

D.后=5,所以。选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关

键.

3.技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差

分别为SJ=12（cm2）,S乙2=。（。层），检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，

则。的值可以是（）

A.10B.13C.14D.16

【分析】根据方差的定义进行判断.

解：•••苗高的平均数相同，乙地小麦比甲地小麦长得整齐，

:.Si|i2>Sz,2,

即a<12,选项A符合题意.

故选:A.

【点评】本题考查了方差的知识，掌握一组数据的极差越大，这组数据的波动范围就越

大，这组数据就越不稳定.反之，越小越稳定是关键.

4.把一元二次方程（x-2）（x+3）=1化成一般形式，正确的是（）

A./+x-5=0B.-5x-5=0C./+x-7=0D.x2-5x+6=0

【分析】根据一元二次方程五+fex+c=0（〃，b,。是常数且aWO）的一般形式，〃、b、

c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案.

解：（x-2）（x+3）=1,

/+x-6=1,

F+x-7=0,

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：加+法+c=0（«,b,c是常数且a70）

特别要注意“W0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中加叫二

次项，以叫一次项，c是常数项.其中dh,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数

项.

5.将抛物线'=向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数关系式

是（）

A.），=-（X-1）2-2B.-（x-1）2+2

C.y=-（x+1）2-2D.y--（x+1）2+2

【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线

的解析式.

解：原抛物线的顶点为（0,0）,向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛

物线的顶点为（-1,-2）;

可设新抛物线的解析式为y=-（X-〃）2+/代入得：y=-（X+1）2-2.

故选：c.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，

解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标.

6.已知平行四边形ABC。的对角线AC,8。交于点。，点E是边AB的中点，连结。E,

若△AOE的周长为15,则△AC。的周长是（）

A.15B.20C.25D.30

【分析】根据平行四边形性质得到AB=C。，AD=BC,OA=OC=^AC,根据三角形中

位线的判定与性质求出OE=[BC=/A。，CO=A8=%E,根据三角形周长定义求解

即可.

：.AB=CD,AD=BC,OA=OC=—AC,

2

•.•点E是边AB的中点，

是△ABC的中位线，C£）=AB=24E,

：.OE^—BC^—AD,

22

；△AOE的周长=AE+OE+OA=15,

.♦.△ACO的周长=CO+AQ+AC=2AE+2OE+2OA=2（AE+OE+OA）=30,

故选：D.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、

三角形中位线定理是解题的关键.

7.若点A（-2,力），B（-1,,以），C（1,"）都在反比例函数y=-2的图象上,

则y【，”的大小关系正确的是()

A.y\<y3<y2B.y3<yi<y\C.y3<y\<yiD.y2<y]<y3

【分析】把点A(-2,y),B(-1,,”)，C(1,”)代入反比例函数的关系式求

出V，”，券，比较得出答案.

解：..•点A(-2,%)，B(-1),以),C(l,>3)都在反比例函数y=一2的图象上一

x

；.yi=3,竺=6,>3=-6,

'-y3<y\<j2>

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用

的方法.

8.如图，在正方形ABCO中，点E在边AB上，以DE为边作矩形OEFG,使尸G经过点C,

若AQ=2,则矩形QEFG的面积是()

【分析】连接CE,则△QCE的面积为2,而矩形的面积是△OCE面积的2倍，所以矩

形的面积为4.

解：连接CE,过点C作C4LOE,如图：

则SAOCE=/X2X2=2,

；・S拉形£>EFG=2SaocE=2X2=4.

故选：B.

【点评】本题考查正方形的性质和矩形的面积，正确作出辅助线是解题关键.

9.如图，矩形A3CO的对角线8。经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反

2

比例函数y=X~强士L的图象上，若点A的坐标为（-2,-3）,则上的值为（）

X

【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩

形及相等的三角形，即可推出S四边形CEO尸=S四边形"AGO,根据反比例函数比例系数的几何意

义即可求出F+必+1=6,再解出k的值即可.

解：如图：

;四边形48CD、HBEO、OECF.GOH）为矩形，

又・・・8。为四边形HBEO的对角线，0D为四边形OGDF的对角线，

SA,BEO=S&BHO,S&OFD=SAOGD,S^CBD=S£\ADB,

S^CBD-S^BEO-SAOFD=S小DB-S&BHO-SAOGD，

：•S四边形CEOF—S四边形WAGO=2X3=6,

/.xy=lc+4k+1=6,

解得，k=l或攵=-5.

【点评】本题考查了反比例函数&的儿何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关

键是判断出S四边形CEOF=S四边形/MG。•

10.如图，在矩形48。中，将△<?£>£沿。E折叠，点C与点M重合，连结EM并延长EM

分别交8。，A3于点N,F,且BE=BN,若48=6,BC=8,则AF的长是（）

A.5--\/10B.10-25/y3C.4-y/lOD.8-

【分析】由矩形的性质得/C=90°,AQ=8C=8,AD//BC,CD=AB^6,贝ijBD=

22=10,

VBCX!D由BE=BN,得NBEN=NBNE,即可证明/QFN=NZWF,则DF

=DN,由折叠得MD=CD=6,ME=CE,NDME=/C=90°,NFED=NCED,而

NFDE=NCED,所以NFED=NFDE,则E尸=OF=£W,设ME=CE=m,则BE=BN

=8-,EF=DF=DN=2+m,可求得MF=EF-ME=2,贝I]。尸={}102+]||尸2=

所以A尸=8-2百5,于是得到问题的答案.

解：：四边形ABCO是矩形，AB=6,8c=8,

，/C=90°,AD=BC=S,AD//BC,CC=A8=6,

=2222

・•・^DVBC<D=VS+6=1。，

♦：BE=BN,

:・NBEN=/BNE,

♦:/BEN=/DFN,/BNE=/DNF,

：./DFN=NDNF,

:・DF=DN,

由折叠得A/O=CD=6,ME=CE,ZDME=ZC=90°,ZFED=ZCED9

•:NFDE=NCED,

：.NFED=NFDE,

：・EF=DF=DN,

设ME=CE=m,则BE=BN=8-m,

：・EF=DF=DN=10-(8-m)=2+〃z,

：・MF=EF-ME=2+m-m=2,

VZDMF=180°-ZDME=90°,

.*.DF=A/HD2+HF2=iy62722=27io，

：.AF=AD-DF=8-27y3，

故选：D.

【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性

质、二次根式的化简等知识，证明NFEZ）=NF£>E是解题的关键.

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分.）

11.二次根式-四2R-v中字母x的取值范围是XW2023.

【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可.

解：由题意得，

2023-x20,

，xW2023,

故答案为：XW2023.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件.概念：式子八（。》0）叫二次根式.性质：

二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

12.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6.

【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题.

解：•••多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

则内角和是720度，

720+180+2=6,

.••这个多边形的边数为6.

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关

键.

13.如图，抛物线+法+c的对称轴是直线x=-1,与x轴的一个交点为（-5,0）,

抛物线和与x轴的另一个交点为（3,0）.

【分析】根据抛物线的对称性即可得出结论.

解：•.•抛物线、=加+法+。的对称轴是直线x=-1,与X轴的一个交点为(-5,0),

...抛物线和与x轴的另一个交点为(3,0),

故答案为：(3,0).

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，关键是对函数性质的应

用.

2

14.已知关于x的一元二次方程2X-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

-一1.

一8—

【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于〃?的一元一次不

等式，解之即可得出，〃的取值范围.

解：•.•关于x的一元二次方程2?-x+m=0有两个不相等的实数根，

△—(-1)2-4X2/n=l-8机>0,

解得：加〈看.

故答案为：，

O

【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判

别式△>()”是解题的关键.

15.已知点P(«,1-“)在反比例函数y=-(�)的图象上，将点P先向右平移9个

X

单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则％的值是一-12.

【分析】根据平移的特性写出点。的坐标，由点尸、。均在反比例函数y=K(&WO)的

X

图象上,即可得出z=2〃=3(H-1),解得即可.

解：•・•点P的坐标为(ml-。)，

.••将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位得到点为(a+9,1-。-6),即

(。+9,-5-a)

依题意得：k=a(1-。)=(〃+9)(-5-，

解得：a=-3,

：.k=-3(1+3)=-12,

故答案为：-12.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，

解题的关键：由P点坐标表示出平移后的点的坐标.

16.将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的口488,其中AAB尸丝△C£W,其内部

四个顶点构成正方形EFGH,若/ABF=45°,则CO的长为_百5_.

【分析】根据正方形的性质得到EF=FG=HG=EH,/AFG=/FEH=NEHG=NFGH

=90",求得NAE£>=NAFB=NCHO=NAE£>=90°,得至I」AF=BF,根据全等三角

形的性质得到4尸=8尸=。"=。〃，设EF=FG=HG=EH=x,AF=BF=CH=DH=y,

根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论.

解：,••四边形EFGH是正方形，

:.EF=FG=HG=EH,NAFG=NFEH=NEHG=NFGH=90°,

AZAED=ZAFB=ZCHD=ZAED=90Q,

♦.*/ABF=45°,

：.AF=BF,

'：△ABgACDH,

:.AF=BF=CH=DH,

设EF=FG=HG=EH=x,AF=BF=CH=DH=y,

•*.BG=DE=x+yfAE=CG=x-y,

.,.°ABCD=2X-1-X>'2+2X-1(y-x)(y+x)+N=10,

'.ly1—10,

*'•CD=d2y2—V10)

故答案为：Tio.

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的

性质，熟练掌握各定理是解题的关键.

三、解答题(共8小题，满分66分)

17.(1)计算：//瓦xF.

(2)解方程：x2-4%-1=0.

【分析】(1)先将京五化为遥，化为2&，即可求解；

(2)先将方程两边同时加上5进行配方，再进行求解.

解：(1)原式

=氓-2娓

~~娓；

(2)Vx2-4x-1=0,

-4x-1+5=5,

.".x2-4x+4=5,

(x-2)2—5,

.,•x-2=±遥，

；.x=2+遥或x=2-辰.

【点评】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一

元二次方程的方法和二次根式混合运算的运算法则.

18.已知抛物线(aWO)的图象经过点A(1,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)请写出自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大.

【分析】(1)用待定系数法求出解析式即可；

(2)求出二次函数图象的对称轴，根据抛物线性质可得答案.

解：(1)把A(1,3)代入得：

3=a+2,

解得a—1,

抛物线的解析式为>=(+2%；

(2),：y=x2+2x=(x+1)2-1,

抛物线y=^+2x的对称轴为直线x=-l,

Vl>0,

抛物线y=r+”的开口向上，

.♦.当x2-1时，y随x的增大而增大.

【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是掌握

待定系数法求出二次函数解析式.

19.已知：如图，在菱形ABC。中，过顶点。作OEL4B,DFVBC,垂足分别为E,F,

连结防.

(1)求证：△£>£尸为等腰三角形.

(2)若NDEF=66°,求NA的度数.

【分析】(1)利用菱形的性质得到AO=C。，/4=/C,进而利用AAS证明两三角形

全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可；

(2)求出N£>EF=/£>FE=66°,由菱形的性质可得出答案.

【解答】(1)证明：；四边形ABCO是菱形，

：.AD=CD,NA=NC,

,：DEA,BA,DFLCB,

:./AED=NCFD=90°,

在和△<?£>「，

'AD=CD

•<NA=Nc>

ZAED=ZCFD=90"

A/XADE^/XCDF(A4S),

：.DE=DF,

是等腰三角形；

(2)解:•:DE=DF,

：.ZDEF=ZDFE=66°,

:・/BEF=/BFE=96°-66°=24°,

，N8=180°-24°-24°=132°,

・・•四边形ABC。是菱形，

J.AD//BC,

：.ZA=180°-N8=48°.

【点评】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握

菱形的性质以及A4S证明两三角形全等，此题难度一般.

20.为了了解某种电动汽车的性能，某机构对这种电动汽车进行抽检，获得如图中不完整

的统计图，其中A,B,C,D表示一次充电后行驶的里程数分别为150奶?，180^,

2]0km,

电动汽车一次充电电动汽车一次充电

行驶里.程数条形统计图行驶电程数扇形统计图

里程数（『米）

（1）这次被抽检的电动汽车共有儿辆？补全条形统计图.

（2）求这次被抽检的电动汽车一次充电后行驶的里程数的中位数和众数.

（3）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少km?

【分析】（1）根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为B等级的

有30辆电动汽车，所占的百分比为30%,用30・30%即可求出电动汽车的总量；根据各

组频数之和等于总数求得A的频数，即可补全统计图；

（2）根据众数和中位数的定义可得；

（3）用总里程除以汽车总辆数，即可解答.

解：（1）这次被抽检的电动汽车共有：304-30%=100（辆），

A等级电动汽车的辆数为：100-30-40-20=10（辆），

补全条形统计图如图所示：

电动汽午一次允电

行驶R程数条形统计图

里〃・数（T乂）

（2）一次充电后行驶的里程数为210千米的电动车最多，有40辆，

二被抽检的电动汽车一次充电后行驶的里程数的众数为210；

•••100两电动车行驶的第50、51个里程数为210千米、210千米，

...被抽检的电动汽车一次充电后行驶的里程数的中位数为纯产=210；

（3）这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为：7rLx（10X150+30X180+40X

100

210+20X240）=201（千米）,

...估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为201千米.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数及中位数的定义，解题的关键是明确

题意，找出所求问题需要的条件.

21.2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进

某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月

份的销售量为400件.

（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降

价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？

【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为X,利用6月份的

销售量=4月份的销售量X（1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率）2,

可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y-35）元，月销售量为400+20（58

-y）=（1560-20y）件，利用月销售利润=每件的销售利润X月销售量，可列出关于y

的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

解：(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得：256(1+x)2=400,

解得：©=0.25=25%,Xi--2.25(不符合题意，舍去).

答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；

(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y-35)元，月销售量为400+20(58

-y)=(1560-20y)件，

根据题意得：(y-35)(1560-20)，)=8400,

整理得:113>3150=0,

解得：>1=50,”=63(不符合题意,舍去).

答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

22.如图，在。ABC。中，O为线段4。的中点，延长8。交的延长线于点E,连接AE,

BD,NBDC=90°.

(1)求证：四边形ABOE是矩形：

(2)连接OC,若48=2,BD=2&，求OC的长.

【分析】(1)证△AOB丝/XCOE(ASA),得AB=OE,再证四边形ABQE是平行四边

形，然后证/BOE=90°,即可得出结论；

(2)过点O作OELDE于点F,由矩形的性质得。E=AB=2,OD=OE,再由等腰三

角形的性质得="=焉。—1,则。尸为的中位线，得OF[BD=&，然后

由平行四边形的性质得CD=AB=2,进而由勾股定理即可得出结论.

【解答】(1)证明：•••。为AO的中点，

・・・AO=。。,

・・•四边形A8CD是平行四边形，

J.AB//CD,

：.NBAO=NEDO,

又•:/AOB=NDOE,

：./\AOB^/\DOE(ASA),

J.AB—DE,

二四边形ABDE是平行四边形，

,:NBDC=90°,

/.ZBDE=90°,

.•.平行四边形ABOE是矩形；

(2)解：如图，过点。作OFLQE于点尸,

；四边形ABDE是矩形，

：.DE=AB=2,OD=—AD,OB=OE=—BE,AD=BE,

22

：.OD=OE,

'：OF±DE,

：.DF=EF=—DE=\,

2

尸为△BDE的中位线,

•••OF]BD=&，

•.•四边形ABC。是平行四边形,

：.CD=AB=2,

：.CF=CD+DF=3,

在RtZkOC/中，由勾股定理得：℃=10三2式尸2=.(&)2+32=VTi，

即0C的长为J石.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的

判定与性质是解题的关键.

23.在平面直角坐标系中，反比例函数y=K是常数，且&六0)的图象经过点A(a-1,

x

2).

(1)若a=4,求y关于x的函数表达式；

(2)点8(-2,b)也在反比例函数》的图象上.

①当-2C6W-1,求a的取值范围；

②若8在第二象限，求证：2b-a>-\.

【分析】(1)。=4可知点A的坐标，代入解析式即可求出/值，即可得到解析式；

(2)①反比例函数的图象经过点A(«-1,2)8(-2,b)也在反比例函数图象上，2

(a-1)=_2b,b=l-a,-2<b^-1,即0Wa<l.

@b=]-a,a=]-by8在第二象限，b>0,-1>-1,-a=b-I>-1,2b-a>-

1.

解：(1)若。=4,则A(3,2),

；・A=2X3=6,

...反比例函数解析式为：y=~；

X

(2)①・・,反比例函数的图象经过点A(a-1,2)B(-2,b)也在反比例函数图象上，

.'.2((7-1)--2b,

.*./?=1-a,

V-2<b^-1,即-2<1-W-1,

解得：2W〃<3.

②•：b=1-a,

*.a=1-b

•・・B在第二象限，b>0,

；・b-1>-1,

/