2023-2024学年四川省达州外国语学校高三（上）入学数学试卷（理科）（含解析）

2023-2024学年四川省达州外国语学校高三（上）入学数学试卷

（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={到1<1083（%—2）<2},8=卜€2|/一6420},则4。8=（）

A.（-00,-8]U[8,11）B.[8,11）

C.[8,9,10}D.[8,9,10,11]

2.为支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当减免，现调查了当地

100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论

正确的是（）

A.a的值为0.0016

B.样本的中位数大于400万元

C.估计当地中小型企业年收入的平均数超过400万元

D.样本在区间[500,700]内的频数为18

3.已知复数z=a2-3a+（a2-l）i,aER,则“a=0”是“z为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.己知t=l,执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A.3B.<y5-1C./T5-/T4D.4

5.一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（）

A.18兀B.217rC.277TD.367r

6.在数列｛%｝中，%=1,a2=3,a3=5,anan+3=1,则logs%+log5a2+…+

l°§S£l2022=（）

A.0B.1C.log53D.log515

7.已知4、B、C三点共线（该直线不过原点0）,且a=mOB'+2n0C（m>0,n>0）>则+:

的最小值是（）

A.10B.9C.8D.4

8.七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则排法共有（）

A.48种B.96种C.240种D.480种

9.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若AL4_L平面力BC,NB1

平面4BC,AC=60m,BC=70y/~3m，tanzMM=7,cos/NCB="，NMCN=150。，则

415

塔尖MN之间的距离为（）

N

A.75<10mB.C.75yT7mD.75m

10.过双曲线C：今一，=l(b>a>0)的焦点Fi作以焦点尸2为圆心的圆的一条切线，切点为

M,AFiF2M的面积为yC?,其中c为半焦距，线段MR恰好被双曲线C的一条渐近线平分，

则双曲线。的离心率为()

A.4B.2C.—D.2或出

33

11.已知点力合,。)在函数f(x)=COS(3X+w)(3>0,0<W<兀)的图象上，直线X屋是函

数图象的一条对称轴.若f(x)在区间第学内单调，则,=()

A.'B.C.名D.年

6336

12.已知函数f(%)=e*ln|x|,a=/(—/n3),b=/(/n3),c=/(3e),d=/(e3),则a,b,

c,d的大小顺序为()

A.a>b>c>dB.d>c>b>aC.c>d>b>aD.c>d>a>b

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知圆C：(%++⑶-2)2=4,则过点P(l,3)作圆C的切线1的方程为.

14.若变量x,y满足｛胃I｝，'则2x+y的最小值为.

15.已知椭圆C：9+9=1的左、右焦点分别为Fi，F2,M为椭圆C上任意一点，N为圆E：

(x-3)2+(y-2产=1上任意一点，则|MN|-|M&|的最小值为.

16.已知函数/1(%)=(x+I)2+ln2x-27n(%+1+Znx)+2m2,若存在实数和，使得/(&)W

2成立，则实数m的可能取值为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b-cosA=c•cosA+a•cosC.

(1)求角A的大小；

(2)若a=17，b+c=4,求be的值.

18.(本小题12.0分)

成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268

万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项

目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里

守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者

申报队伍进行评审打分，并将专家评分(单位：分)分成6组：[40,50),[50,60),…，[90,100],

得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中m的值；

(2)从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X,

求随机变量X的分布列和期望.

19.(本小题12.0分)

如图，在长方形4BC0中，AB=2AD=2/7,M为CC的中点，将△ADM沿AM折起，使得4D1

BM.

D,

(1)求证：平面ADMJ•平面48cM；

(2)若E点满足屁=jBD,求二面角E-AM-。的余弦值.

20.(本小题12.0分)

已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F.且尸与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小

值为4.

(1)求抛物线的方程；

(2)若点P在圆M上，PA,PB是C的两条切线.A,B是切点，求APAB面积的最大值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=xlnx—ax2—%,aER.

(1)若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)若%1，%2(%1<%2)为/(X)的两个不同极值点，证明：4仇％1+lnx2>3.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为&二U°s°(9为参数)，将曲线C上的点按

(，_C

坐标变换”=亍“得到曲线C',以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系

y'=y

设4点的极坐标为©/).

(1)求曲线C'的普通方程；

(2)若过点4且倾斜角为着的直线，与曲线C'交于M,N两点，求|AM|74N|的值.

23.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=|3x+3|—|2x一6|.

(I)求不等式/(工)之工―4的解集；

(11)设/(吟的最小值为小，若正实数a,b,c满足a+b+c=—m,求必+尤+4的最小值.

cab

答案和解析

I.【答案】c

2

【解析】解：集合4={x|l<log3(x-2)<2}={x［5<x<11},B={%eZ\x-64>0}={xe

Z\x<一8或x>8},

■■■AC}B={8,9,10},

故选：C.

先求出集合4B,再利用集合运算的定义求解.

本题主要考查了集合间的基本运算，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由频率分布直方图可得，100x(0.001+0.002+0.0026x2+a+0.0004)=1,解

得a=0.0014,故选项A错误；

所以样本在区间［500,700］内的频数为100x(0.0014+0.0004)X100=18,故选项。正确.

100X(0.001+0.002+0.0026)=0.56>0.5,故中位数再［300,400］之间,设中位数为工,

则有0-300)x0.0026=0.2,解得x-377<400,故选项B错误；

收入的平均数为150X0.1+250x0.2+350x0.26+450X0.26+550x0.14+650x0.04=

376<400,故选项C错误.

故选：D.

由频率分布直方图的数据，先求出样本在区间［500,700］内的频率，再利用样本容量、频率、频数

的关系求解，利用频率分布直方图中位数和平均数的求解方法，即可选出答案.

本题考查了频率分布直方图的理解和应用，主要考查了利用频率分布直方图求解频率、频数、平

均数、中位数等，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：若复数z=a2-3a+(a2-l)i为纯虚数，

则卜；一俨：°，［£1=0或&=3,

(a2-10

・・.则a=0是z为纯虚数的充分不必要条件，

故选:A.

利用纯虚数的定义求出a,再利用充要条件的定义判定即可.

本题考查了纯虚数的定义，充要条件的判定，属于基础题.

4.【答案】A

1

【解析】解:=Vfc4-1-y/~k

-J~k+l+Ik9

・•・当t=1时，

s=Tro+n+n+c+c+…+E+E+E+K=CT+C-C+C-

V-3+…+>T15-<T4+V-16-/T5=7-16-1=4-1=3.

故选:A.

由广心七斤=Vfc+T-口,根据程序框图计算S=』+y=^=+寻0+-

Vk+l+VkV24-1V3+v2v4+V3

+,—],—+,-1,—即可.

<I5+<14

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是

基础题.

即可得解.

本题考查球体体积公式，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：由九+3=1，得。?1+3an+6=1，

两式相除可得册=即+6，

・•.数列是以6为周期的周期数列，

又Q71azi+3=1，。1。4=Q2a5=Q3a6=1，

则由Q2a3a4a5a6=(aia4),(a2as)，(a3a6)=1，

A337lo

log3ax+log5a2+…+log5a2022=log…a2022)=Log5g投2-«6)=9s^=

故选:A.

由已知数列递推式可得数列｛0｝是以6为周期的周期数列，结合即即+3=1与对数的运算性质即可

求得log5al+log5a2+…+log5a2022的值•

本题考查数列递推式，考查数列的函数特性及对数的运算性质，是中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由“4、B、C三点共线（该直线不过原点。），且初=m而+2n炉”可知m+2n=

l（m>0,n>0）,

.一+工=（7n+2口（2+3=4+加+—4+2心豆=8,当且仅当传1瓷=1即『不时

取“=”.

.一+工的最小值是8.

mn

故选：c.

由“力、B、C二点共线（该直线不过原点0）,且04=mOB+2n0C"可知m+2n=1,然后把，

转化为（m+2n）（，+；）,可解决此题.

本题考查平面向量基本定理、基本不等式，考查数学运算能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：先排甲有2种方法，再把乙、丙两人捆绑在一起，看作1个复合元素，和剩下的4人

全排，

故有禺掰鹿=480种.

故选：D.

先排甲有2种方法，再把乙、丙两人捆绑在一起，看作1个复合元素，和剩下的4人全排，即可求

解.

本题考查了分步计数原理，以及捆绑法，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：依题意'在中'AC=60m,tanzMC/1=

tapMCZ=怨=券=g,可得4M=45?n,

AC604

则CM=VAM2+AC2=V452+602=75-

在RtABCN中,BC=70>J~3m,cos/NCB=^，

则CN=coslwCB=与'=75/3,

15

在AMNC中，ZMC/V=150°,由余弦定理可得：

MN=VCM2+CN2-2CM-CN-coszMC/V=J752+(75<^)2-2x75x75<3cosl50°=

75c.

故塔尖MN之间的距离为75「m.

故选：C.

先在RtAMAC中求得CM,RtABCN中求得CN,再在△MNC中利用余弦定理求MN即可.

本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：由题意可得MFi_LM&，

设|例&|=3则||MFzl=74c2-尸,

由4F]F2M的面积为可得XV4c2-t2=^-^c2>

解得t=c或t=V_3c>

线段M0恰好被双曲线C的一条渐近线平分，

由三角形的中位线定理可得“后垂直于渐近线bx+ay=0,

可得&到渐近线的距离为d==b,

其中c为半焦距，线段MR恰好被双曲线C的一条渐近线平分，

所以2b-c或2b=\J_3cy

所以离心率e=亨或e=2.

又因为6>a,所以e=J1+C)2>q>亨.

故选：B.

由题意可得MFiIMF2,由三角形的面积公式推得圆的半径，再由三角形的中位线定理，可得。到

渐近线的距离为半径的一半，结合离心率公式，可得所求值.

本题考查双曲线的方程和性质，以及三角形的中位线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属

于中档题.

11.【答案】B

【解析】解：由题意得，1-喘=：2)=白得得324,

62484232a)8

12TT、7T71

综上可得，4<0)<6,

当⑦=4时，cos(4~+<p)=0,得尹="十/，fcGZ,

又0VW<%，所以。=*

此时，直线工屋是函数/(无)=烟(4%+9的图象的一条对称轴，.

所以9=宗

当co=5时，cos(5x£+0)=0,可得,=攵兀+*fceZ,

又0<0<兀，所以w=1^,

此时，cos(5x>舞不是最值，故直线X屋不是函数/"(%)的图象的一条对称轴.

当3=6时，cos(6x五+3)=0,得伊=上兀+彳，keZ,

又o<R<兀，所以乎=:,

此时，cos(6x会+》=0,不是最值，

所以直线x=誉不是函数f(x)的图象的一条对称轴.

综上，可得3=4,0=全

故选：B.

由题意根据函数的单调区间，得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系求出租即可.

本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和

3是解决本题的关键，属于中档题.

12.【答案】B

【解析】解:因为a=f(-ln3)=e-m31nsi3)=蛆臀,b=f(ln3)=e㈣n(/n3)=3ln(ln3),

所以a<b.

因为函数/(x)=ex】n|x|在区间(0,+8)上单调递增，所以b,c,d中b最小.

构造函数g(无)=x-e/nx,则g'(x)=三，当x2e时，g'(x)>0,所以g(x)在区间［e,+8)上单

调递增，

所以g⑶=3—eln3>g(e)=0,所以3>e/n3.所以e3>3e,所以d>c,

所以d>c>b>a.

故选：B.

把a,b化简即可得出大小关系，利用函数/(x)=6，网引在区间(0,+8)上单调性，可得b,c,d中

b最小.构造函数g(久)=x-e/nx,利用导数研究函数的单调性可得d,c大小关系.

本题考查了指数函数与对数函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

13.【答案】x=1或3x+4y-15=0

【解析】解：•.・圆C：(x+1)2+(y-2)2=4,

•••圆心为(一1,2),半径r=2,

当直线1的斜率不存在时，其方程为x=L

圆心(-1,2)到x=l的距离d=2,满足题意,

当直线，的斜率存在时，

设直线，的方程为y—3=k(x—1),即kx—y—k+3=0,

•・•直线，与圆相切,

.\-k-2-k+3\_

•,r=一乙

jJi解得k=4

二直线I的方程为y—3=—1(x—1),即3x+4y—15=0,

综上所述，直线I的方程为x=1或3x+4y-15=0.

故答案为：%=1或3x+4y-15=0.

当直线1的斜率不存在时，其方程为x=l,圆心(-1,2)到x=l的距离d=2,满足题意，当直线1的

斜率存在时，

设直线I的方程为y-3=k(x-1),SPkx-y-k+3=0,结合点到直线，的距离为半径，即可求

解.

本题主要考查圆的切线方程，掌握点到直线距离公式是解本题的关键，属于基础题.

14.【答案】-2

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

由图可得，71(-1,0),

令z=2x+y,得y=-2x+z,由图可知，当直线y=-2x+z过工时，

直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-2.

故答案为：-2.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐

标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

15.【答案】2/1-5

【解析】解：如图所示，绊

•.•椭圆c；3+9=1，

又*M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x-3)2+(y-2)2=1上任意------

一点，

|M&|+|MFzl=%|MN|2|ME|-1(当且仅当M,N,E共线时取等号)，

\MN\-IMF/=\MN\-(4-|MF2|)=\MN\+|MF2|-4>\ME\+\MF2\-5>\EF2\-5,

当且仅当M,N,E,F2共线时，等号成立，

••旺2(1，0)，以3,2),

A\EF2\=J(3-I.+(2-0)2=

•••|MN|-IMF/的最小值为2。-5.

故答案为：2C-5.

根据椭圆的定义,将的最小值转化为|MN|+|MF2|-4,再根据|MN|>|ME|-1(当

且仅当M,N,E,尸2共线时，等号成立)，再结合两点之间的距离公式，即可求解.

本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，考查数形结合能力，属于中档题.

16.【答案】14//

【解析】解：因为f(x)=i=x+i//

(x+1)2+In2%-/，/

2m(x+1+Inx)+//

27n2//

g(x)=btx

=[%-(m-I)]2+

(Znx—m)2,

=[(%+I)2—2m(x+1)+m2]+[In2%—2mlnx4-m2]

其几何意义为：点到点(m-l,m)的距离的平方，其中点(相"》)在函数g(x)=仇》上，点

(m一l,?n)在直线y=x4-1上，

则g'(x)=£，令g'(x)=l,解得x=l,g(l)=O，设4(1,0),

所以函数g(x)在点x=1处的切点与直线y=x+1平行，

所以点4到直线y=x+1的距离即点(x/nx)到点(m-l,m)的距离的最小值，

因为点4到直线直线y=x+1的距离d=1=，克，

所以/(x)》2,又存在实数近，使得/(Xo)W2成立，

所以存在实数殉，使得f(xo)=2成立，

由图可知，.为过点2且垂直直线y=%+1与直线y=-%+1的交点的横坐标，

由g二:解得久=0,即％o=0,

当且仅当久=X。=0,m-1时，/(x)=2,

所以m的所有可能取值为L

故答案为：1.

整理得/'(X)=[x-(m-l)]2+(Znx-m)2,其几何意义为(x,到点(m-l,m)的距离的平方,

即函数g(x)=上的点与直线y=x+1上的点的距离的平方，在同一坐标系中作出两函数的图

象，利用点到直线间的距离公式可求得了(x)22,与已知“存在实数与，使得f(x°)W2成立"联

立，可得/(&)=2,进一步求得沏，继而求得m的可能取值.

本题考查利用导数研究函数的最值，考查等价转化思想、函数与方程思想及数形结合思想的应用，

考查作图能力与数学运算能力，属于难题.

17.【答案】解:(1)已知等式2b-cosA=c-cosA+a-cosC,

由正弦定理化简得：2sinB-cosA=sinCcosA+sinAcosC,

即2s讥BcosA=sin(4+C)=sinB,

在△ABC中，sinBW0,

,1A

■■cosA=二A=与；

zJ

(2)a=yf~7，人=*

由余弦定理得:

a2=b2+c2-2bccos600=7,

代入b+c=4得(b+c)2—3be=7

be=3.

【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,

根据s讥8不为。求出cos4的值，即可确定出A的度数；

(2)利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c,a以及cosA的值代入求出be的

值.

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.解题的关键是利用这两个定理完成了边角问题的互

化.

18.【答案】解:⑴由(0.004x2+0.022+0.030+0.028+m)x10=1,

解得m=0.012.

(2)由题意知不低于80分的队伍有50x(0.12+0.04)=8支，

不低于90分的队伍有50x0.04=2支.

随机变量X的可能取值为0,1,2,

所以P(X=0)=§=得,P(X=1)=警=£P(X=2)=萼=

所以X的分布列为：

X012

5153

P

142828

••・E(X)=0x卷+1X薨+2x91

【解析】(1)利用直方图中各矩形面积和为1列方程求解即可；

(2)先求出评分不低于80分的队伍数，以及评分不低于90分的队伍数，确定随机变量X的取值，求

出概率，写出分布列，求得期望.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

解：(1)证明：根据题意及平面图形易得BM_LAM,

又且AMC4。=4,

BM_L平面40M,又平面4BCM,

.,•平面ADM1平面力BCM：

(2)分别取AM、4B的中点。、F,连接。F,DO,

则0/7/BM,由(1)知BM_L平面40M,

•••OF_L平面AOM,

又易知ID。1AM,又由(1)知平面力DM1平面ABCM,

。。＜=平面40”,平面4DMn平面4BCM=AM,

•••DOJ"平面4BCM,

建系如图，根据题意可得0(0,0,0),4(1,0,0),5(0,1,0),

B(-l,2,0),M(-l,0,0),D(0,0,l),

又盛=|丽，

0E=^0B+l0D=|(-1,2,0)+1(0,0,1)=

又不？=(1,0,0),

设平面瓦4M的法向量为沆=(%,y,z),

.i沆,OE=——%+^y+—z=0加一,er八

则m_33Z3,取m=(0,1,-1),

m-0^4=%=0

又易知平面AMD的法向量为记=0F=(0,1,0),

设二面角E-4M-D的平面角为仇由图可知。为锐角,

・•・cosO=|cos<m,n>|=晟秋=?，

二二面角E-AM-。的余弦值为C.

2

【解析】(1)根据题意及平面图形易得BM_L力M,又ADIBM,从而可得BM1平面再利用

面面垂直的判定定理即可证明；

(2)建系，将二面角的平面角转化为两半平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式即可求解.

本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法解二面角，向量夹角公式和的应用，

属中档题.

20.【答案】解:(1)焦点F(0,方到圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为名+3=4,则p=2,

故抛物线的方程为：%2=4y,

(2)因为抛物线C的方程为y=对其求导得y'=：x,设点A(xi，yi),B(x2,y2)-P(x0,y0),

直线PA的方程为y-/=：(x-与)，即丫=华一y］，即Xi*-2%-2y=0,

同理可知，直线PB方程为g%-2丫2-2丫=0,由于点P是这两条直线的公共点，则

俨1g-2yl-2y0=0

{x2xQ-2y2-2y()=O'

所以，点4、B的坐标满足方程殉％-2y-2y0=0,所以，直线AB的方程为：-2y-2y0=0,

xox-2y-2yo=O

联立/，可得/-2xx+4yo=0,由韦达定理可得Xi+x-2x,xx=4y,

9=彳o20120

所以，\AB\=J1+（卯,4x^-16y0=J（另+4）（用-4y°）,

|%n-4y|

点P到直线48的距离为d=r-^—0,

J舄+4

所以，SMAB=I\AB\-d=YJ（诏+4）（诏-4y（））•?萼生=|（x^-4y0）^,

J监+4

22

"x^-y0=l-(y0+4)-4yo=-yl-12yo-15=-(y0+6)+21,

由已知可得一5S%W-3,所以当先=一5时，△P4B面积的最大值为gx20,=20仁.

【解析】(1)根据点?(0,会到圆M：/+(y+4)2=1上点的距离的最小值为13=4,可解p,从

而可得保准方程.

(2)利用抛物线方程可得为y=；/,对其求导得y'=Tx，设点yI)，B(x2,y2')>PQo，yo)，

分别表示出直线P4、直线PB的方程，从而可得直线的直线方程，进而利用韦达定理表示出|AB|,

以及点P到直线4B的距离为d,从而可得APaB面积，利用一5Sy°S-3,结合二次函数定义可

解.

本题考查直线与抛物线的综合问题，采用设而不求的思想解决三角形相关问题，属于较难题.

21.【答案】解：(1)函数定义域为(0,+8),根据题意知「(%)=lnx-2ax>0有解,即a<骁有

解，

令g(x)=*则g'(x)=等，

且当0Vx<e时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当％,e时，g'(%)V0,g(x)单调递减，

・•・Q<g(%)max=g(e)=

・・・a£(-8点；

(2)证明：由%1，%2是/(%)的不同的极值点，知%1，*2是f'(x)=0的两根，

[]..(lnx1—2axr=0...(Inx-^=2axi

、(lnx2—2ax2=0'人(lnx2=2ax2

2a=2,

勺一％2

要证4"+lnx2>3,只需证4•2axi+2ax2>3,即2。(4与4-x2)>3,即证也^^(4/4-

xl~x2

%2)>3,

v<%2，

••・只需证InO<孚守=华2，

x4勺+%24」+l

2x2

令t=茅0<t<1,则问题转化为证明火t)=Int-4押<0(0<t<