2014-2023年北京高考真题与模拟试题：数列（解析版）

大数据之十年高考真题(2014-2023)与优质模拟题(北京卷)

专题08数列

真题汇总

1.【2023年北京卷10]已知数列｛斯｝满足即+i=；(an-6尸+6(n=

A.当%=3时,｛加｝为递减数列,且存在常数MS0,使得即>M恒成立

B.当%=5时,｛册｝为递增数列,且存在常数M<6,使得即<M恒成立

C.当的=7时,｛an｝为递减数列,且存在常数M>6,使得an>M恒成立

D.当的=9时,｛^｝为递增数列，且存在常数M>0,使得与<M恒成立

【答案】B

3

法1：因为a“+i=：(an-6)+6,故册+1-6=/an-6尸,

对于A,若%=3,可用数学归纳法证明：即一6^-3即即S3,

证明：当n=l时，«1-6=-3<-3,此时不等关系an43成立；

设当n=k时，&一63-3成立，

则%+1—6=：Sk—6尸g(―54,一q)，故<21+1—6<—3成立，

由数学归纳法可得与<3成立.

32

而册+i-an=；(an-6)-(an-6)=(an-6叱(an—6)—1],

2

-(an—6)•-l=[>0,an—6<0,故a.+i—an<0>故a^+i<an,

故｛Q"为减数列，注意Q〃+i-6<—3<0

3

故Qn+i-6=：-6)=@-6)x：(0n-6)23g(0n-6),结合an+i-6<0,

所以6-an+i泞(6-an),故6一限1之3(?,故。71+146-3(3，

n

若存在常数M40,使得an>M恒成立，则6—3(?T>M，

故与”>0n\故〃<1+'"，故品>M恒成立仅对部分71成立，

故A不成立.

对于B,若4=5,可用数学归纳法证明：-Qn-6Vo即5WQn<6,

证明：当71=1时，-14的-6=—140,此时不等关系5W%1V6成立;

设当几=上时，5<ak<6成立，

则以+1-6=：（以—6尸w（―：，0），故—14Qk+i—6V0成立即

由数学归纳法可得5<ak+1<6成立.

2

而Gn+l-一6>—（0n-6）=（Qn-6）（Qn-6）-1],

2

i（an-6）-1<0,an-6<0,故即+1一a九>0,故时+i>Qn，故Sn｝为增数列，

若M=6,贝心九<6恒成立，故B正确.

对于C,当即=7时，可用数学归纳法证明：0Van—6W1即6Van<7,

证明：当几=1时，0<%-641,此时不等关系成立；

设当九=k时，6<ak<7成立,

3

则以+i-6=i（ak-6）e（0用，故0<ak+1-6<1成立即6<ak+1<7

由数学归纳法可得6<an<7成立.

而即+i-an=（%i-6）[：（an-67-1]<0,故与+1<an，故｛an｝为减数列，

又即+i-6=（册-6）x]（即-6/式"（a”-6）,结合an+i-6>0可得：an+1-6<（«1-6），所以

an+i46+G），

n

若斯+i«6+G）,若存在常数M>6,使得an>M恒成立，

则M—6O恒成立，故n41og；（M-6）,n的个数有限，矛盾，故C错误.

对于D,当的=9时，可用数学归纳法证明：即一623即.„29,

证明：当九=1时，at-6=3>3,此时不等关系成立；

设当几=k时，ak>9成立，

则以+1—6=；（以—6）3>^>3,故以+iN9成立

由数学归纳法可得MN9成立.

而an+i—an=（an—6）[：（an—6A—1]>0,故厮+i>an,故｛an｝为增数列，

2

又斯+1-6=（an-6）xi（an-6）>£（a九一6）,结合Qn—6>0可得：an+1—6>—6）（：）=3

（旷，所以…6+3（旷，

若存在常数M>0,使得时<〃恒成立，则M>6+3(J"T，

故”>6+3(旷\故n<吗(等)+1,这与〃的个数有限矛盾，故D错误.

故选：B.

3

法2：因为an+]—an=；(an—6)+6—an=一1吗+26an—48,

令/'(x)=i%3—|x2+26x—48,则/'(x)=^x2—9x+26,

令尸(x)>0,得0<x<6—等或x>6+竽；

令/(x)<0,得6-当<x<6+学；

所以/Xx)在(—8,6-平)和(6+平,+8)上单调递增，在(6-竽,6+竽)上单调递减，

令/'(x)=0，则;/一1一+26%—48=0,Bpi(x-4)(x-6)(%-8)=0,解得％=4或x=6或x=8,

注意到4<6-2<5，7<6+—<8.

33

所以结合f(%)的单调性可知在(一8,4)和(6,8)上/(%)<0,在(4,6)和(8,+8)上/(%)>0,

对于A,因为an+i=；(an—6尸+6,则。九+i—6=[(an—6尸，

当九=1时，的=3,%-6=—6尸v—3,则a2V3,

假设当n=k时，ak<3,

33

当ri=k+1时，ak+1-6=—6)<：(3—6)<—3,则以+i<3,

综上：an<3,即QnE(—8,4),

因为在(一8,4)上/(%)VO所以an+i〈an,则｛an｝为递减数列，

a

因为an+l—Qn+1=~(n~6)3+6—Qn+1=:磋—+260n—47,

令九(%)=-x3--x2+26x—47(%<3),则“(%)=-x2—9%+26,

424

因为九'(x)开口向上，对称轴为刀=一/=6,

所以h'(x)在(一8,3]上单调递减，故“(X)>h'(3)=：X32-9X3+26>0,

所以h(x)在(一8,3]上单调递增，故九(x)</i(3)=-x33-^x32+26x3-47<0,

42

故即+i—an+1V0,即Qn+iVa九—1，

假设存在常数MW0,使得an>M恒成立，

取m=—[M]+4,其中M—且[M]€Z,

aa

因为Q九+1<an—1,所以02V%-1,。3<2~1，…，Q-[M]+4V-[M]+3~1，

上式相加得，ci-[M]+4V%-(一[M]+3)43+M-3=M,

则Qm=Q[M]+4<M，与an>M恒成立矛盾，故A错误；

对于B,因为的=5,

当九=1时，a[=5V6,。2=：(@1_6)3+6=1X(5—6)3+6<6,

假设当汽=k时，ak<6,

当九=k+l时，因为以<6,所以以一6V0,则(以一6)3<0,

所以以+1=](以-67+6<6,

又当九=1时，a2—5=[(%—6)3+1=：x(5—6)3+1>0,即g>5,

假设当九=k时，ak>5,

当九=k+l时，因为a”25,所以以一6N—1,贝!!(以—67N—1,

所以以+i=](以-6>+6N5,

综上：5<<6,

因为在(4,6)上/(%)>0,所以an+i>Qn，所以｛册｝为递增数列，

此时，取M=6,满足题意，故B正确；

对于C,因为即+i=3(册-6)3+6,则册+1-6=3(即一6)3,

注意到当句=7时，g=((7-6>+6=[+6,a?=(([+6—6)+6=(34-6，a4=JQ)+6-6+

6=(/+6

猜想当nN2时，耿=(；)知"7)+6，

当n=2与n=3时，。2=；+6与(^=(，，+6满足an=+6,

假设当n=k时，ak=(；)*3J)+6，

3

当n=k+1时,所以纵+i=i(ak—6)+6=：(；)式)+6—6+6=)+6，

综上：即=GT，)+6(nN2)，

易知3"_]>0,则0<弓)2(3°<],故册=G)2(31)+6e(6,7)(n22)，

所以ane(6,7],

因为在(6,8)上"x)<0,所以％+1<册,则｛6｝为递减数列,

假设存在常数M>6,使得an>M恒成立，

记价=log21ogi(M-6)+1,取m=[m]+1,其中-1<[m]<m,meN*,

340000

则3m>3m»=210g<M-6)+1,

^i(3m-l)>logi(M-6),所以(y1)<*6,即(/J)+6<M，

所以故an>M不恒成立，故C错误；

对于D,因为%=9,

当n=l时，g—6=-6>=?>3,则r2>9,

假设当九=k时，ak>3,

33

当n=k+l时，ak+1-6=(ak-6)>(9-6)>3,则以+1>9,

综上：an>9,

因为在(8,+8)上f(%)>0,所以即+i>Qn,所以｛Qn｝为递增数列，

a3

因为Qn+i--1=；(n—6)+6-an—l=^a^—|a^+26an—49,

令9(x)——1x2+26%-49(x>9),则g'(x)=^x2-9x+26,

因为“(%)开口向上，对称轴为％=一枭=6,

4

所以g'(%)在[9,+8)上单调递增，故"(X)>g，(9)=|x92-9x9+26>0,

所以g(x)>g(9)=x93-1x92+26x9-49>0,

故斯+i-a”—1>0，即a»i+i>an+1,

假设存在常数M>0,使得a”<M恒成立，

取m=[M]+1,其中M-1<[M]<M,FL[M]GZ,

因为an+i>an+l,所以a2>的+1,。3>。2+1，…，啊+1>啊+1>

上式相加得，a[M]+i>a[+[M]>9+M—1>M,

则斯,=a(M]+1>M,与an<M恒成立矛盾，故D错误.

故选：B.

2.(2022年北京卷06]设｛an｝是公差不为0的无穷等差数列，则“｛a,J为递增数歹『’是"存在正整数N。，当n>No

时，an>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

设等差数列｛斯｝的公差为小则dKO,记[x]为不超过x的最大整数.

若｛oj为单调递增数列，则d>0,

若的20,则当ri22时，仙〉%々。；若％<0，则a”=%+(n—l)d,

由斯=a1+(n-l)d>0可得n>1—取愠=[1-n+1,则当n>/V()时，斯>0,

所以,“｛/｝是递增数列”="存在正整数M，当几>No时,an>07

若存在正整数M),当n>N<)时，厮>0，取左€/且%>%，以>0,

假设d<0,令a。=ak+(n-k)d<0可得n>k-•牛，且k一詈>k,

当n>上一同+1时，an<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛即｝是递增数列.

所以,“｛6｝是递增数歹存在正整数必，当n>N。时，即>0”.

所以,“｛即｝是递增数歹『'是"存在正整数M)，当71>N。时，即>0”的充分必要条件.

故选：C.

3.[2021年北京6]｛即｝和｛%｝是两个等差数列，其中端(15二5)为常值，%=288,as=96,4=192,

则以=()

A.64B.128C.256D.512

【答案】B

由已知条件可得"=含，则生=等=嗤了=64,因此，为=空=粤丝=128.

"1〃5^ooNZ

故选：B.

4.(2021年北京10]数列｛9｝是递增的整数数列,且的>3,%+a2+­•­+an=100,则n的最大值为(

)

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

若要使〃尽可能的大，贝ljar递增幅度要尽可能小，

不妨设数列｛aj是首项为3,公差为1的等差数列，其前“项和为无,

则a.=n+2,S"=节x11=88<100,S12=等x12=102>100,

所以”的最大值为H.

故选：C.

5.【2020年北京卷08】在等差数列｛%｝中,%=-9,a3=-1.记〃=以。？...an(n=1,2,则数列｛&｝

().

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】B

【解析】

由题意可知，等差数列的公差&=智斗=F?=2,

5—15—1

则其通项公式为：an=%+(九一l)d=-9+(n—1)x2=2n—11,

注意到的<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<

且由3<0可知K<0(i>6JeN),

由曾■=ai>l(i>7,iGN)可知数列｛4｝不存在最小项,

•i-l

由于％=-9,a2=—7,a3=—5,a4=-3,as=­1,a6=1>

故数列｛〃｝中的正项只有有限项：72=63,7;=63x15=945.

故数列｛”｝中存在最大项，且最大项为心.

故选：B.

6.【2018年北京文科04】设a,b,c,d是非零实数，则"ad=6c”是"a,b,c,d成等比数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：若a,b,c,d成等比数列，贝屋0=历，

反之数列-1,-1,1,1.满足-1X1=-1X1,

但数列-1,-1,1,1不是等比数列，

即“但儿”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件.

故选：B.

7.【2015年北京理科06］设｛〃”｝是等差数列，下列结论中正确的是()

A.若ai+a2>0,则°2+。3>0

B.若a右a3V0,则ai+a2<0

C.若OVmVa2,则a2>y/a1a3

D.若ai〈O,则（«2-ai）（Q2-Q3）>0

【答案】解：若m+a2>0,则2山+4>0,a2+a3=2ai+3d>2d,d>0时，结论成立，即A不正确；

若m+a3〈0,则m+a2=2m+dV0,〃2+a3=2m+3dV2d,dVOB寸，结论成立，即3不正确；

｛〃〃｝是等差数列，0VmV〃2,2a2=m+〃3>2J%的,^a2>y]axa3,即C正确；

若mVO,则（〃2-〃3）=-7wo,即。不正确.

故选：C.

8.【2014年北京理科05】设伍〃｝是公比为夕的等比数列，则7>1”是“｛.｝为递增数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：等比数列-1,-2,-4,…，满足公比夕=2>1,但｛斯）不是递增数列，充分性不成立.

若如=-I•弓）nT为递增数列，但q=1>1不成立，即必要性不成立，

故“q>l”是“｛〃"）为递增数列”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

9.【2023年北京卷14】我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于破码的、用来测

量物体质量的“环权已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛a",该数列的前3

项成等差数列，后7项成等比数列，且的=1,。5=12,€19=192,则。7=;数列｛即｝所有项的

和为.

【答案】48384

方法一：设前3项的公差为d,后7项公比为q>0,

则q4=£=詈=16,且q>0,可得q=2,

则£13=1+24=^,即l+2d=3,可得d=l,

空1：可得。3=3,。7=。3勺4=48,

空2：%+。2+…+。9=1+2+3+3x2+…4-3x26=34-空包=384

1—2

方法二：空1：因为｛an｝，3式几W7为等比数列，则好二曲的二12x192=482,

且册>0,所以即=48；

又因为磅=a3a7,则。3=~=3；

空2：设后7项公比为q>0,则q2=^J=4,解得q=2,

可得%+g+。3=，。1；生)=6,。3+@4+05+06+。7+。8+。9=='曹?=381,所以％+Q2+

…+Q9=6+381—a3=384.

故答案为：48；384.

10.【2022年北京卷15】己知数列Sn｝各项均为正数，其前〃项和％满足an-Sn=95=1,2,…).给出下列

四个结论：

①｛即｝的第2项小于3：②｛即｝为等比数列：

③｛a“｝为递减数列；④｛&J中存在小于击的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

由题意可知，VnGN*,an>0,

当n=1时，al=9,可得%=3：

当nN2时，由Sn=•可得及_1=六，两式作差可得与=《"一六，

anan-lanan-i

QQQ

所以，---=----Q?i，则----@2=3,整理可得珍+3g—9=0,

an-iana2

因为。2>0,解得。2=宇<3,①对；

假设数列｛斯｝为等比数列，设其公比为q,则谖=%。3,即⑥2=急，

所以，S^=StS3,可得於(l+q)2=a式l+q+q2),解得q=0,不合乎题意，

故数列｛斯｝不是等比数列，②错；

当2时，an=《一"=%3>0,可得0n<a”_i，所以，数列｛斯｝为递减数列，③对；

anan—lanan—i

假设对任意的n6N*,即2击，则Sioooo。>100000x+=1000,

qq1

所以，的。。。。。=1丁士高〈去，与假设矛盾，假设不成立，④对.

,i100000，UUUJ.UU

故答案为：①③④.

I.【2019年北京理科■】设等差数列S”｝的前〃项和为等,若〃2=-3,55=-10,则05=,S"的最

小值为.

【答案】解：设等差数列｛〃”｝的前n项和为Sn,ai=-3.S5=-10>

(a1+d=—3

(5%H—2-d=-10

解得m=-4,d=\f

/.a5=a\+4d=-4+4X1=0,

0,n(n-l),.,n(n-l)19、281

Sn=TIQ]H----2--d=-4/id----2—=)z(〃-2—g-»

，〃=4或〃=5时，品取最小值为S4=55=-10.

故答案为：0,-10.

12.【2018年北京理科09】设｛〃〃｝是等差数列，且m=3,〃2+〃5=36,则｛板｝的通项公式为

【答案】解：•「｛〃〃｝是等差数列，且〃1=3,“2+45=36,

・心1=3

+d+Q]+4d=361

解得m=3,d=6,

/.an=a]+(H-1)d=3+(n-1)X6=6〃-3.

・•・｛“〃｝的通项公式为an=6n-3.

故答案为：4/1=6〃-3.

13.【2017年北京理科10】若等差数列｛“”｝和等比数列｛方｝满足/=加=-1,44=84=8,则襄=

【答案】解：等差数列但"｝和等比数列｛加｝满足。1="=-1,次=%=8,

设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.

可得：8=-I+3J,d=3,及=2；

8=-/,解得4=-2,，历=2.

可得詈=1.

故答案为：1.

14.【2016年北京理科12]已知｛〃〃｝为等差数列，S〃为其前〃项和.若。1=6,。3+。5=0,贝US6=

【答案】解：•・•｛%｝为等差数列,S〃为其前〃项和.

41=6,43+45=0，

a1+2d+a1+4d=0»

，12+6d=0,

解得d--2,

.,.56=6%+竽d=36-30=6.

故答案为：6.

15.【2014年北京理科12】若等差数列｛〃〃｝满足。7+〃8+〃9>0,s+moVO,则当〃=时，｛4〃｝的前〃

项和最大.

【答案】解：由等差数列的性质可得m+〃8+〃9=3〃8>0,

AH8>0»又47+410=48+49V0，*,•<29<0,

・••等差数列｛斯｝的前8项为正数，从第9项开始为负数，

・••等差数列｛所｝的前8项和最大,

故答案为：8.

16.【2023年北京卷21】已知数列｛QJ也｝的项数均为双2),_San,bn€｛1,2,…,何,｛即｝,｛%｝的前〃

项和分别为dn,并规定4o=BQ=0.对于kG｛0,1,2,…，?n｝,定义底=max"\B[<Akfie｛0,1,2,…，机｝｝,

其中，maxM表示数集M中最大的数.

(1)右=2,Q，2=1,。3=3,瓦=1,匕？=3,4=3,求丁1，丁2,丁3的值；

(2)若％之瓦，且4U+1+4TJ=12…,m-L，求

(3)证明：存在p,q,sjE｛0,1,2,…,m｝,满足p>q,s>t,使得Ap+&=/q+风.

【答案】(1)-0=0,r1=1,r2=1,r3=2

(2)rn=n,neN

(3)证明见详解

(1)由题意可知：Ao=0,A1=2,A2=3,A3=6,BQ=0,B1=1,B2=4,%=7,

当k=0时,则Bo=4)=0,a>4),i=1,2,3,故小=0；

当々=1时，则8。<A1,B1<AlfBi>Alfi=2,3,故=1；

当k=2时，则用<A2fi=0,1,%>A2fB3>故七=1；

当A=3时，则用443』=0」2,%>43，故心=2;

r=

综上所述：r0=0,[=1,「2=1，32.

(2)由题意可知：rn<m,且％€N,

因为Qn>l,bn>1,且的>瓦,则4Tl>>Bo对任意nGN*恒成立，

所以几=0,rt>lf

又因为2n式/_1+/+1，则勺+1-/工。一/_1，即加一---22…？丁1一丁。之1，

可得无+i-n>1,

反证：假设满足％+i>1的最小正整数为0</<m-1,

当iN/时，则〃+1-n22；当》工)一1时，贝氏+1-9=1,

则加=(加一--1)+(加-1一，m-2)+…+8-丁0)+r。22(m_j)+j=2m-j,

又因为0<j<m-1,则加>2m-j>2m-(m-1)=m+1>m,

假设不成立，故rn+i—7=l,

即数列{灰}是以首项为1,公差为1的等差数列，所以有=0+1X71=71,71EN.

(3)因为Qn,bn均为正整数，则{(},{%}均为递增数列，

(i)若4m=Bm,则可取t=q=0,满足p>q,s>C,使得/p+凡=/q+Bs；

(ii)若4n<Bm,则不<m,

构建%=B,n-4vlM几三小，由题意可得：Sn<0,且％为整数，

反证，假设存在正整数K,使得SK4—m,

B

则8次-AK<-m,Brj<+1-AK>0,可得与K+I=B「K+I-rK-BK+T-&)一(%■一#K)>小，

这与BK+IW口2…,M}相矛盾，故对任意1W?iWWN,均有SnN1-m.

①若存在正整数N,使得SN=B「N_AN=0,即AN=B3，

可取t=q=0,p=N,s=rN,

满足p>q,s>t,使得4p+凡=Aq+Bs；

②若不存在正整数N,使得SN=0,

因为Sn6{-1,-2,…,一(m—1)},且1<n<uif

所以必存在1WXVYWM,使得Sx=Sy,

即为x-Ax=Bjy—Ayf可得Ay+Brx=A、+Bry,

可取p=Y,s=rY,q=X,t=rx,

满足p>q,s>t,使得4P+a=Aq+Bs；

(iii)若Am>Bmf

定义&=max{i\At<BkfiE{0,1,2,…,m}},则R*<m,

构建立=4即一Bn,1工72WM,由题意可得：Sn<0,且现为整数，

反证，假设存在正整数K,14K47H,使得SK4—M,

m

则"RK~—~»^RK+i—BK>0,可得Q/?K+I=4K+I—”RK=(4RK+I—g)—-RK—即)>

这与QRK+IW口2…,6}相矛盾，故对任意14九4m-1,几£N,均有SnNl-m.

①若存在正整数N,使得SN=4加一BN=0,即4即=8.

可取q=t=0,s=N,p=RN，

即满足p>q,s>3使得&+=Aq+Bs；

②若不存在正整数N,使得SN=0,

因为S九6{—1,-2,…,一(m—1)},且1<n<m,

所以必存在1WX<YWzn,使得Sx=Sy,

即"以一Bx=月均一By，可得4/?y+Bx=ARx+Byi

可取p=RY,t=X,q=Rx,s=Y,

满足p>q,s>t,使得力p+a=/q+Bs.

综上所述：存在0<q<p<m,0<t<s<m使得4p+为=Aq+Bs.

17.【2022年北京卷21】已知Q:%,心，…，以为有穷整数数列.给定正整数凡若对任意的nW{12…，m},

在。中存在即。［+11+2,…S+/0Z0)，使得田+q+1+/+2+…+见+j=小则称。为血一连续可表数列.

(1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

(2)若Q…，以为8-连续可表数列,求证：女的最小值为4；

(3)若Q4,a2，…,以为20-连续可表数列,且如+。2+…+即V20,求证：k>7.

【答案】(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.

(2)证明见解析.

(3)证明见解析.

【解析】

(l)a2=1»%=2,@1+。2=3,a3=4,a2+a3=5f所以Q是5―连续可表数列；易知，不存在ij使得

a+ai+1+…+ai+j=6,所以Q不是6—连续可表数列.

(2)若kW3,设为Q:Q,瓦c,则至多a+瓦b+c,a+b+c,a,b,c,6个数字，没有8个，矛盾；

Q

当"=4时，数歹UQ:1,4,1,2,满足a1=1,a4=2,Q3+。4=3,a2=4,at+a2=5,a1+2+Q3=6,a24-

Q

a34-a4=7,a1+2+Q3+。4=8,fcmjn=4.

(3)Q:ai,a2,-,ak，若i=j最多有々种，若i巧,最多有优种，所以最多有k+《=竺罗种，

若kS5,则…,以至多可表=15个数，矛盾，

从而若k<7,则k=6,a,b,c,d,e,f至多可表笔9=21个数，

而a+b+c+d+e+/<20,所以其中有负的，从而a,b,c,d,e/可表b20及那个负数(恰21个)，这表

明a〜/中仅一个负的，没有0,且这个负的在a〜/中绝时值最小，同时a〜/中没有两数相同，设那个负数为-加

(m>1),

则所有数之和N?n+l+?n+2+・・・+m+5—m=4m+15,4m+15<19=>m=1,

・・・{见仇<匕%门={-1,23456},再考虑排序,排序中不能有和相同,否则不足20个,

•・,1=一1+2(仅一种方式)，

-1与2相邻，

若一1不在两端，则吆，-1,2____形式，

若x=6,则5=6+（—1）（有2种结果相同，方式矛盾），

:。丰6,同理5,4,3,故一1在一端，不妨为"二1,2,4旦,C，。"形式，

若4=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），4=4同理不行，

力=5,则6=-1+2+5（有2种结果相同，矛盾），从而4=6,

由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、

故只能一126,3,5,4,①或一1,2,6,4,5,3,②

这2种情形，

对①：9=6+3=5+4,矛盾，

对②：8=24-6=5+3,也矛盾，综上k¥6

Ak>7.

18.[2021年北京21】定义Rp数列{an}：对实数p,满足：①的+pN0,&+P=。；②Vn6N*,a4n-i<a4n；

③Qm+n6{Qm+a〃+P，am+an+P+l}，m,nEN*.

（1）对于前4项2,-2,0,1的数列，可以是/?2数列吗？说明理由；

（2）若{M}是3数列，求劭的值；

（3）是否存在p,使得存在时数列{an},对V几NS]。？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说

明理由.

【答案】（1）不可以是%数列；理由见解析；（2）a5=l；（3）存在；p=2.

（1）由性质③结合题意可知0=Q3E{%+。2+2,QI+。2+2+1}={2,3},

矛盾，故前4项2,-2,0,1的数列，不可能是&数列.

（2）性质①由>0,a2=

由性质③Qm+2e{am,am+1},因此@3=%或。3=%+1，。4=0或。4=1，

若。4=。，由性质②可知。3<。4，即的V0或+1<0，矛盾；

若=1,=Ql+1，由。3<有+1V1，矛盾.

因此只能是=1,。3=

又因为。4=%+%或。4=+。3+1，所以@1=；或。1=0.

a

若的=『则。2=i+i€{Qi+4+0,%+%+0+1}={2alt2/+1}={1,2},

不满足。2=0，舍去•

当Q]=0,则｛册｝前四项为：o,0,0,1,

下面用纳法证明Cl4n+i=兀(i=1，2,3),04九+4=几+1(几WN):

当九=0时，经验证命题成立，假设当〃W/c(kZ0)时命题成立，

当九=Z+1时：

若i=1,则。4(上+1)+1=a4k+5=aj+(4k+S-j)»利用性质③：

｛%+Q4k+5rl/EN*,lW/W4k+4｝=｛k,k+l｝,此时可得：a4k+5=^+1;

否则，若a4k+5=k，取k=0可得:a5=0,

而由性质②可得：的=Qi+。4€口，2｝,与⑥=。矛盾.

同理可得：

｛%•+a4/c+6-jIJ\1<7<4k+5]=｛k,k4-1｝,有@然+6=k+1；

｛a,+Q狄+8_jIj£N*,2$j工4〃+6｝=｛/c+1,k+2｝,有。找+8=k+2；

｛%+a及+7-jIj£N,1WJ14k+6｝=｛k+1｝,又因为Q4k+7<Q4k+8，有a4k+7=k+1.

即当?i=k+1时命题成立，证毕.

综上可得：的=0,a5=04x1+1=1-

(3)令%=c1rl+p,由性质③可知：

Vm^neN\bm+n=am+n4-pE｛am4-p+an+p,am4-p+an+p+1]=｛bm4-&n/+bn+1),

b

由于瓦=%+pN0,%=。2+P=°，4n-i=«4n-i+p<a4n4-p=Z?4n,

因此数列｛为｝为Ro数列.

由(2)可知:

若V?i6Nsn+i=n-p(i=1,2,3),a4n+4=n+1-p；

=

Su—Si。=a11=«4X2+32—p>0»S9—S10=—@io=—<^4x2+2=—(2—p)N。，

因此p=2,此时的,。2,・•・，％()工0，QjN0。211),满足题意.

19.【2020年北京卷21】已知｛an｝是无穷数列.给出两个性质：

①对于｛%｝中任意两项见吗a>j),在｛an｝中都存在一项而，使亲=am；

②对于｛斯｝中任意项即⑺>3),在｛即｝中都存在两项曲,右(k>。.使得斯=磁.

ai

(I)若an=n(n=1,2,…)，判断数列｛an｝是否满足性质①，说明理由；

(H)若an=2n-Xn=1,2,-),判断数列｛&J是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(III)若｛即｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛斯｝为等比数列.

【答案】(I)详见解析；(II)详解解析；(III)证明详见解析.

【解析】

（I）•・•。2=2,。3=3,1=；Cz二｛即｝不具有性质①；

022

（II）vvijeN*,i>j*=2（2I）T,2i-jeN*d=a...｛〃｝具有性质①;

aiaJ

n-1

VVnG/V*,n>3,=n-1J=n-2,==2（2J）T=2=an,｛斯｝具有性质②；

al

（HI）【解法一】

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

显然anH0（九名N*）,假设数列中存在负项，设叫）=max｛7i[%<0｝,

第一种情况：若No=1,即劭V0V的Va2V。3V…，

由①可知：存在恤，满足*=詈<0,存在租2，满足。瓶2=1<3

由M=1可知言=R，从而42=。3,与数列的单调性矛盾，假设不成立.

第二种情况：若No22,由①知存在实数?n,满足。皿=吼<0，由No的定义可知：m<N0,

al

另一方面，£^=^>^=0'。，由数列的单调性可知：m>N0,

这与No的定义矛盾，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

其次，证明d3=f：

利用性质②：取n=3,此时。3=或（卜>。，

al

由数列的单调性可知%>az>0,

而=以・誉>为,故k<3,

此时必有k=2」=1,即％=皆，

最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列｛an｝的前k（k>3）项成等比数列,不妨设%=的qST（l<s<fc）,

其中的>0,q>1,（由<0,0<q<1的情况类似）

由①可得：存在整数小，满足％n=旦-=。1中>以，且%„=之以+1（*）

ak-i

由②得：存在s>3满足：ak+1=^=as-^>as,由数列的单调性可知：t<sWk+1,

as-1

由Qs=iQ(l工sWk)可得:ak+1=—=aiq2sT-i>Qk=(**)

at

由(**)和(*)式可得:%qk2aiq2s-t-i>aiqk-i,

结合数列的单调性有：k>2s—t—l>k—1,

注意到s,t,k均为整数，故k=2s-t—1,

代入(**)式，从而ctk+i=a/.

总上可得，数列｛6｝的通项公式为：an=aiqn-i.

即数列｛aj为等比数列.

【解法二】

假设数列中的项数均为正数：

首先利用性质②：取般=3,此时。3=—(k>1)>

ai

由数列的单调性可知%>a；>0,

而。3=以谭〉a"，故k<3,

此时必有k=2,1=1,即a?=幺，

al

即的,@2,。3成等比数列，不妨设。2==@iq2(q>1),

然后利用性质①：取i=3J=2,则am=^=^=aiq3,

3

即数列中必然存在一项的值为由q3,下面我们来证明(14=aiq,

否则，由数列的单调性可知。4<。送3,

在性质②中，取n=4,则=幺=以”>纵，从而k<4,

«%KgK

与前面类似的可知则存在伏,2｝c｛l,2,3｝(k>与满足a’=磁,

al

3

若k=3,1=2,则：a4=^=axq,与假设矛盾；

若k=3,1=1,则：a4=^=aiQ4>aiQ3'与假设矛盾；

若k=2,1=1,则：a4=^=aiQ2=a3)与数列的单调性矛盾；

即不存在满足题意的正整数kJ,可见a4<%q3不成立，从而。4=。伍3,

45

同理可得：as=a1q,a6=a1q,-,从而数列｛斯｝为等比数列，

同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.

由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.

从而题中的结论得证，数列9"为等比数列.

20.【2019年北京文科16］设｛如｝是等差数列,0=-10,且奴+10,“3+8,必+6成等比数列.

(I)求｛“”｝的通项公式；

(II)记｛〃”｝的前“项和为S”求S”的最小值.

【答案】解：(I)是等差数列，a\--10,且42+10,03+8,44+6成等比数列.

(43+8)2=(a2+10)(44+6),

二(-2+2")2=d(-4+3"),

解得d=2,

(n-1)d-—10+2鹿-2=2〃-12.

(II)由m=70,d=2,得:

o_1八।n(n—1)2「_/11、2121

Sn--1OMH-----2—x2=n~11n—(n—)—^―>

・・・〃=5或〃=6时，S取最小值-30.

21.【2019年北京理科20］已知数列｛“八｝,从中选取第zi项、第，2项、…、第讪项<…<im),若

a/ai2<-<aim，则称新数列a«a»?,…，a」为做”的长度为根的递增子列・规定：数列

｛加｝的任意一项都是｛““｝的长度为1的递增子列.

(I)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

(II)已知数列｛“”｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为〃皿。，长度为4的递增子列的末项的最小值

为ano-若P<q，求证：am<3<a加；

(III)设无穷数列｛a“｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若｛而｝的长度为s的递增子列末项的最小

值为2s-l,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有23-1个(s=l,2,•••),求数列｛“”｝的通项公式.

【答案】解：(/)1,3,5,6.

(〃)证明：考虑长度为g的递增子列的前夕项可以组成长度为p的一个递增子列，

：.ano>该数列的第p项2am(j,

a

,,m0〈。耳。♦

(///)解：考虑2s-1与2s这一组数在数列中的位置.

若｛&,｝中有2s,在2s在第-1之后，则必然在长度为s+1,且末项为2s的递增子列，

这与长度为s