2019-2023全国各高考数学真题按分项汇编 函数概念与基本初等函数含详解

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

冷题02备破椭含鸟及洋初等备教

哥瑞•存瓶力析

函数概念与基本初等函数常考题型一般为选择题，中等难度，属于送分题。一般的出题类型为选择，填空。对于函

数周期与奇偶性以及综合应用一般难度比较大，技巧比较强。

❶函数的概念及单调性

函数基本概念与基本

-O-

性质❷函数周期性与奇偶性应用

高存真魅精折

考点01函数概念与单调性

1.（2023•全国•统考高考真题）设函数/（无）=2乂『）在区间（0,1）上单调递减，则〃的取值范围是（）

A.（-℃,—2]B.[―2,0）

C.（0,2]D.[2,网

2.（2021•全国•统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.>=卜由尤|+

z|sinx|

4

C.y=2x+22~xD.y=lnx+——

Inx

3.（2021・全国•高考真题）下列函数中是增函数的为（）

A.f[x）--xB./（尤）=,）C.f（x）-x2D.f（x）=取

4.（2020・海南•高考真题）已知函数/。）=炮（炉-4》-5）在3内）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（2,-HX））B.[2,+oo）C.（5,+oo）D.[5,+oo）

5.（2020・全国•统考高考真题）设函数/（无）=尤3-3，则〃尤）（）

X

A.是奇函数，且在。+8）单调递增B.是奇函数，且在。+8）单调递减

C.是偶函数，且在。+8）单调递增D.是偶函数，且在。+8）单调递减

考点02函数周期性与奇偶性应用

1.（2023•全国•统考高考真题）若〃x）=（x+a）ln2^为偶函数，贝/=（）.

A.-1B.0C.D.1

2.（2020•全国•统考高考真题）设函数/（x）=ln|2尤+1|-ln|2x-l|,则加）（）

A.是偶函数，且在+8）单调递增B.是奇函数，且在（-；,；）单调递减

C.是偶函数，且在（—,-；）单调递增D.是奇函数，且在（f,-｝单调递减

3.（2019•全国•高考真题）设〃尤）是定义域为R的偶函数，且在（。,+⑹单调递减，则

4.（2023•全国•统考高考真题）已知/（尤）=二二是偶函数，则。=（）

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2022・全国•统考高考真题）已知函数/（x）,g。）的定义域均为R,且/（x）+g（2-x）=5,g（x）-/（x-4）=7.若

22

y=g（元）的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,则X"左）=（）

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

22

6.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/⑴的定义域为R,>/U+y)+/(x-j)=/(%)/(y),/(I)=1,则(幻=

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

1—丫

7.（2021・全国•统考高考真题）设函数/（%）=；一，则下列函数中为奇函数的是（）

1+x

A.f（x—1）—1B./（x—1）+1C.尤+1）—1D.犬+1）+1

8.（2021・全国•高考真题）设“X）是定义域为R的奇函数，且〃l+x）=〃f）.若则/

515

A.——B.C.—D.

3333

9.（2020•山东・统考高考真题）若定义在R的奇函数/（x）在（-汽。）单调递减，且/（2）=0,则满足对'（x-1）20的x的取

值范围是（）

A.[-UI[3收)B.[-3,-1|[0,1]

C.[-l,0]u[1,+«)D.[-l,0]u[l,3]

二、填空题

10.（2023•全国•统考高考真题）若/3=（了-1）2+办+5出，+3为偶函数，则。=

11.（2021・全国•统考高考真题）已知函数〃同=丁（口.2，-27）是偶函数，贝1］。=.

考点03函数图像应用

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

2.（2022•全国•统考高考真题）函数y=（3，-3-1cosx在区间-曰4的图象大致为（）

TT

3.(2020•全国•统考高考真题)设函数〃x)=cos(s+2)在Hr,兀］的图像大致如下图，则/(x)的最小正周期为()

6

4.(2019•全国•高考真题)函数;(力=smx+x在［_兀,用的图像大致为

cosx+x

考点04函数性质综合应用

一、单选题

22

1.(2022•全国•统考高考真题)已知函数Ax)的定义域为R,Mf(x+y)+/(x-y)=/(%)/(j),/(I)=1,则£/(幻=

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

2.(2022•全国•统考高考真题)2知函数的定义域均为R,且/(x)+g(2—x)=5,g(%)—/(%—4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线％=2对称，g(2)=4,则£/(%)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

3.(2021•全国•统考高考真题)设a#0,若x=a为函数”x)=a(x-a)2(x-6)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

4.(2021・全国•高考真题)设是定义域为R的奇函数，且〃l+x)=〃r).若则卜()

5115

A.B.C.D.

3333

5.(2021•全国•统考高考真题)设函数/(%)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(X+2)为偶函数，当无«1,2］时,

9

f(x)=ax2+b.若7(0)+/(3)=6,则/

9375

A.B.C.一D.-

424

6.(2021•全国•统考高考真题)已知函数“力的定义域为R,〃x+2)为偶函数，f(2x+l)为奇函数，贝I()

A.fI0B.〃-1)=0C./(2)=0D.44)=0

7.(2020•山东•统考高考真题)若定义在R的奇函数/(x)在(f,0)单调递减，且/(2)=0,则满足W(x-l)N0的x的取

值范围是()

A.[-U][3,笆)B.[-3,-1][0,1]

C.[-l,0]u[1,+(»)D.[-l,0]u[l,3]

8.(2019•全国•高考真题)设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+1)=2/。)，且当xe(0,l］时，/⑴=宜%-1).若对任

Q

意X£(-00,诩，者陌/(%)之-§,则根的取值范围是

97

A.—00,—B.—co—

43

58

C.—00,—D.—00—

23

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

冷题02备破椭含鸟及洋初等备教

哥瑞•存瓶力析

函数概念与基本初等函数常考题型一般为选择题，中等难度，属于送分题。一般的出题类型为选择，填空。对于函

数周期与奇偶性以及综合应用一般难度比较大，技巧比较强。

❶函数的概念及单调性

函数基本概念与基本

-O-

性质❷函数周期性与奇偶性应用

易存真魅精行

考点01函数概念与单调性

1.（2023•全国•统考高考真题）设函数〃力=2'"。）在区间（0,1）上单调递减，贝匹的取值范围是（）

A.（-oo,-2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+00）

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2,在R上单调递增，而函数/（切=2'（…）在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数y=x（x-a）=（尤-a2-,在区间（0,1）上单调递减，因此■|21,解得。22,

所以。的取值范围是[2,+8）.

故选：D

2.（2021・全国•统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

°I.I4

A.y=x2+2x+4B.y=sinx+~।

zr|sinx|

4

C.y=2X+22~XD.y=lnx+-----

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式〃一正二定三相等〃，即可得出民。不符

合题意，C符合题意.

22

【详解】对于A,y=x+2x+4=(x+l)+3>3,当且仅当元=-1时取等号，所以其最小值为3,A不符合题意;

对于B,因为0<binx|wl,y=\smx\+-^->244=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到，所以其最小值

SillA

不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2工>0,y=2'+22T=2'+上22/=4,当且仅当2工=2,即x=l时取等号，所

以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y-lnx+-^—,函数定义域为(0,1),而InxeR且InxH。，如当lnx=-l,y=-5,D不符合题意.

In尤

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等"的意义，再结合有关函数的性质即可

解出.

3.(2021•全国•高考真题)下列函数中是增函数的为()

A.f[x)=-xB.=C./(x)=x2D.f(x)=应

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,〃尤)=-*为7?上的减函数，不合题意，舍.

对于B,4)=(|]为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,““=》2在(_8,0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,/(%)=私为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

4.(2020•海南•高考真题)已知函数/(x)=lg(x2-4x-5)在3m)上单调递增，则。的取值范围是()

A.(2,-KO)B.[2,+oo)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

【答案】D

【分析】首先求出/'(X)的定义域，然后求出/。)=lg(V-4x-5)的单调递增区间即可.

【详解】由》2-4彳-5>0得x>5或x<-l

所以〃x)的定义域为(-8,-1)。(5,—)

因为>=-4%-5在(5,+s)上单调递增

所以=lg(x2-4x-5)在(5,+8)上单调递增

所以。25

故选：D

【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

5.(2020•全国•统考高考真题)设函数/(无户式--^则人力()

A.是奇函数，且在(0,+为单调递增B.是奇函数，且在。+中单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在。+8)单调递减

【答案】A

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{小20},利用定义可得出函数为奇函数,

再根据函数的单调性法则，即可解出.

【详解】因为函数/3=三一3定义域为{x|xN0},其关于原点对称，而〃-力=-〃力，

所以函数为奇函数.

又因为函数y=V在(Q+8)上单调递增，在(―②。)上单调递增，

而、=了=<3在(—gQ)上单调递减，在(0,+0c,)上单调递减，

所以函数〃司=三-g在(Q+8)上单调递增，在(—8,0)上单调递增.

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题.

考点02函数周期性与奇偶性应用

1.(2023•全国•统考高考真题)若〃x)=(x+a)ln\y为偶函数，贝心=().

A.-1B.0C.；D.1

【答案】B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出。值，再检验即可.

【详解】因为/(无)为偶函数，贝I/(I)=/(-I)，(1+a)In1=(-1+a)In3,解得。=0,

当〃=0时，f(x)=xln^X,(2x-l)(2x+l)>0,解得了>,或x<-L

2%+122

则其定义域为或关于原点对称.

〃T)=(T)ln|^^=(-x)ln碧==如||^=仆),

ZI-Xj~r1ZX—1yZA।1/ZX+1

故此时f(x)为偶函数.

故选：B.

2.(2020・全国•统考高考真题)设函数f(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,如於)()

A.是偶函数，且在(g,+8)单调递增B.是奇函数，且在(-；,；)单调递减

C.是偶函数，且在(F,-；)单调递增D.是奇函数，且在(->,_；)单调递减

【答案】D

【分析】根据奇偶性的定义可判断出/（x）为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出

了（力单调递增，排除B；当xe'co,-；）时，利用复合函数单调性可判断出/（£）单调递减，从而得到结果.

【详解】由/（"=ln|2x+1-ln|2xT得"X）定义域为卜|xw±T，关于坐标原点对称，

X/(-^)=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2x+l|=-/(%),

\"%）为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，/(J；)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

Qy=ln(2x+1)在上单调递增，y=ln(l—2x)在卜;鼻上单调递减,

\中)在上单调递增，排除B；

当xejo,一1］时，/(x)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=ln|^l=ln|/l+-^—L

12JZx-1yZx—17

4=1+-----在一心上单调递减,“〃）=ln〃在定义域内单调递增,

2x-lI

根据复合函数单调性可知：f（力在、8,上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据/（-*）

与/（X）的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数"同

增异减，，性得到结论.

3.（2019•全国•高考真题）设/（无）是定义域为R的偶函数，且在（0,+8）单调递减，则

【答案】C

(2\

【解析】由己知函数为偶函数，把了,f2一3,转化为同一个单调区间上，再比较大小.

7

【详解】/（X）是R的偶函数,

_2_3_23

-3

log34>log33=1,1=2°>23>2^,.-.log34>2>2”，

又〃尤)在(0,+8)单调递减，

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值.

4.(2023・全国•统考高考真题)已知/(无)=二二是偶函数，则。=()

e以-1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为/(x)=三为偶函数，则_“T)=上_(一对尸=一屋打=0,

e-]e奴—le蹂—1e⑪一1

又因为X不恒为0,可得e"-鹿山=0，即e-'=e(f

则x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故选：D.

5.(2022•全国•统考高考真题)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,_^f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若

22

y=g(尤)的图像关于直线X=2对称，g⑵=4,则2/优)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+/(x-2)=-2,从而得到了(3)+〃5)++/(21)=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=-10,然后根据条件得到〃2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得到“1)的值即可求解.

【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)-f(%-4)=7,所以g(尤+2)-/(尤一2)=7,即g(x+2)=7+〃x-2),

因为/(尤)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得/(%)+[7+/(x-2)]=5,即/(x)+/(x-2)=-2,

所以〃3)+〃5)++/(21)=(-2)x5=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=(-2)x5=-10.

因为/(尤)+g(2-x)=5,所以/(0)+g⑵=5,BP/(O)=l,所以〃2)=-2-〃0)=-3.

因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(尤+4)-/(元)=7,又因为/(尤)+g(2-x)=5,

联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g⑶=6

因为/(尤)+8(尤+2)=5,所以〃l)=5—g(3)=-L.

22

所以17(幻=〃1)+〃2)+[〃3)+〃5)++/(21)]+[/(4)+/(6)++/(22)]=-1-3-10-10=-24.

k=l

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需

的一些数值或关系式从而解题.

6.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(元)的定义域为R,1./(X+y)+/(X-y)=/(%)/(J),/(I)=1,贝UZ/(灯=

k=\

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(1),〃2),"(6)的值,

即可解出.

【详解】［方法一］:赋值加性质

因为〃x+y)+〃x_y)=〃x)〃y),令尤=l,y=0可得，2/(1)=/(1)/(0),所以〃0)=2,令尤=0可得，

〃，)+/㈠)=2〃y),即〃y)=〃—y),所以函数/x)为偶函数，令y=l得，〃x+l)+f(xT=/(x)〃l)=〃x),

即有〃龙+2)+〃x)=〃x+l),从而可知〃x+2)=—/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)"(x-4),即

/(%)=/(%+6),所以函数的一个周期为6.因为“2)"⑴—〃0)=1-2=-1,

〃3)=〃2)—〃1)=—1-1=一2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的〃1)+/(2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以£＞优)=/⑴+〃2)+〃3)+〃4)=1-1-2-1=-3.故选：A.

k=l

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由〃x+y)+〃x-y)=〃x)〃y),联想到余弦函数和差化积公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可设〃x)=acostyx,则由方法一中〃0)=2,/(1)=1知0=2,加050=1,解得

COSa)--,取0=工，

TT

所以/(x)=2cos§x,则

71%)八7171

/(x+y)+/(x-y)=2cos—x+—y+2cos—x------y4cosy尤cosyy=/(x)/(.y),所以〃x)=2cosy尤符合条

33)33

T—£

件，因此/(x)的周期工，/(o)=2,/(l)=l,且〃2)=-1,〃3)=-2"(4)=-1,〃5)=12⑹=2,所以

3

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以X/■㈤=/⑴+〃2)+〃3)+〃4)=1-1-2-：1=-3.故选：A.

k=l

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了,

是该题的最优解.

1—Y

7.(2021•全国•统考高考真题)设函数/(%)=；一，则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A.f(x—1)—1B.f(x—1)+1C.无+1)—1D.f(x+l)+l

【答案】B

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得/(犬)=；e=-1+;—,

1+x1+x

对于A,/(%—1)—1=——2不是奇函数；

x

2

对于B,/(%-1)+1=(是奇函数；

对于C,/(x+l)-l=^-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

?

对于D,/(x+l)+l=-定义域不关于原点对称，不是奇函数.

x+2

故选：B

8.(2021・全国•高考真题)设/(x)是定义域为R的奇函数，且〃l+x)=〃-x).若则/［目=()

【答案】C

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得了］1］的值.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本

题的关键.

9.(2020•山东•统考高考真题)若定义在R的奇函数取在(fo,0)单调递减，且/(2)=0,则满足4(xT)N0的x的取

值范围是()

A.[-U][3,+8)B.[-3,-1][0,1]

C.[-l,0]u[1,+<»)D.[-l,0]u[l,3]

【答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数AM在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分

类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在R上的奇函数了⑺在（-8,0）上单调递减，且/（2）=0,

所以/⑺在（0,入）上也是单调递减，且/（-2）=0,/（0）=0,

所以当*6(一8,-2)5。,2)时，/«>0,当尤e(-2,0)(2,—)时，f(x)<0,

所以由对■（元-1）20可得:

x<0、x>0、

-24x-140或八,、或％=0

0<x-l<2

解得一IWXWO或1WX43,

所以满足的x的取值范围是[-1,0]口口,3],

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

二、填空题

10.（2023・全国•统考高考真题）若〃到=（%-1）2+办+5出，+3为偶函数，则。=

【答案】2

【分析】利用偶函数的性质得到/，从而求得。=2,再检验即可得解.

【详解】因为'=/（可=（尤-1）2+办+5垣[尤+]]=（苫-1『+。尤+8$尤为偶函数，定义域为R,

'UJk2J......

此时/（x）=（x-l）"+2x+COS%=X2+1+COSX,

所以/（一尤）=（一城+l+cos（-x）=X2+l+cosx=〃尤）,

又定义域为R，故"X）为偶函数，

所以。=2.

故答案为：2.

11.（2021•全国•统考高考真题）已知函数〃到=/,.2，-2一，）是偶函数，则〃=.

【答案】1

【分析】利用偶函数的定义可求参数。的值.

[详解]因为〃同=4°.2£_2-)fef(-x)=-x3(a-2-J-2J)

因为/（X）为偶函数，故/（-x）=〃x）,

时V（a.2,一2T）=-x3（a-2-%-2V）,整理得到（a-1乂2"+2一，）=0,

故a=1,

故答案为：1

考点03函数图像应用

一、单选题

L（2022•全国•统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

2sinx

D・1八］

【答案】A

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设〃力=言,则"1）=0,故排除B;

、一/、2xcosx当彳€（0,?时,

设蛆卜丁丁0<cosx<l,

所以黄<高"故排除C

设g（x）=5号，则8⑶二爷^>°，故排除D.

故选：A.

2.（2022•全国•统考高考真题）函数、=（3工-3-»0$天在区间-4弓的图象大致为（）

y

c./',一

_2LO\/三x

2v722\yV/

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

、J「r7t

【…详解…】令A"即=（3-3Jcosx,xe1,

则/（-x）=（3-x-3元）cos（-x）=-（3无一3r）cosx=-/（%）,

所以〃%）为奇函数，排除BD；

又当xe（0，m时，3「3T>0,cosx>0,所以〃x）>0,排除C.

故选：A.

7T

3.（2020•全国•统考高考真题）设函数/（%）=cosOx+：）在［-私兀］的E即像大致如下图，则/（X）的最小正周期为（）

6

%

IO717兀

A.——B.—

96

4兀3兀

C.—D.—

32

【答案】C

【分析】由图可得：函数图象过点（-募,o］,即可得到COs］-，3-吟］=0,结合［-/，。］是函数”力图象与x

47rTCTT3

轴负半轴的第一个交点即可得到-学3+:=-£,即可求得0=：,再利用三角函数周期公式即可得解.

【详解】由图可得：函数图象过点（-7,。）

44、

将它代入函数“X）可得：cos（l--■«+7—T1=0

又|一3［°）是函数“X）图象与无轴负半轴的第一个交点’

所以一解得：«=|

9622

=_2"_=2万=_4〃

所以函数“%)的最小正周期为^TTT

2

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

4.(2019•全国•高考真题)函数;(力=smx+x在［_兀用的图像大致为

cosx+x

【分析】先判断函数的奇偶性，得〃X)是奇函数，排除A,再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案.

【详解】由/(T)=si",+(-?=-sinx-得人幻是奇函数，其图象关于原点对称.又

cos(-x)+(-x)cosx+x

1+工

/(^)=42-=^±|£>1，fM=—^>0.故选D.

2(穿71-1+7T

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法，利用数

形结合思想解题.

5.(2019・全国•统考高考真题)函数y=

【答案】B

【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/(4)的近似值即可得出结果.

【详解】设y=/(x)=—丹；，则===-/(%)，所以“X)是奇函数，图象关于原点成中心

'2+22+22+2

对称’排除选项U又/⑷二百声"排除选项D；/⑹二中〃排除选项A,故选B.

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较易，注重了基

础知识、基本计算能力的考查.

考点04函数性质综合应用

一、单选题

22

1.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(X)的定义域为R,M/(X+y)+/(X-y)=/(%)/(J),/(I)=1,则£/(幻=

k=\

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(1),/(2),,〃6)的值,

即可解出.

【详解】［方法一］：赋值加性质

因为〃尤+y)+〃尤_y)=〃x)〃y),令x=i,y=o可得，2〃1)=〃1)〃0),所以〃0)=2,令x=o可得，

/(y)+〃r)=2〃y),即〃y)=〃r),所以函数/(尤)为偶函数，令y=l得，〃x+l)+〃xT=/(x)〃l)=〃x),

即有了(尤+2)+〃尤)=〃x+l),从而可知f(x+2)=-/(x-1),/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=〃x-4),即

/(%)=/(%+6),所以函数的一个周期为6.因为〃2)=〃1)一〃0)=1-2=-1,

/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的〃1)+〃2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以£HA)=〃1)+〃2)+H3)+〃4)=1-1-2-1=-3.故选：A.

k=\

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由〃龙+y)+〃x-y)=〃尤)〃y)，联想到余弦函数和差化积公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可设/(x)=acosGx,则由方法一中/(。)=2,/(1)=1知〃=2,如056?=1,解得

cosa)~—,取g=工，

23

jr

所以/(x)=2cos§x,则

/(x+y)+y(x-y)=2cos^x+^j^+2cos^x-y^=4cosyj;cosyy=/(x)/(y),所以=2cos?x符合条

73=6

件，因此的周期/一三一°,/(0)=2,/(1)=1,且〃2”TJ⑶=-2,〃4)=TJ(5)=lJ⑹=2,所以

3

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以£7仅)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1-1-2-：1=-3.故选：A.

k=l

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，

是该题的最优解.

2.(2022•全国•统考高考真题)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,J./(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线X=2对称，g⑵=4,则£/(左)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+/(尤-2)=-2,从而得到〃3)+〃5)++/(21)=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=-10,然后根据条件得到〃2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得到“1)的值即可求解.

【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(%)—f(x-4)=7,所以g(尤+2)-/(尤一2)=7,gpg(x+2)=l+f(x-2),

因为〃x)+g(2—戏=5,所以〃x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+f(x-2)]=5,即f{x}+/(%-2)=-2,

所以〃3)+〃5)++"21)=(—2)x5=—10,

/(4)+/(6)++/(22)=(-2)x5=-10.

因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即"0)=1,所以y(2)=-2—〃0)=-3.

因为g(x)-/(*-4)=7,所以g(尤+4)-/(尤)=7,又因为/(尤)+g(2-x)=5,

联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g(3)=6

因为/(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5—g⑶=-1.

22

所以17(幻=〃1)+〃2)+[〃3)+〃5)++/(21)]+[/(4)+/(6)++/(22)]=-1-3-10-10=-24.

k=l

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需

的一些数值或关系式从而解题.

3.(2021•全国•统考高考真题)设awO,若x为函数〃x)=a(x-