2023-2024学年江苏省高二年级下册3月联考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江苏省高二下册3月联考数学模拟试题

一、单选题

1.已知空间向量2=(1,〃,2),^=(-2,1,2)若无一9与石垂直，则口等于()

A.拽B.—「国n721

2222

【正确答案】A

【分析】先由向量的数量积运算求出〃=g,再结合向量模的运算求解即可.

【详解】解：由空间向量7=(1,”,2),3=(-2,1,2),若与)垂直,

则（2£-检/=0,

即2。=7，

即2〃+4=9,

即〃=2,

2

本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量模的运算，属基础题.

2.在(x2+x+y『的展开式中，的系数为()

A.60B.15C.120D.30

【正确答案】A

【分析】方法1：运用分步乘法原理计算可得结果.

方法2：运用二项式定理的通项公式计算可得结果.

【详解】方法1：(Y+x+06可以看作6个俨+x+y)相乘，从中选2个外有C：种选法;

再从剩余的4个括号中选出3个X,最后一个括号选出有C：C；种选法；所以/的系

数为C；C：C；=60.

方法2：因为，+》+力=[12+,+习6,所以其展开式的通项公式为

令r=2,得，+x)4展开式的通项公式为严J=c*8-*,再令8-%=5,得k=3,

所以x'V的系数为c：C：=60.

故选：A.

3.已知I函数/(》)=!》3+》2-*,/'(1)=0,则实数。=()

A.4B.3C.2D.1

【正确答案】B

【分析】求导，利用/'(1)=0即可.

【详解】因为/'(x)=x2+2》-a,

所以/"⑴=l+2_a=3i=0,

则。=3,

故选：B.

4.已知G=(2,-l,3),1=(-L4,-2),d=(l,3(),若瓦瓦？三向量共面，则实数4等于()

A.4B.3C.2D.1

【正确答案】D

【分析】利用向量共面定理，设5=加1+〃5,列出方程组，即可求出实数

【详解】a=(2,-1,3),A=(-1,4,-2),c=(1,3A>2瓦万三向量共面,

二可设e=〃疝+，即(l,3,/)=(2/n-〃,-m+4w,3w-2n),

2m-n=l

+4〃=3,解得机=1,"=1,4=1.

3m—In-A.

故选：D.

5.李中水上森林公园原为荒滩，经过治理，成为江苏省最大的人工生态林.园内栽种了10

万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏.这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、

灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园.游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩.甲将在

二月蓝花海之前的任意一站下竹筏，乙将在童话国之前的任意一站下竹筏，他们都至少坐一

站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为()

234S6789n

10121315171920

14。

16。18

♦oO000e0OM0p

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亭

花

畸

mfwl境

m

77

A,9BD.—

-716

【正确答案】B

【分析】先求解所有可能的情况数，再根据游客乙下竹筏的所有可能，分别分析甲比乙后下

的情况数再求解即可

【详解】由题意，甲可能下竹筏的站号有2,3,4,...,17共16种情况，乙可能下竹筏的站号有

2,3,4,...,8共7种情况，

故甲乙所有下竹筏的情况数有7x16=112种.

当乙在2号站下时，满足甲比乙后下的情况数有15种；

当乙在3号站下时，满足甲比乙后下的情况数有14种；…，当乙在8号站下时，满足甲比

乙后下的情况数有9种；共15+14+13+...+9=84种情况.

843

故甲比乙后下的概率为石5=1

故选：B

6.若函数/(x)=3e、-«x在R上有小于0的极值点，则实数。的取值范围是()

A.(-8,3)B.(-8,0)C.(0,3)D.(3,+oo)

【正确答案】C

【分析】求出函数/⑸的导数/'(X),由/'«=0有小于0的根列式求解作答.

【详解】由函数〃x)=3e'-g求导得：f\x)=^-a,因函数/(外在R上有小于0的极值

点，

则/'(x)=0有小于0的根，即当x<0时，a=3e*，而函数3e'在R上单调递增，

则当x<0时,0<3e'<3，于是得

经验证，当0<”3时，函数〃x)=3e=ax在R上有小于。的极值点,

所以实数。的取值范围是(0,3).

故选：C

7.据说，笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，

其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连

连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：0=a(l-sin6)S>O)国王不懂，将这封信

交给了公主，公主用笛卡尔教她的极坐标知识，画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的

心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣.某同学利用GeoGMra电脑软件将

=,g(x)=-3、l-J□两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形

【正确答案】A

【分析】根据图象的单调性判断导数正负排除BC,再由函数增长快慢判断AD,即可得解.

【详解】因为=所以g(x)的图象在x轴及下方，

当x>0时，由图象知g(x)单调递增，所以g'(x)>0,故排除BC；

又当l<x且x->2时，g(x)图象越来越“陡”，即增长越来越快，故函数导数越来越大，

据此排除D.

故选：A

1L9

8.已知〃=sin—,h='ln3—ln2,c=Je—，则”，h,c的大小关系为()

28

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【正确答案】D

【分析】构造〃x)=sinx-ln(x+l),利用导数求其单调性可判断。乃的大小，构造

g(x)=e、-x,利用导数求其单调性可得到,再由a为锐角时，sina<a,

即可得到答案.

【详解】设/(x)=sinx-ln(x+l),

则/'(x)=cosx---

X+1

令加(x)=/'(x),^(x)=-sinA-+—

因为…inx在尾)上单调递增，、=个了在［0词)上单调递减，则加'(X)在(0高上单

调递减，

由(6)2+，所以叫机(％)=°，

所以当xe(O,x0),加(x)>0,所以％(无)在(0,%)上单调递增,

71所以〃?(x)在1%,今

当xe%0,6,"7’(X)<0,上单调递减,

又加(0)=0,

从而机(x)>0即/K)>0在„上恒成立，

故/(x)在(0词)上单调递增，

所以/(x)>y(0)=0,即sinx>ln(x+1)=sin；>ln(l+；)=ln3-ln2,

即a>6,

构建g(x)=e*-；x2_i_x,贝ijg")=e，-x-l,

令9(x)=e'-x-l,则”(x)=e*-l,

当xe(O,+a))时，d(x)>0,则9(x)在(0,+s)单调递增，

所以9(x)>w(0)=e°-0-l=0,即g'(x)>0,

故g(x)在(0，+co)上单调递增，则g(x)>g(O)=O,

故e*-；x2_]>x在(o,+8)恒成立，

取x=；,可得册——>—,

282

而由a为锐角时，sinaca可知，sin1<1,

22

由不等式传递性知，

综上可得.c>a>6

故选：D.

方法点睛：对于比较实数大小方法：

(1)利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，

(2)利用中间值"1”或"0”进行比较,

(3)构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.

二、多选题

9.下列命题为真命题的是()

A.(x-gj展开式的常数项为20

B.8⑼被7除余1

C.展开式的第二项为-6-D.8M被63除余1

【正确答案】BCD

【分析】利用二项展开式的通项及二项式定理即可求解.

【详解】对于A,L-ij的展开式的通项为I”

令6-2左=0,解得左=3,所以（X-：）展开式的常数项为（-ifC：=-20,故A错误;

对于B,

I（WOO100

8=（7+1）'=C；0Gx7mx10+C；ooxxT+…+嗨x7'x1"+C匿x7°xI

I0099KM

=7+C；00X7+-+C^0X7+1,因为7e。小799,...，07都是7的倍数，所以

7H'0+4x799+…+或°x7是7的倍数，所以8KM被7除余1,故B正确；

对于C,1x-J的展开式的第二项为小=爆、--/（-j=（-1上猿、/3=一84,故c

正确；

对于D,

100255,）550491449

8=（8）°=64=（63+1）°=C°50X63xl°+C'50X63xl+..+C：0x63'xl+C2x63。xP

=63”+C；ox6349+…+C；；x63+1,因为63$°,x6349,C：；x63都是63的倍数,所以

6350+Cox63*'+…+C；；x63是63的倍数，所以8皿被63除余1,故D正确.

故选：BCD.

10.如图所示，在直三棱柱力8C-N4G中，底面是以//8C为直角的等腰直角三角形,

AC=2a,BBj3a,。是4G的中点，点£在棱/4上，要使CEL平面3QE,则4E的

值可能是（）

35

A.aB.-ciC.2〃D.—a

22

【正确答案】AC

【分析1利用已知条件判断4。，平面4CG4,然后说明CELOE,设/E=x(0<x<3“),

然后可得=2=/+而2,。^2=。2+(%_》)2,又82=/+942=]042,然后可求出答案.

【详解】由己知得44=，又。是4G的中点，

所以8Q~4G，又侧棱44,底面/8C,

可得侧棱AA{1平面44G,又4。u平面A因孰,

所以

因为Z4c4cl=4,所以BQJ.平面AA^C,

又CEu平面44℃,所以BQLCE,

故若CE，平面BQE,则必有CE1DE.

设/E=x(0<x<3a),贝iJCE?=X2+4?,OE2=/+(纭-X丫,

又Ch=/+9/=io/,

所以10“2=乂2+4a2+a2+(3a-x)2,

解得x=a或2a.

故选：AC

11.己知函数〃x)=3，-2',xeR,则下列结论正确的是()

A.函数/(x)在(0,内)上单调递增

B.存在aeR,使得函数，=/孚为奇函数

a

C.任意xeR,/(%)>-1

D.函数g(x)=/(x)+x有且仅有2个零点

【正确答案】ABC

【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项:

通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.

【详解】对于A：r(x)=3，ln3—2，ln2=2、(|)In3-ln2

因为xw(0,+8),所以2*>1，>1,因此(|卜n3>ln3>ln2,

故/'(x)>0,所以/(x)在(0,+o>)上单调递增，故A正确;

对于B：令。=#，则”，令h(x)=,定义域为R,关于原

2

点对称,

=-h(x,,故a(x)为奇函数，B正确:

对于C：x>0时，fM=2x(|)-1>0；x=0时，/(x)=0；

x<0时，/(x)>-2A>-l；C正确；

对于D：x=0时，g(x)=0,x>0时，g(x)>y-2x=2x(I)一1>0,

x<0时，g(x)<3、-2、=2、(，-1<0,所以g(x)只有1个零点，D错误;

故选：ABC

12.下列说法正确的是()

A.空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，则一共可以

作210个不同的四面体

B.甲、乙、丙3个人值周，从周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则

可以排出24种不同的值周表

C.从0,1,2,L,9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的

共有26543个

D.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有144

种

【正确答案】AD

【分析】直接利用组合数计算，判定A,对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合

分步乘法计数原理计算，从而判定B,按照首位分类，利用排列数计算可以判定C,利用先

分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算判定D.

【详解】对于A,空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，

可以有C：。=210种取法，即可以作210个不同的四面体，A正确；

对于B,分2种情况讨论：①甲排在星期六，有C；C；=24种排法；②甲不排在星期六，有

C：C；=18种排法；则值班方案种数为24+18=42种，B不正确；

对于C,分2种情况讨论：①五位数的首位为2、3、4、5、6、7、8、9时，有8A；=24192个五

位数，

②五位数的首位为1时，其千位数字不能为0、2,有7A；=2352个五位数，

则共有24192+2352=26544个大于13000五位数，C不正确；

对于D,分2步进行分析：①将4个小球分为3组，有C；=6种分组方法，②在4个盒子中

任选3个，放入三组小球，有C：A；=24种情况，

则有6x24=144种不同的放法，D正确：

故选：AD.

三、填空题

13.C；+C：•C+《•C+《•《=.（用数字作答）

【正确答案】494

【分析】根据组合数计算公式计算即可.

【详解】C；+C；C+C>C；+C；C=70+56x4+28x6+8x4=494,

故494

14.函数/(x)=V?cos2x+8sinx”(-的极值点为％,则tan(xo+：卜.

【正确答案】-3

【分析】由极值点的定义可求sin%,再由同角关系，两角和正切公式可求tan1%+：

【详解】因为/(x)=V^cos2x+8sinX.XG

所以/'(%)=-2V^sin2x+8cosx=cosX8-47~5sin/

因为函数./(x)=V^cos2x+8sinx,xe.的极值点为天,

所以cosxo(8-4^"sinXo)=0,且xw

所以sin%=《，所以cosXo=6^iii^Y=A，tanxo=

所以tanx0+*71丁

=-3.

I4)1-tanx0

故-3.

15.如图，正方形Z8C。、49E尸的边长都是1,而且平面48c。、H8E尸互相垂直，点M在

/C上移动，点N在B尸上移动，若CM=BN=a(0<a<C),则A/N的长的最小值为

【正确答案】e

2

【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示|“明，再求的v的长的

最小值.

【详解】因为平面/8CD1平面/BEF,平面/8C0C平面48£尸=48,AB1BE,

所以8EJ.平面/8CZ),所以力8,BC,8E两两垂直.

过点胡作A/GJ_48,MH1BC,垂足分别为G,H,连接NG,易证NGLN8.

因为CAf=8N=a,所以CH=MH=BG=GN=^u

2

以8为坐标原点，分别以84BE,8c所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系8-乎，

与一旦〃。海"一/J

22J2)[2J

=yja*2—y[2a+1=

当a二,MN的长最小，且最小值为止.

22

故正.

2

16.设实数〃?>0,若不等式机e""-huy0恰好有三个整数解，则实数机的取值范围为

In5In2

【正确答案】

V'T-

【分析】由题知e""lnew<xlnx恰好有三个整数解，进而结合函数/(x)=xlnx,x21得

机恰好有三个整数解，再根据函数g(x)=等,x±l的性质，数形结合求解即可.

【详解】解：因为不等式/^"，—.〈。恰好有三个整数解

所以不等式,〃xe研-xlnx<0恰好有三个整数解，即e"1nerai<xln^恰好有三个整数解,

令/(x)=xlnx,xN1,则/''(x)=lnx+l>0在［1,+co)上，恒成立,

所以函数〃x)=xlnx在[1,+8)上单调递增,

Inx

所以，不等式恰好有三个整数解，即加<—恰好有三个整数解,

x

令g(x)=(,x21,则g.)」

所以，当xe[l,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当xe(e,”)时，g'(x)<0,g(x)单调递

减,

mm/,\八小In22In2In4/八（In5

因为8（1）=0名（2）=彳=^-=丁=8（4）名（5）=-^-

所以，作出函数g(x)的图象如图所示,

则g⑸⑵，即等4根＜竽,

X

ln5In2

所以,实数比的取值范围为

In5In2

故

52

关键点点睛：本题解题的关键在于构造函数/(x)=xlnx,x21,结合函数同构方法将问题转

化为“＜也InY恰好有三个整数解问题求解即可.

X

四、解答题

17.(1)解不等式A；＜6A＞：

⑵若C；+C：+C+…+。=363,求正整数〃.

【正确答案】(1)x=8；(2)〃=13.

【分析】(1)根据排列数计算公式化简后代入检验求解即可；

(2)由组合数的运算及组合数的性质化简得出方程，验证〃=13满足，由单调性确定唯一

解即可.

【详解】(1)因为A；＜6A；2,

8!8!

所以<6xH2<x<8,XGN*,

（8-x）!（10-x）!

即l<6x且24x48,xeN*,

(10-x)(9-x)

经验算，可解得x=8；

(2)s^c^+c5+c^+-+q?=c^+c^+c^+c^+-+c^-:

=C；+C+C；+…+C：-1=G+C；+…+C；-】=..•=」-1=363,

所以("+1)/("-1)=364,则〃=13满足题意，且C"在“wN・且〃24时递增，

O

因此〃=13是唯一解.

18.如图所示，四棱锥S-/BCD中，ADAB=ZADC=2ZABD=2ZBCD=90°,

CB=BD=2V2-SB=SD=y/6,平面S3。_L平面/BCD.

(1)求证：平面S8O_L平面S8C；

CP

(2)若点尸在线段SC上，且二=%，若平面/8P与平面S3。所成锐二面角大小为60。,

求，的值.

2

【正确答案】(1)见解析(2)2=-.

(1)证明BC1平面SBD,平面SBD±平面SBC即得证；(2)以4为原点，分别以^4D，~AB

和平行于SE的方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系N-xyz,利用向量法得到

网I

202一2)2力解方程即得蟀

【详解】(1)证明：因为ND4B=N4DC=2N4BD=2NBCD=9。°,

故NCBD=90。，故8c_L8Z).

又平面SB。，平面/BCD,平面S8£>n平面=8Cu平面N8CD,

故平面S8O；

因为8Cu平面SBC,故平面S8O_L平面S8C；

(2)设E为8。的中点，连接SE,因为SB=SD=娓,

所以SE_L5D,又平面S8£)J_平面Z8CZ),故SE_L平面Z8CD,

如图，以/为原点，分别以而，而和平行于SE的方向为x,y,z轴正方向,

建立空间直角坐标系/-xyz,

则4(0,0,0),5(0,2,0),C(2,4,0),D(2,0,0),5(1,1,2),

因为岳=2无，则而=4氐=几(-1,-3,2)=(-/1,-3九2/1),

所以「(2-九4-343为，

易得平面58。的一个法向量为丽=(2,2,0),

设3=(x,y,z)为平面48P的一个法向量，刀=(0,2,0),"=(2-44—3/1,2/1),

由[唱=:得已蓝不妨取3=(22,0,"2).

[ii-AP=Q,[[2-A)x+[4-3A)y+2Az=0,''

因为平面SBD与平面/8P所成锐二面角为60。，

M1

用以2国自+佃一2^，

2

解得2=2=-2(不合题意舍去)，

故2=|.

本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间二面角的向量求法，意在考查学生对

这些知识的理解掌握水平和计算能力.

19.请从下列三个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题.①第2

项与第3项的二项式系数之比是：：②第2项与第3项的系数之比的绝对值为]：③展开式

中有且只有第四项的二项式系数最大.

已知在(〃eN*)的展开式中，.

(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项;

(2)求展开式中的所有有理项.(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.)

【正确答案】(1)60,第五项

⑵64x*240x3,60,才3

C12C14

【分析】根据所选的项，结合所给条件分别有①等=(,②[为点③根据有且只

有第四项的二项式系数最大，求〃值，均为w=6.

(1)将〃=6代入二项式确定展开式通项，令x的指数为0时求厂，进而求出常数项；

(2)将"=6代入并写出展开式通项，再根据亨有偶数，从而可确定有理项.

12〃-3r

【详解】(1)由二项式知：展开式通项为&|=C；(2x)1•(—-)/=(-1)「2”寸£.工,

yJX

C12

①第2项与第3项的二项式系数分别为C：、C：,故言•=(，

n_2

/.77X(77-1)5，整理得=0,又〃cN*,解得〃=6.

2

②第2项与第3项的系数分别为(-l)2"-g,(-I)/”"；，则有|点缶声用，解得"=6.

③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，可知.展开式共有7项，从而可知”=6.

•12-3〃

r6r9

由上知：展开式通项为(f=(-\)2~C^x^~

当今女=0,有r=4时，常数项为7；==60.

l2-3r

(2)由上知:的展开项通项为却=(_])，26TC)H,要求有理项,可知-=0,2,4,6,

1212-3x212-3*412-3x6

,有理项分别为(_[)。26-。仁》5，(-I)226-2c；x-，(-1)42~C：XF^，，

即为64x6,240x3,60,一

20.如图所示，及41平面/5C。，四边形力8CZ)为直角梯形，四边形/OFE为矩形,

ZABC=NB4D=90°,EA=4B=BC=2AD=l.

⑴记平面ENBc平面ECD=/,求证：/J.平面8CFE；

（2）在线段FC上是否存在P点，使得二面角尸-8O-C的正弦值为强.若存在，求出PC长;

6

若不存在，说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）存在PC=I,理由见解析

【分析】（1）延长84、CD交于点连接即为交线/,证明/_L8E,/J.8C,由线

面垂直的判定定理即可证明；

（2）以｛打，瓯词为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设而=2而

利用向量法求解即可.

在直角梯形48C。中，

由于N/8C=NB4O=90。，BC=2AD,

所以A为8W的中点，则有£4=48=4”,

因为瓦41平面ABCD,BMu平面ABCD,

所以E4J.8M.

则△E8A/为等腰直角三角形，NBEM=90。，

即/_LBE.

因为平面/8C£>,8Cu平面Z8C。，

所以.E/_L8C.

又因为AB、4Eu平面BEM,AB[｝AE=A,

所以8c工平面8EM,

因为/u平面BEM,所以/_L8C,

又因为5C,8Eu平面8c产E,BCcBE=B,

所以/工平面8CRE.

(2)由EZ1平面/BCD,且48在面力8CO内，又N&4D=90°,所以"。、AB,4E两

两互相垂直，

以｛而,丽酢｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.

则S(0,1,0),C(l,1,0),0(1,0,0),E(Q,0,1),F(^0,1),

所以5万=(；,一1,0),CF=(-1-1,1),

设丽=，无(0<2<D,则丽=(-：2,-44),

所以丽=而+5=(1」2,，〃)，

2

设平面BDP的一个法向量为m=(x,y,z),

1x=0「

m-BD=Q2~y

由,一得:

ihBP=0m-z=o

令x=2,贝ljy=l,z=―；—,所以用=(2,1,——),

AA,

而平面BCD的一个法向量为G=(0,0,1),

24-2

m-n

贝ljcos<孙〃〉=^^=7A

HrlL,22-2

^+i+(Z-y-yV

由于二面角尸的正弦值为我，则，

Icos<m,n>|=,

66

2A-2

v12

所以——2A-2",则％=］或2=2,

5+(2

2

因为0<2<l,所以X=一,

3

又|司=|，所以尸C=l.

21.某展览会有四个展馆，分别位于矩形/8CO的四个顶点A、B、C、。处，现要修建如

图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中44=8百

8

⑴设NZME=x,求出步道的总长V（单位：百米）关于％的函数关系式；（参考数据

3兀4广

tan—=-,V3=1.732）

（2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）.

【正确答案】(1)N=—+8-6tanx(0<x<。)

cosx10

(2)18.39百米

【分析】（1）若设ND/E=x,运用三角函数表示HE、FN、DE,进而写出y与x的关系

式；

（2）运用导数研究函数的最值即可.

【详解】（1）设直线EF与8c分别交于点M,N,

3

设N/MEi贝iJ/E=——，FN=ME=3tanx,

cosx

EF=MN-FN-ME=8—6tanx,

4

贝!J8—6tanx>0,解得tanx<—,

3

又因为0<x《，所以o<x<*

所以V=-^-+8—6tanx（0<x<普））.

cosx10

⑵外加总+8-6tanx（0<x端卜

/’（加粤唔），令/'（x）=。，可得'J,

当时，r（x）<0