2023-2024学年山东高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年山东高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知空间向量”=(〃L1,加,-2),6=(-2,1,4),且〃1人，则机的值为()

A.-----B.—6C.6D.—

33

【正确答案】B

【分析】根据向量垂直得-2(加-1)+机-8=0,即可求出也的值.

【详解】因为空间向量。=(加—1,〃7,—2),6=(—2,1,4),且

.二-2(/7?-1)+/M-8=0=>W=-6.

故选：B.

2.已知等比数列｛%｝各项均为正数，公比4=2,且满足出％=16,则4=()

A.8B.4C.2D.1

【正确答案】C

【分析】根据等比数列的性质可得%2=16,根据各项均为正数，得到4=4,则为=且=2,

q

进而求解.

【详解】因为4%=16,由等比数列的性质可得：。：=/4=16，

又因为数列｛4｝各项均为正数，所以4=4,因为公比4=2,则/=：2,

故选.C

3.直线夜x+«y+l=0的倾斜角是

A.2B.生C.工D.⑦

6633

【正确答案】A

【详解】试题分析：直线的斜率％=-半=-且，故其倾斜角为

7636

直线的斜率与倾斜角的关系

4.抛物线y=4/的准线方程为()

A.y=-iB.x=-\

【正确答案】D

【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线.

【详解】由＞=4犬得/=:丫，故抛物线y=4f的准线方程为y=-2.

416

故选：D

5.如图，在四面体O4BC中，OA=a，OB=b，OC=c，CQ=2QB,P为线段OA的中

点，则P。等于（）

C.L+4+ZcD.

233233

【正确答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算求解.

【详解】由已知

2I7121

PQ=OC+CQ-OP=c+-CB--OA=c+-(OB-OC)--a=c+-(b-c)--a

12,1

=——a+-b+-c,

233

故选：D.

6.若圆（x-3）2+（y+5）2=,上恰有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径厂的取

值范围是（）

A.（6,+oo）B.[6,+oo）C.（4,6）D.[4,6]

【正确答案】C

【分析】作图，根据几何意义分析求解.

如图，与直线4平行的距离为1的直线有2条：44，

圆C(X-3)2+("5)2=/的圆心是(3,-5),依题意及图：圆C与4必有2个交点，与

12相离，

|4x3-3x(-5)-2|

L

圆心C到/1的距离1=^—-；)―=5,/.4<r<6；

A/42+32

故选：C.

7.已知双曲线1-与=1(a>08>0)的左、右焦点分别为6,乙，点P在双曲线的右支上，且

ab

但用=5|P段，则双曲线离心率的取值范围是()

A.(1,|B.|,+8)C.(1,2]D.[2,-KO)

【正确答案】A

【分析】由条件结合双曲线的定义求炉6|,|尸闾，根据|户制+|P用士花用，即可求出结果.

【详解】因为点尸在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得周=2"，

又归用=5|明，所以4|明=2。，叩归周=微，则冏|=当，

因为双曲线中，|产制+|尸印2忻闾,

即3aN2c,则上c<23,即eV3。

a22

3

又双曲线的离心率大于1,所以1<64于

故选：A.

8.如图甲是第七届国际数学家大会(简称/CME-7)的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙

的一连串直角三角形演化而成的.已知

。4=442====44=一=2,A，4,4-为直角顶点，设这些

2

直角三角形的周长从小到大组成的数列为｛%｝，令2=-TW，S“为数列｛我｝的前"项和，则

an-乙

420=（）

图甲图乙

A.8B.9C.10D.11

【正确答案】C

【分析】由题意可得OA〃的边长，进而可得周长〃〃及4,进而可得S”，可得解.

AA

【详解】由。A=A4=44=AA4=4A=&=44=A7A^=..=2,

可得网=2&，o&=2月，…，=2薪，

所以%=04+O/\I+1+44+]=2山1+2，九+1+2,

所以b“=<《=厂1厂^=而仃一«,

。〃-2yjn+v^+1

AHAHH

所以刖〃项和S“=4+伪++bn=5/2—1+>/3—yp2++>/〃+1_/=/-T—1,

所以5^=1120+1-1=10,

故选：C.

二、多选题

9.已知椭圆7m：2+y2=］的离心率为半，则m的值可能为（）

A.@B.-C.5D.25

55

【正确答案】BC

【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后分勿＞1和0（加＜1两种情况结合离心率的定义

列方程求解即可.

【详解】利？+丁=1可化为1+y-T.

m

当山>1时，椭圆+1=1的离心率为Jl」=迈,解得机=5；

mn5

当0<加<1时，->1,椭圆加一+尸=]的离心率为"7£=拽，解得根=_1

tn55

故选：BC.

10.己知数列｛q｝的前八项和为S,,,则下列说法正确的是（）

A.若S“=艘2-11〃,则q,=2〃-12

B.若S“=pq"+r（p，4H0）,则当厂=一〃时，｛6｝是等比数列

C.若数列｛%｝为等差数列，q>0,Sf,则S,>SK

D.若数列｛叫为等差数列，1>0,九<0,则〃=8时，S.最大

【正确答案】AD

【分析】利用题设条件及等差等比数列性质以及前，项和公式，一一验证即可.

122

【详解】对于选项A：Sn=n-\\n,:.Sn_｝=（n-l）-1l（n-l）=n-13n+12（n>2）,

•••S,「S,T=%=2〃—12（〃22）,X.51=al=l-ll=-10,

则”=1时也符合勺=2〃-12,故若S“=〃2-ll〃，则氏=2〃-12,故选项A正确;

对于选项B：当r=_p,g=l时,S„=pl"-p=0,此时a“=0,

数列｛%｝不是等比数列，故选项B错误；

对于选项C：数列｛a,,｝为等差数列，《>0,S6=Sg,

/.6%+15d=9“+36d,/.a｝=-7d>0,/.4=q+7d=0,S7=S8,

故选项c错误；

对于选项D：数列｛4｝为等差数列，几>o,5,6<0,

S[5=—（4+a”）=154>0，艮|J4>0，

S[6=8（4+）=8（氏+%）<0,即〃8+〃9<°,

厂./<。，「.〃=8时，S”最大，故选项D正确;

综上所述：选项AD正确，

故选：AD.

11.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A8距离之比是

常数2（2>0,2*1）的点M的轨迹是圆.若两定点A（-2,0）,8（2,0）,动点M满足

=则下列说法正确的是（）

A.点M的轨迹围成区域的面积为32兀

B.ABM面积的最大值为16夜

C.点M到直线x-y+4=0距离的最大值为9夜

D.若圆C:（x+l）2+（y+l）2=r2上存在满足条件的点M,则半径『的取值范围为

【正确答案】ACD

【分析】设点〃（x,y）,根据=可得点M的轨迹为以点N（6,0）为圆心，4垃为

半径的圆，可判断A；八[-4&,4用得5阚=?即#（0,8包可判断氏求出点

N（6,0）到直线x-y+4=0的距离可判断直线与圆相离，求出点〃到直线x-y+4=0距离的

最大值可判断C；由D选项可知圆C与圆N有公共点，由卜四-r|4|CNK4夜+r可判断

D.

【详解】由题意，设点M（x,y）,又

所以J（x+2?+y2=^.4（x—2F+y2,

化简可得（x-6）?+y2=32,

所以点M的轨迹为以点N（6,0）为圆心，4&为半径的圆，

所以点M的轨迹围成的区域面积为32兀，A选项正确；

又点M（x,y）满足

所以S.=；恒同也性（0,8&],ABM面积的最大值为8夜，B选项错误；

点N（6,0）到直线x-y+4=0的距离"=2:=5&>4四,

所以直线与圆相离，所以点M到直线x-y+4=0距离的最大值为50+40=90，C选项

正确;

由D选项可知圆C与圆N有公共点，所以,夜-，*|CN|V4夜+，

且|CN|=J(6+l>+(O+l)2=572,

即卜夜-忤夜44啦+r,

所以近4r49后，D选项正确；

故选：ACD.

12.在棱长为1的正方体ABCQ-A8cA中，E为侧面BCG4的中心，户是棱G4的中点,

若点P为线段上的动点，则下列说法正确的是()

A.PE的长最小值为g

B.PE.PF的最小值为

48

C.若BP=2PD、,则平面PAC截正方体所得截面的面积为9:

O

D.若正方体绕8R旋转。角度后与其自身重合，则。的值可以是行

【正确答案】BCD

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设==(-4-4/),(0<2<1),得

然后用空间向量法求得依，判断A,求得数量积PEPb计算最小值判断

B,由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C,结

合正方体的对称性，利用BDt是正方体的外接球直径判断D.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1,则E(g,l,g),B(1,LO),"(0,0,1),

F(0,g,D,

BDt=(-1-1,1),设BP=/13A=(—4—42),(O<A<1),所以尸(1一/1,1一/1,团，

P£=(Z-i2,1-2),

22

IPE\=.1(2——)2+/L2+(--2)2=.13(2——)2+—,所以2=g时，忸目=^-,A错；

।1V22V363।Imin6

2

1I17,I

PE-PF=(2--)(A-1)+A)(l-2)=3(A--)---,

2221248

7I

所以义=日时，(PE•PF)而--加，B正确；

BP=2PD一则P是8R上靠近R的三等分点，1),

I2

取AC上靠近C的三等分点G,则G(§,§,0),

17

PG=(O,-,-j),显然PG与平面CDD,G的法向量(1,0,0)垂直，因此PG//平面

所以截面PAC与平面CDZ),C,的交线与PG平行，作CMIIPG交GR于点M,

211

设则CM=(0,I,l),由CM〃PG得-§d)=3,解得4=］，

则M与F重合，因此取A。中点N,易得NF//AC,截面为ACFN,它是等腰梯形,

截面面积为S=1(a+立)x逑=2,C正确；

2248

A(l,0,0),C(0,l,0),AC=(-1,1,0),BR,

ACBDt=l-l+()=(),AC±BD,,同理用，3。，

所以B"是平面ACq的一个法向量，即8RJ_平面AC8-设垂足为。一则

乙40'=/。。4=/月04=奇，BR是正方体的外接球的直径，因此正方体绕BR旋转0角

度后与其自身重合，至少旋转年.D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.已知直线4：x+/^+6=0,4：(〃Ll)x+2y+2w=0,当4〃4时，机的值为.

【正确答案】-1或2

【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可.

【详解】1^,x+my+6=0,l2:(/n-l)x+2>'+2/n=0,

••.当4〃4时，有lx2-(，〃-l)xw=(),解得利=-1或加=2,

当利=-1时，4：x-y+6=O,/?:x-y+l=O,满足题意；

当〃?=2时，/1：x+2y+6=0,4：x+2y+4=0,；.4〃/2满足题意.

.•.当4〃4时，，”的值为T或2.

故-1或2.

14.已知等差数列｛《,｝的公差为1,且%是与和线的等比中项，则｛q｝前20项的和为

【正确答案】180

【分析】利用等差数列的基本量，结合已知条件，即可求得等差数列的首项和公差，再求其

前20项的和即可.

【详解】由等差数列｛4｝的公差为1,

且如是应和粒的等比中项，故可得

91

(4+l)(q+5)=(4+2)，，解得

故数列｛4｝的前20项的和

故答案为.180

15.如图，把正方形纸片ABCQ沿对角线AC折成直二面角，则折纸后异面直线A3,8所

成的角为.

TT

【正确答案】y##60°

【分析】过点E作CE//AB,且使得CE=AB,则四边形ABEC是平行四边形，进而/DEC(或

其补角)是所求角，算出答案即可.

【详解】过点E作CE〃A8,且使得CE=AB,则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为

。〈吟，于是cos0=|cosZ.DCE|.

设原正方形A8C£＞边长为2,取AC的中点O,连接00,80,则BO=OO=&且

BOLAC,DOLAC,而平面AS，平面ABC,且交于AC,所以DOJ■平面ABEC,则

D0L0E.易得,BE=AC=20，BEIIAC,而8。，AC,则B0L3E.

于是，OEZBU+BE。=M，DE=[DO2+OE?=26•

FF

在△OCE中，DC=CE=2,取。石的中点F,则CFLOE,所以（：0§/。£。=£^=义,

CE2

所以NDEC=JNOCE=」,

63

于是e=。jr.

故答案为

16.已知尸为抛物线C丫2=4》的焦点，过点尸的直线/与抛物线C交于不同的两点A,B,

抛物线在点A,B处的切线分别为,加2,若刖交于点P,则嗒+向的最小值为

【正确答案】4

【分析】设直线/：》=冲+1,利用韦达定理求得|4回，设/,:y—y=Mx—xJ(%HO),利

用判别式求得直线的方程，进而得到P的坐标，从而可得四L+黑=网士+——，

4\AB\44m~+4

再利用基本不等式即得.

【详解】由题可知尸(1,0),设直线/：x=my+\,

直线/：X=〃?y+l与y2=4x联立消X,得y2-4〃?y-4=0,

设A(x，yJ,85,%),则%+%=4"1,7,^2=-4,

，|蜴=与+2=/n(x+%)+4=4〃/+4,

设4：y-y=Mx-X|)(4*o),

由竹二3一口可得)，一)——，

[y=4xkk

A=(-%)—4^—%-4X])=0,又y；=4X1,

,2/、

4：）'一y=7（x-xJ,Bpy,y=2x+2xt,

同理可得4:y2y=2x+28，

所以可得4=-Ly尸=g（M+%）=2加，即P（-l,2/n）,

/.阳=,4病+4,

.|叫16+416,,、“，，411rl.j

>•--------------T1——I=------+———=W+1+——>4,当且仅当加一+1=-^~,即％=±1取

4|AB|44,1+4m2+\m'+\

等号.

故4.

四、解答题

17.已知圆C的圆心在直线x-y-l=O上，且与直线2x+3y-10=0相切于点*2,2).

(1)求圆C的方程；

(2)若过点Q(-3,-2)的直线/被圆C截得的弦AB的长为4,求直线/的方程.

【正确答案】(l)V+(y+l)2=13

(2)x=-3或4x+3y+18=0

【分析】(1)根据圆C的圆心在直线x-y-l=O上，设圆心为(。,。-1),再根据圆与直线

2x+3y-10=0相切于点P(2,2)求解；

(2)分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，利用弦长公式求解.

【详解】(1)解：因为圆C的圆心在直线彳-丫-1=0上，

所以设圆心为

又因为圆与直线2x+3y-10=0相切于点P(2,2),

所以d=,+3(：1)70|=j3+g3)2,

解得。=0,

所以圆心为(0,-1),半径为r=岳,

所以圆C的方程尤2+6+1)2=13：

(2)当直线的斜率不存在时：直线方程为x=-3,

圆心到直线的距离为d=3,

所以弦长为Afi=2」,一d?=4,成立；

当直线的斜率存在时，设直线方程为y+2=k(x+3),即H-y+3%-2=0,

圆心到直线的距离为4=m,

ji+公

所以弦长为48=2/7二庐=2,3-|亨号）=4,

解得k=-（4,

所以直线方程为：4x+3y+18=0,

所以直线/的方程为x=—3或4x+3y+18=0.

18.在数列｛/｝中，4=1,当“22时，其前〃项和S,,满足S；

⑴求证：是等差数列；

⑵设求他｝的前"项和7；.

2714-1

【正确答案】（1）证明见解析；

n

⑵

2鹿+1

【分析】（1）利用““=S,-S,T可将已知等式整理为=2,结合［='=1可证得结

论；

（2）由（1）得到S.，进而求得"，再采用裂项相消法求得结果.

【详解】（1）证明：♦.•当“22时，a.=S,-Sw

s：=（S,-S“J（S“-g）=s：Vs“-s“-5+1S„,,,即：s„.,-s„=2S„.,5„

._L__L=鼠匚&=竺』=2

"SS,SS,SS,'又S|a.

数列是以1为首项，2为公差的等差数列

（2）解：由（1）知：（=1+2（"-1）=2"-1

"2n-l

.,11（11）

••〃（2〃-1）（2〃+1）2（2〃—12n+lJ

111111-右n

=­X1----+--------1-,••+

23352n—12/14-12n+1

19.己知椭圆C的中心是坐标原点O,它的短轴长2亚，焦点*G0）,点且

OF=2FA.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P,。两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原

点。，若存在，求出直线尸。的方程；不存在，说明理由.

【正确答案】⑴Q）答案见解析.

【详解】【试题分析】（1）利用OF=2E4列方程，可求得。=2,由题意可知人=忘,由此求得

且出去椭圆的标准方程.（2）设直线的方程为丁=左"-3）,联立直线的方程和椭圆的方程,

写出韦达定理，利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,

由此求得上的值.

【试题解析】（1）由题意知，匕=>/5,F（C,0）,A（>-C,0

。产=（孰0）,尸A=（W-2c,0）

20

由。尸=2必，得c="-4c,解得：c=2.

••椭圆的方程为

离心率为=

V63

（2）月（3,0）,设直线尸。的方程为y=3）

y=k（x-3）

联立，x2y,得（1+3斤2）/一18&-+27二-6=0

.T+T"

18公27人6

设尸（刀,凶）,。（%2，%），则占+%=

]+3k2，X'X2~\+3k2

21k1-654&23k2

X%=公[中2-3（再+々）+9]=公+9

1+3/1+3%21+3〃

27*一6*-6

由已知得OPLOQ,得芭%+必必=0,即Z/K。+_^=皿6=0

1+3氏21+3r1+3好

解得：k=土更-,

5

符合△＞（）,.•.直线PQ的方程为尸±半（一）.

20.如图所示，在梯形中，ABIICD,N8CD=12（）。，四边形ACFE为矩形，且CF_L

平面ABC。，AD=CD=BC^CF=-AB=1.

2

⑴求证：EFJ.BC；

（2）点M在线段8尸（不含端点）上运动，设直线8E与平面M4C所成角为。，当sin®=1^

时，确定此时点用的位置.

【正确答案】（1）证明见解析；

⑵点M为线段BF的中点.

【分析】（1）由AB//C。，/38=120。求得48。=60。，在一AfiC中，用余弦定理求得AC,

再使用勾股定理证得AC上BC,即可证出£F23C；

（2）建立空间直角坐标系，设根据直线BE与平面M4C所成角的正弦值为叵,

5

求出实数2的值即可.

【详解】（1）在梯形ABCD中，；AB//CD,4BCD=120°,/.ZABC=60°,

在中，VAB^2,BC=l,

：.由余弦定理4c2=A82+8C2-2-A8-BC・cosNABC=22+12-2x2xlxL=3,

2

，AB2=AC2+BC2,ACIBC,

:四边形ACFE为矩形，AC//FE,

:.EF1BC.

（2）

由第（1）问，AC1BC,又•；CF_L平面ABCD,

...以C为原点，CA,CB,C尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，则由已知C（0,0,0）,A（V3,0,0）,8（0,1,0）,E（6o,l）,尸（0,0,1）,

•.•点”在线段BF（不含端点）上运动，

设3M=/18F=2（0,-1,1）=（0,-42）,2e（0,l）,

ACM=CB+=（0,1,0）+（0,-A,2）=（0,1-2,2）,

又：CA=（6,0,0）,

.,•设平面MAC的一个法向量。=（x,y,z）,则

n-CM=0f（l-Z）y+/lz=0

“,令y=4,则x=0,z=2-l,

小CA=0[Vr3x=0

又•.•BE=（6,-1,1）,直线的与平面MAC所成角为。，当sin6=乎时,

q|—/14-/i-1|-\/10

sin8=cos（九BE

同80^A2+（2-1）2X^55

解得a=；,

二BM=^BF,即点M为线段BF的中点.

21.已知等差数列｛4｝的首项为2,公差为8.在｛4｝中每相邻两项之间插入三个数，使它

们与原数列的项一起构成一个新的等差数列｛q｝.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若咻，%,…，4,,…是从｛q｝中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数

列，匕=1,~3,令仇=成.，求数列也｝的前〃项和

【正确答案】(1)。“=2〃,(〃eN+)；

⑵5=卜勺-»3"

【分析】(1)由题意在｛4｝中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成

Q

一个新的等差数列｛4｝,可知｛%｝的公差"=2=2,进而可求出其通项公式；

(2)根据题意可得Q=2X3"T,进而得到勺=3"\再代入"中得"=止3"、利用错位相减

即可求出前〃项和S”

【详解】(1)由于等差数列｛4｝的公差为8,在｛4｝中每相邻两项之间插入三个数，使它

们与原数列的项一起构成一个新的等差数列｛%｝,则｛/｝的公差d=(=2,｛《,｝的首项和

｛4｝首项相同为2,则数列｛4｝的通项公式为4=2+2(〃-1)=2”,(〃€—).

(2)由于4,4是等比数列的前两项，且匕=1,&=3,则4=2,%=6,则等比数列的

公比为3,则”=2x3-,即2x%,=2x3"Tn2“=3'i,

b„=nk=n-?>"-'S„=1X3°+2X3'+3X32++(〃-1)X3"-2+"X3"T①.

3S„=1X3'+2X32+3X33++(〃-1)X3"'+〃X3"(2).

①减去②得-2S,=l+3i+3?++3"“一小3”=1+织匕"一小3"=-」+('-〃>3".

“1-322

“424

22.已知圆E:(X-2)2+/=4,点E(-2,0),点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分

线交直线尺;于点T,点T的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

⑵已知曲线C上一点M(2,%)(%>o),动圆N:(x-2y+y2=r2(r>0),且点加在圆N外,

过点〃作圆N的两条切线分别交曲线C于点A,B.

(i)求证：直线A8的斜率为定值；

(ii)若直线A8与x=2交于点。，且SAWM=25》例时，求直线A8的方程.

【正确答案】(1)/-汇=1

3

(2)(i)答案见解析

(ii)46x+23y+31=0或22x+lly-13=0

【分析】(1)通过几何关系可知|切一|国=2,且忸耳=4>2,由此可知点T的轨迹是以点E、

F为焦点，且实轴长为2的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；

(2)⑴设点A&,乂)，8(w，必)，直线A8的方程为丫=履+，"，将直线方程与双曲线方程

联立利用韦达定理及输+%=。求