2023-2024学年上海市高二年级下册开学摸底数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市高二下册开学摸底数学模拟试题

一、填空题

1.若直线4与直线4平行，直线4的斜率为-S'，则直线4的倾斜角为.

2

【正确答案】120。##丁

【分析】根据两直线平行，倾斜角相等即可.

【详解】直线4的斜率为-b

所以直线4的倾斜角为120",

直线4与直线平行

所以直线4的倾斜角为1201

故120。

2.设等差数列｛叫的前〃项和为5.，若其=3。，则为=.

【正确答案】6

【分析】利用等差数列前n项和的公式即可.

【详解】&=5"&)=应=30

%=6.

故6.

3.等比数列｛叫中，与=64吗=4,贝i」bg“,8=.

3

【正确答案】-；##-1.5

2

【分析】根据等比数列通项公式得4=±2,4=：,进而根据对数运算求解即可.

【详解】解：因为等比数列｛%｝中，%=64,%=4,

所以，/=冬=与=16,解得夕=±2,

所氏4=十＞1

3

所以，loga18=log,8=log,;.

4.长方体4444-8由的底面4444为边长为i的正方形，高为2,则集合

UUUUUUUUL.

卜|X=44.W4,i,/e{1,2,3,勺中元素的个数为个.

【正确答案】1

【分析】以4为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得

,UUUILUUUUx

{x|x=44吗,i,Je{l,2,3,4}}={4},即可得答案.

【详解】解：以4为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则4(0,0,0),4(1,0,0),4(1,1,0),4(0,1,0),4(0,0,2),与(1,0,2),B3(l,l,2),凡(0,1,2),

UULtU.

因为4A=(0,0,2),

UUUUL

则对任意i,jw{1,2,3,4},AiBj=(加，〃，2),

UUUU.UUUUL

均有A}B}2出=〃?x0+〃x0+2x2=4,

zUUUUUUUUL\

所以集合k|X=A用aB/Je{1,2,3,4}}={4},只有一个元素.

故1

5.数列{。“}的前”项和S"="2+〃-3,则q=.

【正确答案】8

【分析】利用S,和%的关系即可.

1

【详解】■：Sn=n+n-3,

:.S4=42+4-3=17,

2

53=3+3-3=9

:.a4=S4-S}=17-9=8.

故8.

6.已知抛物线y=f上一点A到此抛物线焦点的距离为那么点A的纵坐标为

【正确答案】＞#0.25

【分析】利用抛物线的定义求解.

【详解】解：抛物线y=Y的标准方程为》2=人

则焦点为尸［°［），准线方程为L；，

设z（x,y）,

因为抛物线上点A到此抛物线焦点的距离为g,

所以

解得广：,

故：

7.已知数列｛““｝中，［=2,2%=-1+6用（〃是正整数），则数列的通项公式％=

【正确答案】〃eN*

【分析】等式2勺=-1+”向两边同时除以2"“，可得%=-」1+%斗，后由累加法可得

1112〃2**1+12〃+i

数列的通项公式.

【详解】等式2勾=-1+。“+1两边同时除以2田，可得%=-」+%¥，

112〃2〃+i2"1

2

贝l|%=|一(g]2=3N,t-1,

故%=3-2"J,

8.过双曲线2/-/=2的右焦点作直线/交双曲线于48两点，若|AB|=4,则这样的直线

有条.

【正确答案】3

【分析】根据题意设直线/的方程为x=my+G，进而联立方程，结合弦长公式得

1+/=|2疗进而解方程即可得用=士近或加=0且均满足条件，进而得答案.

2

【详解】解：由题知双曲线的标准方程为X2-二=1,

2

所以，双曲线的右焦点为（百,0）,

所以，设直线/的方程为x=/ny+6，

联立方程卜:"沙得（2/-1）/+4月呼+4=0

2x2-7=2、'

所以，△=48"?2_16（2"/_1）=16"[2+[6>0,2"/_]片0,

设”（演,必）、8（%,为），则X+%=：,'：,M为=,:J

2m—12m—1

所以，由弦长公式得|।型?]——/_=：（1：,）=4,

11式2机2/n2-l|2W2-1|

所以，1+/=R/-1],即1+/=2加2一1或1+加2=2m2，解得〃2=±啦或加=0,此时

直线/的方程为x=±隹F+百或x=g\

综上，满足条件的直线/的方程为x=±隹y+百或工=百，共3条.

故3

x2y2z

9.已知A,B,C是椭圆7+F=1(fl>b>0）上的三个点。为坐标原点，点48关于原点对

称，NC经过右焦点尸，若目且|/F|=2|CF|,则该椭圆的离心率是.

【正确答案】正

3

【分析】利用对称性和几何关系，建立两个I/日和。的方程，然后解方程即可.

【详解】设椭圆的左焦点耳(-。,0),连接/耳,8耳＜耳.

AF1BF,

设|C尸|=m,|/尸|=2m,

由对称性可知：|AF]|=|BF\=2a-2m,

且|2+|BF|2=|ABI2,

4m2+(2a-2m)2=(2c)2,①

在Rt/耳C中，|。耳|=2"相，

9w2+(2a-2w)2=(2a-w)2,

a=3m,联立①式，

解得椭圆的离心率e，=^.

a3

故在

3

10.已知数列｛“"｝满足q=-1,%＞外,数列｛%｝的奇数项单调递减，数列｛”“｝的偶数项单

调递增，若|a“M-q,|=2"(〃eN*),则数列｛a,,｝的通项公式为%=_.

【正确答案】(一2)“-1

3

【分析】法一：用列举法得q=-1，%=1，%=-3,(=5,4=21,找规律

得-对=(T)'"2"，再利用累加法及等比数列前n项和公式可求其通项;

法二:由已知有出用一，“=拉2"，，，一?1=±2*1从而有生川-%-产或.土产-'，再结

合数列的奇、偶项的单调性得。向-4=(-1)，，+12",再利用累加法及等比数列前n项和公式

可求其通项.

【详解】法一：先采用列举法得4=-1，的=1,%=-3,%=5,a,=-11,4=21,

…，然后从数字的变化上找规律，得。用一%=(一1)""2",

所以勺=仅"-《1)+3,1-a“-2)+…+。-田)+%

=(-1)"-2"-'+(-I)'7•2”以+...-22+2-1=[联-2)"T]=HI"-1.

-2—13

法二:因为出“+「出“=笆"，?.-味1=±221，

所以％「g尸±22"±2"，

2

而递减，所以。2用＜0，故a2n+i-«2„=-2";

同理，由｛外,｝递增，得，“一出小=221；

又外＞%,所以j-a“=(-l严2",

所以*=S"-«,.-1)+伍,1-%-2)+,••+32-卬)+%

=(-1)"-2"-'+(-1)"-'-2"々+----22+2-1=皿-2)"-1]=(-2)”二1.

-2—13

11.设点P(xQi)是C：x2+_/=l上的动点，点。(々,%)是直线/：2x+3y-6=0上的动

点,记Lp°=-x2\+|%-刃,则LPQ的最小值是.

【正确答案】2-姮

3

【分析】设尸(cosO,sin0),O"＜2兀，将(°转化成探求线段尸。长最值问题求解作答.

【详解】依题意，设P(cosd,sine),04，＜2兀，显然圆C与直线/相离，

LPQ=卜一%|+苗一乃卜优一乃y+2百一彳2。一力|

=J|JQ|2+2«—切弘一刃斗PQ,当且仅当、一%恒—=0时取"="，

当I再一到=。时，x2=x｝=cos0,y2=2——cos。，y]=sin0,

2

sine=

q确定,

\pQ\=^-sin(0+*)-2,其中锐角。由，

C6S(p=

V13

此时|P0|=2-孚sin(O+砌22一半，当且仅当sin(0+9)=1时取”=，，,

3

当I凹一为|=°时，％=%=$由°，x2=3--sin^,M=cose，

2

sin°=

手确定,

|尸。|=*-sin(6+0)-3,其中锐角。由

。=

COS713

此时闸=3一半sin仰0)23一半,当且仅当sin(6+协=1时取“=”,

显然3一孚>2-半，因此,当/-x?|帆-必1=0时，IP01mhi=2-半,则

(Lpq)min=2———，

所以%。的最小值是2-姮.

3

故2.巫

3

思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变

化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.

12.对于数列｛凡｝,令7；=%-%+%-%+-+(-1)*&，给出下列四个结论:

①若。“=〃，则723=1012；

②若。=〃，则。2022=-1：

③存在各项均为整数的数列｛q｝,使得园>上」对任意的〃eN*都成立;

④若对任意的"N*,都有圜则有

其中所有正确结论的序号是.

【正确答案】①②④

【分析】逐项代入分析求解即可.

【详解】对于①：

因为=a,-a2+a3-a4+---+(-1)"%,

且因为,

所以7；=]_2+3-4+…+(_])"),

所以岂。23=1-2+3—4+…+2021-2022+2023=-1011+2023=1012,

故选项①正确；

对于②：若北="，则

T„=a]-a2+a3-a4+---+(-\y''an=n

所以1+1=%_%+。3_%+-+(-1)““。”+(-1)“'%,用="+1，

所以两式相减得(-1)"*2a,M=1,

所以㈠产42=1，

所以一,022=1，

所以。2022=T，

故选项②正确；

对于③：|。|=,1-+%-4+…+(-1)*'。/>

,,+2

|。+」=卜1-%+%-%+…+(-1严%+(-1)0„+||,

所以若因〉|加|对任意的nwN，都成立，

则有园>园>园>园>园>闽>“.>园，

所以同>[%一2|>|。|一。2+%|>|《_02+%_44|>|%_々+%-%+%|>

-a,+%-4+牝-…+a31a4+%-4+…+(-1)aj>卜1-a,+%-4+%-4+…+(-1)"”+i

因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从|4越来越小，之后甚至会出现o大于某数绝

对值的情况，例如：1000>300>100>20>5>3>2>1>0>...,后续还会有绝对值，但是会

有矛盾，故选项③错误；

对于④：

若对任意的“wN",都有圜<加，

则有

=闻用-%+an-\-a„-\-%+…-%+。2-q+%|

da+aa

=|(n+l-n„-\~n-2+…+%++”"-2-…一出+6)|

-|"”+l-an+an-}~a„-2+…+。2-“I|+卜4-1+a„-2--~a2+ai\

=\-Tn+l\+\Tn_i\<M+M=2M.

故选项④正确；

故①②④.

二、单选题

13.若动点M(x/)满足5J(x—1y+(y-2)2=|3x-4y+1Z,则点M的轨迹是()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【正确答案】D

【分析】根据题意，化简得到J(x-l)z+(y_2/」标?+12,结合抛物线的定义，即可

求解.

【详解】由题意，动点M(xj)满足5j(x-l)2+(y-2)2=|3x-4y+12卜

即J(x7『+(y_2)2="?+14,

即动点M(x,y)到定点(1,2)的距离等于动点"(xj)到定直线3x-4y+12=0的距离，

又由点(1,2)不在直线3x-4y+12=0上，

根据抛物线的定义，可得动点〃的轨迹为以(L2)为焦点，以3x-4y+12=0的抛物线.

故选：D.

14.若直线速+妙=1与圆f+y2=i无公共点，则点尸(a,6)与圆的位置关系是()

A.点P在圆上B.点尸在圆外

C.点P在圆内D.以上都有可能

【正确答案】C

【分析】利用圆心到直线的距离小于圆的半径可得出关于。、6的不等式，即可判断出点P

与圆，+/=i的位置关系

【详解】圆/+下=1的圆心为。(0,0),半径为1,

1,

因为直线"+如=|与圆f=1无公共点,则J。、方＞1，所以,a2+b2<1>

因此，点P在圆V+/=i内.

故选：C.

15.已知4B、C是空间中不共线的三个点，若点。满足方+2漏+3灰=0,则下列说法

正确的一项是（）

A.点。是唯一的，且一定与4B、C共面

B.点。不唯一，但一定与4B、C共面

C.点。是唯一的，但不一定与4B、C共面

D.点。不唯一，也不一定与4B、C共面

【正确答案】B

【分析】由9+2万+3反=0，可得。4=一2。8-30。，从而有O4O80C共面，。,4丛。

四点共面，再结合4B、C不共线，即可得答案.

【详解】由空间向量的知识可知4,友。共面的充要条件为存在实数'J,使。=X4+J仍，

因为方+2方+31=0，

UUlflUUliUUL1

所以O/=-2O8-3OC，

所以而，无，玩共面，

所以0,48,C四点共面，

又因为4B、C不共线，

所以满足此关系的点。有无数个，

所以点。不唯一，/、B、C共面.

故选：B.

16.将数列｛%｝中的所有项排成如下数阵：

已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数卬,%，的……，成等差数列，且

«2=4,«IO=1O.从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以g为公比的等比数列,

则下列结论错误的为（）

A.q=1B.%<*

_133

C.。2022位于第85列D.“2023=

【正确答案】C

【分析】分析所给数阵的特点，计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式，可得A正确;

分析计算%2,4“用的表达式，比较可得B正确；通过计算可知的3位于数阵第45行第86歹

故C错误；仁必位于数阵第45行第87个数，代入等比数列通项公式可得D正确.

【详解】将等差数列g%,%，即），…，记为也｝‘则公差"=氏/=等=3,

所以q=%-3=1,4=1+3("1)=3"2,故A正确;

因为“+I=4.=1+("+1T)X3=3〃+137-2<37+1=^，

"(2)22"-2+1

故B正确;

第1行的项数，第2行的项数，L,第发行的项数，构成以1为首项，2为公差的等差数列,

即第人行有2%-1项，前％行有."2%二「=公项,

2

因为1936=44?<2022<45,=2025,而2022=1936+86,则出值位于第45行从左边数第86

项，即见必位于第86列，故C错误；

。2023=45、（；）=（3x45-2）x（1）故D正确.

故选：C.

三、解答题

17.如图，在正三棱柱Z8C-44G中，AAt=AC=2,分别为CG，48的中点.

⑴证明：ED//平面4BC；

（2）求直线CG与平面483所成角的大小.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）4

【分析】（1）取28中点F，连接证明。E〃CF,根据线面平行的判定定理即可证

明DE〃平面Z8C.（2）分别取4C,4G中点O,Q,连接。08,以。为原点，OBQCQO、

所在的直线分别为x轴，＞轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法计算即可求

出结果.

【详解】（1）证明：

B

取48中点尸，连接

因为正三棱柱"8C-44G，

所以CCJ/AA,且CC|=才4=2,

因为E为线段48的中点,

所以/7/441且=

所以EF//C&且EF=1,

因为。为CC,中点，所以C0=1.

所以EF//CD且EF=CD.

所以四边形CDEF是平行四边形.

所以DE//CF.

又因为平面48C,CFu平面/8C,

所以。E〃平面A8C.

（2）解：

分别取/C,4G中点0，q，连接oq,O8,

因为N8C-4AG是正三棱柱，

所以OO"441,"4"L平面Z8C,OB1AC.

所以。01_L平面N8C.

所以。01_L08,OO}IOC.

以。为原点，08,。。,。。所在的直线分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系.

则/（0,-l,0），4（0,T2）,C（0,L0），G（0,1,2）,5（石0,0）,0（0,1,1）.

所以福=（"1,-2）,%=（0,0,2）,丽=卜百,1,1）.

设平面4加9的法向量为7=（x,y,z）,

A.Bn=0y/3x+y—2z=0

所以丽万一。’即-瓜+"Z=。

令y=l，解得X=6,z=2,所以5=(石,1,2).

设直线CG与平面48。所成角为e,0<^<p

|>/3x0+lx0+2x2|72

则sin0=

H五讣圈二2x73+1+4—2，

所以e=2.

4

即直线3与平面所成角为夕7T

4

18.记S,为公比不为1的等比数列｛。,,｝的前〃项和，a5-a4=-Sa2+Sat,Sb=2\.

(1)求｛凡｝的通项公式：

(2)设”,=log2端，若由｛«,,｝与低｝的公共项从小到大组成数列｛与｝，求数列｛，｝的前"项和

T“.

【正确答案】(l)a“=(-l)"x2"T

⑵…

【分析】(1)设等比数列的公比为q(4*I),由“5-4=-8%+8%求出9,再由等比数列求

和公式求出4,即可得解;

(2)由(1)可得"=2(〃-1),即可得到数列｛"｝的特征，令。“>0,求出〃的取值，即可

得到｛%｝为以2为首项，4为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.

【详解】⑴解:设等比数列的公比为4何"),

}3

因为生-&=一犯+能，Wa2q-a}q=-8(a2-a,),即/=-8,所以q=-2,

又々=21,即“I-2)Li，解得《=-1,

1-(-2)

所以%=-1x(-2)”'=

(2)解：由(1)可得"=瘀2。；=1%((-1)隈22『=旗2241)=2(〃-1),

则数列也｝为0、2、4、6、……，偶数组成的数列，

又a“=(-l)"x2"T,令q,>0,则〃为正偶数，

所以q=2,C2=2\C3=2\……，%=2"‘，

所以｛c,｝为以2为首项，4为公比的等比数列,

所以T=_i----L=----L.

"1-43

19.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.

为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽

车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每

一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超

过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列｛4“｝,每年发放的电动型汽

车牌照数为构成数列｛"｝,写出这两个数列的通项公式；

(2)从2013年算起，求到2029年(包含2029年)累计各年发放的牌照数.

[-0.5n+10.5,l<«<20[2.(15)"''l<n<4

【正确答案】⑴见=„，"=，2’二

I0,n>216.75/25

(2)206万张

【分析】(1)利用等差数列通项公式可得4=-0.5〃+10.5,结合题意可得”=21,%=0,根

据等比数列通项公式可得2=2-(1.5广‘，结合题意利用前"项和公式判断可得p=4；(2)

根据(1)分别求数列｛4“｝、｛”,｝的前17项和，再相加.

【详解】(1)设当加时，数列｛勺｝为等差数列，贝1」％=10-0.5(〃-1)=-0.5〃+10.5

根据题意令勺=-0.5〃+10.5=0,则〃=21

-0.5〃+10.5,1</?<20

；・加=20,贝ija=

n0,/?>21

M-1

设当14”4P时，数列也｝为等比数列，则»=2-(1.5)'

其前〃项和S,=2(；：；')=4(1.5"-1)为递增数列，且$3=9.5<15,$=16.25>15

..,……2-(1.5)，"1,1<«<4

p=4,a=6.75,贝帅,=｛、'

6.75/25

(2)根据题意可得到2029年(包含2029年)，即为第17年

对于数列｛q｝的前17项和T｝1=a｝+a2+...+al7=、("詈)=102

对于数列｛〃｝的前17项和S[7=4+H+…+&7=4+打+&+a+13x4=S4+13x6.75=104

到2029年(包含2029年)累计各年发放的牌照数为102+104=206(万张)

20.已知二次曲线C*:「一+」一=1.

*9-k4-k

(1)求二次曲线G的焦距和离心率；

(2)若直线/与二次曲线C$及圆Ux?+(y_3『=4都恰好只有一个公共点，求直线/的方程；

(3)任取平面上一点尸(",v)("vx0),证明：G中总有一个椭圆和一条双曲线都通过点P.

【正确答案】⑴焦距为2右，离心率为姬

4

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)根据椭圆的焦距与离心率即可得解；

(2)分直线/的斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线/的斜率存在时，设方程为>=h+6,

根据直线与圆只有一个交点求出4,b的关系时，再联立直线与曲线方程，结合根的判别式即

可得出答案；

(3)分别求出曲线表示椭圆和双曲线时k的范围，再将点尸("》)("丫*0)代入，结合二次函

数的性质及零点的存在性定理即可得出结论.

【详解】(1)解：二次曲线q：占+乙=1为焦点在x轴上的椭圆，

83

a2=8,〃=3,c2=5,

所以焦距为2VL离心率为£=叵；

a4

2

(2)解：二次曲线。5：土-V=1为焦点在X轴上的双曲线，

54

圆Ux?+(,-3)2=4的圆心C(O,3),半径厂=2,

当直线/的斜率不存在时，圆。：/+3-3)2=4的切线方程为x=-2或x=2,

在方程--_/=1中，当x=±2时，y=0,

4'

所以直线x=-2和x=2与曲线G只有一个公共点,

当直线/的斜率存在时，设方程为尸=米+占，即Ax-y+b=O,

圆心C(O,3)到直线/的距离1=后±=2,

kx—y+b=0

联立/2，消了得0-4公18妨x-4/-4=0,

14，

当1_4公=0,即4=±；时，直线/与曲线只有一个公共点,

此时6=3土JJ,

所以直线/的方程为歹=gx+3+下或y=-；1+3+君或y=；x+3—指或

y=—x+3-5/5,

2

当1一442。0,即％H士;时,

则△二64公"一4(1一叱)(-4^-4)=0,整理得〃+1=4-，

b=-b

结合=2,解得「或,

,V13

k----

6

所以直线/的方程为限+1或一率汽,

综上所述直线/的方程为x=-2或x=2或y=；工+3+右或y=-+3+y/5或

y=~x+3—V5或、=_：x+3-逐或,=；

22,63,63

(3)证明：当曲线Q表示椭圆时，9—k>4—k>0,贝1］左<4,

当曲线C.表示双曲线时，则4<%<9,

把点P(〃#)("vxO)代入得£+」1=1,

9-k4-k

即k2+(M2+V2-13)4+36-4"2-9/=0,

设/⑻:人+俨+d-於快+36-4“2-9巴它是关于左的二次函数，且图象开口向上，

因为/(4)=16+4/+4--52+36-4/-9-=-5v2<0,

/(9)=81+9u2+9v2-117+36-4u2-9v2=5v2>0,

所以函数〃左)在(-8,4)内穿过一次x轴，在(4,9)内穿过一次x轴，

即方程/(左)=0一个根在(-8,4)上，一个根在(4,9)上，

所以G中总有一个椭圆和一条双曲线都通过点P.

第三问转化为函数的零点存在定理是关键

21.已知数列也,｝的各项均为正数，其前〃项和为S”，且满足4s“=(可+1『，若数列也,｝满

足“=2,b2=4,且等式"=".|配1对任意〃22成立.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵将数列｛%｝与也｝的项相间排列构成新数列外,々,。2也,LM,也,L,设该新数列为｛c,与

求数列｛%｝的通项公式和前2〃项的和T2„；

(3)对于(2)中的数列｛c,｝前〃项和7；,若7；匙九%对任意〃eN*都成立，求实数入的取

值范围.

n,"为奇数