江苏省江阴市暨阳中学2023-2024学年数学九年级上册期末达标检测模拟试题含解析

江苏省江阴市暨阳中学2023-2024学年数学九上期末达标检测模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列事件中，是必然事件的是（）

A.购买一张彩票，中奖B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.任意画一个三角形，其内角和是180。D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

2.如图，滑雪场有一坡角a为20。的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为

200业

A.20()tan20。米B.--------T米C.200sin20咪D.200cos200米

sin20

3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5c〃z，6c机和9cm,另一个三角形的最短边长

为2.5cm,则它的最长边为()

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

4.二次函数y=av2+fer+c（«,b,c为常数，且中的x与>的部分对应值如下表:

X-2-1012

y50-3-4-3•••

以下结论：

①二次函数.丫=0^+加+。有最小值为~4；

②当x<i时，>随8的增大而增大；

③二次函数y=ax2+/zr+c的图象与x轴只有一个交点;

④当-l<x<3时，y<0.

其中正确的结论有（）个

A.1B.2C.3D.4

5.一种商品原价45元，经过两次降价后每盒26元，设两次降价的百分率都为X,则X满足等式（）

A.26(l+2x)=45B.45(l-2x)=26C.45(1-X)2=26D.26(1+x)2=45

6.如图，^ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若4ADE与aABC相似，则下列结论一定成立的

是（）

A.E为AC的中点B.DE是中位线或AD・AC=AE-AB

C.ZADE=ZCD.DE〃BC或NBDE+NC=180°

7.抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,则朝上一面的数字为2

的概率是（）

8.在同一坐标系中，二次函数^=0^+6的图象与一次函数y=Zu+q的图象可能是（）

9.在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共40个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中

摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能（）

A.4个B.6个C.34个D.36个

10.如图，已知A、B是反比例函数y=K（k>0,x>0）上的两点，BC〃x轴，交y轴于C,动点P从坐标原点O出发,

X

沿OTATBTC匀速运动，终点为C,过运动路线上任意一点P作PMJ_x轴于M,PNJLy轴于N,设四边形OMPN

的面积为S,P点运动的时间为t,则S关于t的函数图象大致是（）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，已知48是。。的直径，弦CD与48相交，若N8Q9=24。，则NA8O的度数为一度.

12.已知4='+』=2。=_^+1二,/=_^+_[=3

则

11x2x323-2x3x438支3x4x5415

二----------------

13.如图，点3（-1,4）、。（。,-4）在04上，点A在x轴的正半轴上，点。是A上第一象限内的一点，若NO=45。,

则圆心A的坐标为一.

14.若圆锥的底面半径为3cm,高为4cm,则它的侧面展开图的面积为cm1.

15.写出一个具有性质“在每个象限内y随x的增大而减小”的反比例函数的表达式为.

16.将直角边长为5cm的等腰直角aABC绕点A逆时针旋转15°后，得到AAB'C',则图中阴影部分的面积是cm1.

B

17.如图，AB是半圆。的直径，四边形ABC。内接于圆。，连接BD，AD=BD，则NBCO=_______度.

D

18.如果3是数x和6的比例中项，那么x=

三、解答题（共66分）

19.（10分）先化简，再求值：3+3）2-（。+1）（。-1）一2（2。+4）,其中。=—耳.

20.（6分）已知：如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC="3",tanZBAC=-,将NABC对折，使点C的对应

4

点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O,以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系

（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；

（2）若在线段AB上有一动点P,过P点作x轴的垂线，交抛物线于M,设PM的长度等于d,试探究d有无最大值,

如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由.

（3）若在抛物线上有一点E,在对称轴上有一点F,且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E

的坐标.

21.(6分)为全面贯彻党的教育方针，坚持“健康第一的教育理念，促进学生健康成长，提高体质健康水平，成都市

调整体育中考实施方案：分值增加至60,男1000(女80米)必考，足球、篮球、排球“三选一”……从2019年秋季

新入学的七年级起开始实施，某1学为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学

生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图。请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)求参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图

(2)若该中学七年级共有400名学生，请你估计该中学七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名？

(3)若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象，请用列

表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率.

22.(8分)如图1,在平面直角坐标系xOy中，函数y=:(〃?为常数，心1,X>())的图象经过点P(M和。(1,加)，

直线PQ与x轴，y轴分别交于c,。两点.

(1)求NOCD的度数；

(2)如图2,连接。。、OP,当NDOQ=NOCD-NPOC时,求此时〃，的值：

(3)如图3,点A，点8分别在x轴和)'轴正半轴上的动点.再以。4、OB为邻边作矩形若点M恰好在函数

J??

丁=一(加为常数，m>],x>0)的图象上，且四边形84PQ为平行四边形，求此时Q4、OB的长度.

x

23.(8分)如图，在正方形ABCD中，AB=4,动点尸从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段方向匀速运

动，到达点5停止.连接。尸交AC于点E,以。尸为直径作。。交AC于点尸，连接OF、PF.

(1)求证：△OPF为等腰直角三角形；

(2)若点尸的运动时间/秒.

①当，为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；

②将△EFP沿尸尸翻折，得到△。尸尸，当点。恰好落在8c上时，求f的值.

DDD

（备用图1）（备用图2）

24.(8分)求值2sin30+10cos60-4tan45：

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）点F是线段AD上一个动点.

Ap1

函图1,设左=—,当k为何值时，CF^-AD.

AD2

②（0图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与AA6C相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由.

26.(10分)解方程：(1)3x2-x=3i

(2)(x-2『-x+2=0.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

【解析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【详解】解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故A不符合题意；

B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B不符合题意；

C、任意画一个三角形，其内角和是180。，是必然事件，故C符合题意；

D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了随机事件、不可能事件，随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必

然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.

2、C

【解析】解：VsinZC=——，：.AB=AC»sinZC=200sin20°.故选C.

AC

3、C

【解析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得.

【详解】设另一个三角形的最长边为xcm,由题意得

5：2.5=9：x,

解得：x=4.5»

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键.

4、B

【分析】根据表中数据，可获取相关信息：抛物线的顶点坐标为（1,-4）,开口向上，与x轴的两个交点坐标是（一

1,0）和（3,0）,据此即可得到答案.

【详解】①由表格给出的数据可知（0,-3）和（2,-3）是一对对称点，所以抛物线的对称轴为二芋=1,即顶点的横

坐标为x=l,所以当x=l时，函数取得最小值一4,故此选项正确；

②由表格和①可知当xVl时，函数y随x的增大而减少；故此选项错误；

③由表格和①可知顶点坐标为（1,-4）,开口向上，.•.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，一个是

（-1,0）,另一个是（3,0）；故此选项错误；

④函数图象在x轴下方y<0,由表格和③可知，二次函数>=以2+法+。的图象与x轴的两个交点坐标是（一1,0）

和（3,（））,...当-l<x<3时，y<0；故此选项正确；

综上：①④两项正确，

故选：B.

【点睛】

本题综合性的考查了二次函数的性质，解题的关键是能根据二次函数的对称性判断：纵坐标相同两个点的是一对对称

点.

5、C

【分析】等量关系为：原价X(1-下降率)2=26,把相关数值代入即可.

【详解】解：第一次降价后的价格为45(Lx),

第二次降价后的价格为45(Lx)•(Lx)=45(Lx)2,

.••列的方程为45(1-x)2=26,

故选：C.

【点睛】

本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关

系为a(l±x)2=b.

6、D

【分析】如图，分两种情况分析：由AADE与AABC相似，得，NADE=NB或NADE=NC,故DE〃BC或

ZBDE+ZC=180°.

【详解】因为，AADE与AABC相似，

所以，NADE=NB或NADE=/C

所以，DE〃BC或NBDE+NC=NBDE+NADE=180°

故选D

【点睛】

本题考核知识点：相似性质.解题关键点：理解相似三角形性质.

7、A

【解析】直接得出2的个数，再利用概率公式求出答案.

【解答】•••一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次，

...朝上一面的数字是2的概率为：i.

6

故选A.

【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.

8、C

【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可.

【详解】A.由一次函数图像可得：a>0,由二次函数图像可得：a>0,*0,故A选项不可能.

B.由一次函数图像可得：«>0,*<0；由二次函数图像可得：a>0,。>0,故B选项不可能.

C.由一次函数图像可得：a<0,於0；由二次函数图像可得：a<0,b>0,故C选项可能.

D.由一次函数图像可得：a>0,b>0；由二次函数图像可得：«<0,*0,故D选项不可能.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键.

9,B

【解析】试题解析：•.•摸到红色球的频率稳定在15%左右，

...口袋中红色球的频率为15%,故红球的个数为40xl5%=6个.

故选B.

点睛：由频数=数据总数x频率计算即可.

10、A

【详解】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K,保持不变，故排除B、D；

②点P在BC上运动时，设路线O-A—B—C的总路程为I,点P的速度为a,贝US=OCxCP=OCx(1-at),因为1,

OC,a均是常数，所以S与t成一次函数关系，故排除C.

故选A.

考点：动点问题的函数图象.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、66

【解析】连接AD,根据圆周角定理可求NADB=90。，由同弧所对圆周角相等可得NDCB=NDAB,即可求NABD的

度数.

【详解】解：连接AO,

TAB是直径,

：.ZADB=90°,

'：ZBCD=24°,

：.ZBAD=ZBCD=24Q,

：.ZABD=66°,

故答案为：66

【点睛】

本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求NADB=90。是本题的关键.

100

12、

9999

【解析】试题解析：等号右边第一式子的第一个加数的分母是从1开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数

的分子是1,分母是2,结果的分子是2,分母是1x3=3；

等号右边第二个式子的第一个加数的分母是从2开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数的分子是1,分母是

3,结果的分子是3,分母是2x4=8；

等号右边第三个式子的第一个加数的分母是从3开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数的分子是1,分母是

4,结果的分子是4,分母是3x5=1.

99+1100

所以399=

99x1019999

考点：规律型：数字的变化类.

13、（3,0）

【分析】分别过点B,C作x轴的垂线，垂足分别为E,F,先通过圆周角定理可得出ZBAC=90°,再证明ABEA丝AAFC,

得出AE=CF=4,再根据AO=AE-OE可得出结果.

【详解】解：分别过点B,C作x轴的垂线，垂足分别为E,F,

VZD=45",.,.ZBAC=90".

AZBAE+ZABE=90°,NBAE+NCAF=90°,

.,.ZABE=ZCAF,

又AB=AC,ZAEB=ZAFC=90°，

/.△BEA^AAFC(AAS),

；.AE=CF,

XVB,C的坐标为8(-1,a)、C伍，-4),

.,.OE=1,CF=4,

二OA=AE-OE=CF-OE=1.

...点A的坐标为(1,0).

故答案为：(1,0).

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，根据已知条件作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

14、15万

【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.

【详解】•••圆锥的底面半径为3cm,高为4cm

圆锥的母线长=,3?+4,=5(cm)

二圆锥的侧面展开图的面积=71x3x5=15^-(cm2)

故填：15万.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长.

15、y=3±(答案不唯一)

x

【解析】根据反比例函数的性质，只需要当k>()即可，答案不唯一.

3

故答案为y=—(答案不唯一).

x

世25有

10>--------

6

【解析】:等腰直角AABC绕点A逆时针旋转15。后得到

•・・NCAC=15。，

AZCrAB=ZCAB-ZCACr=45°-15°=30°,ACr=AC=5,

:.阴影部分的面积=-x5xtan30°x5=空叵.

26

17、1

【分析】首先根据圆周角定理求得NADB的度数，从而求得NBAD的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得未知

角即可.

【详解】解：:AB是半圆O的直径，AD=BD,

AZADB=90°,ZDAB=45°,

•••四边形ABCD内接于圆O,

AZBCD=180°-45°=1°,

故答案为：1.

【点睛】

考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是根据圆周角定理得到三角形ABD是等腰直角三角形,

难度不大.

18、3

2

【分析】根据比例的基本性质知道，在比例里两个外项的积等于两个内项的积.

【详解】因为，在比例里两个外项的积等于两个内项的积，

所以，6x=3x3,

x=9+6,

3

x=—,

2

3

故答案为：

2

【点睛】

本题考查了比例中项的概念，熟练掌握概念是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19>1

【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+i）（a-D利润平方差公式可化为（片-1）,,则将各

项合并即可化简，最后代入”=-,进行计算.

2

【详解】解：原式=储+6。+9-（/I）-4〃-8

=2。+2

将a=代入原式=2x[—g）+2=l

【点睛】

考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中

要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变.

2

20、(1)y=-x--xt(2)当t=!时，d有最大值，最大值为2；(3)在抛物线上存在三个点：Ei(g,-g),E2

242232

(V>—)>E3(」，—使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形.

【解析】(1)在RtaABC中，根据NBAC的正切函数可求得AC=1,再根据勾股定理求得AB,设OC=m,连接OH

由对称性知，OH=OC=m,BH=BC=3,ZBHO=ZBCO=90°,即得AH=AB-BH=2,OA=l-m.在Rt^AOH中，根

据勾股定理可求得m的值，即可得到点。、A、B的坐标，根据抛物线的对称性可设过A、B、O三点的抛物线的解析

式为：y=ax(x-j):,再把B点坐标代入即可求得结果；

315

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,根据待定系数法求得直线AB的解析式，设动点P(t,—/+—),则M(t,

48

先表示出d关于t的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果；

24

(3)设抛物线丫:,一一*》的顶点为口，先求得抛物线的对称轴，与抛物线的顶点坐标，根据抛物线的对称性，A、

24

O两点关于对称轴对称.分AO为平行四边形的对角线时，AO为平行四边形的边时，根据平行四边形的性质求解即

可.

【详解】(1)在RtAABC中，

3

VBC=3，tanZBAC=-,

4

.*.AC=1.

AB=^BC2+AC2=A/32+42=5•

设OC=m,连接OH

由对称性知，OH=OC=m,BH=BC=3,ZBHO=ZBCO=90°,

.♦.AH=AB-BH=2,OA=l-m.

3

二在RL6,AOH中，OH2+AH2=OA2,BPm2+22=(l-m)2,得m=—.

2

35

.,.OC=-,OA=AC-OC=-,

22

53

AO(0,0)A(-,0),B3).

22

设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax

31

把X=-,,y=3代入解析式，得a='.

2

y=lxU)=lx-^.

2224

1,5

即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=-f—-%.

24

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,根据题意得

3

--+b=3

2315

/，解之得％=—二，b-

，+b=048

12

315

直线AB的解析式为y=—X+—.

48

设动点P(t,----1H-----),则M(t,—V-----1).

4824

,315、15,11151/1、2c

.♦.d=(一一t+—)—(-r2一一t)=—t2+-t+—=——Q——)+2

482422822

.•.当1=工时，d有最大值，最大值为2.

2

⑶设抛物线.『］二%的顶点为D.

5丫25

x------,

2424)32

1|25

...抛物线的对称轴x=-,顶点D

2232

根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称.

当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是

平行四边形.这时点D即为点E,所以E点坐标为(5;，-二25).

432

当AO为平行四边形的边时，由0A=2,知抛物线存在点E的横坐标为*+*或即:或-*,

2424244

分别把x=：和x=-g代入二次函数解析式)，=，/一3犬中，得点E(:,2)或E(-L,孕).

442443224

所以在抛物线上存在三个点：Ei(-,E22)，E3三)，使以O、A、E、F为顶点的四边形

232432232

为平行四边形.

考点：二次函数的综合题

点评：此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用.

2

21、(1)21,图形见解析；(2)180；(3)P=-

3

【分析】（D先根据足球人数及其百分比求得总人数，再用总人数乘以排球人数占总人数的百分比可得排球人数，即

可补全图形；

（2）根据样本估计总体，先求出喜爱篮球运动人数的百分比，然后用400乘以篮球人数占百分比，即可得到喜爱篮球

运动人数；

（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出1名男生和1名女生的情况数，根据概率公式即可得出所求概率.

【详解】解：（1）124-20%=6（）（人），

60x35%=21（人）.

所以，参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生有21人.

补全条形图如下：

（2）400x（1-35%-20%）=180（人）.

所以，该中学七年级学生中，喜爱篮球运动的学生有180人.

（3）

开始

/1\/1\/|\/1\

男2女1女2男1女1女2男】男2女I男1男2女1

共有12种等可能情况，（男I,男2）、（男1,女I）、（男1,女2）、（男2,男1）、（男2,女I）、（男2,女2）、（女I,男

1）、（女1,男2）、（女I,女2）、（女2,男D、（女2,男2）、（女2,女1）,其中，1名男生和1名女生有8种.

Q9

所以，抽到1名男生和1名女生的概率尸=2=9.

123

【点睛】

此题考查了条形统计图、扇形统计图以及列表法与树状图法，解题的关键是理解条形图与扇形图中数据间的关系.

22、(1)ZOC£>=45°；(2)*应+1；(3)OA=OB=]-^-

【分析】(1)根据点P、Q的坐标求出直线PQ的解析式，得到点C、D的坐标，根据线段长度得到NOCD的度数；

(2)根据已知条件求出NQOP=45。，再由。。2+PC2=PQ2即可求出m的值；

(3)根据平行四边形及矩形的性质得到NB4O=NDCO=45。，。4=。3,设设。4=。8=〃，得到点M的坐标,

又由45=PQ两者共同求出n,得到结果.

【详解】(1)由尸(加,1),得”=一式+(加+1),

:.。(0,加+1),C(m+l,O)

:.0C-OD=m+1,

:.ACOD为等腰直角三角形，

Z<9Cr>=45°；

(2)VZDOQ=ZOCD-ZPOC,

AZDOQ+ZPOC=NOCD=45°,

AZQOP=90°-(ZDOQ+NPOC)=90°—45°=45°

易得。Q2+PC?=PQ2,

.,.l2+l2+l2+l2=(zn-l)2+(m-l)2,

二片五+1(舍负)；

(3)•.•四边形ABPQ为平行四边形，

.\ABHPQ,

又ZDCO=45°，:.ZBAO=ZDCO=45°,

/•OA-OB.

设OA=OB=n.

则M为(几几)代入y——9/.n=—・m=n1，

xn

又AB=PQ,：.6n=yli(m-1),

由m=〃2,得”=(舍负)，

，当04=08=匕苴时，符合题意.

2

【点睛】

此题是反比例函数与一次函数的综合题，考查反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，矩形的性质，平行四

边形的性质.

23、（1）详见解析；（2）①1；②6-1.

【分析】（1）要证明三角形△。尸尸为等腰直角三角形，只要证明NOkP=90。，N〃PF=NPDF=45。即可，根据直径

所对的圆周角是90。和同弧所对的圆周角相等，可以证明尸尸=90。，ZDPF=ZPDF=45Q,从而可以证明结论成立;

（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的f的值即可，注意点尸从A出发到

3停止，64+2=2：

②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得f的值.

【详解】证明：（1）•••四边形ABCZ）是正方形，AC是对角线，

：.ZDAC=45°,

•.•在。。中，op所对的圆周角是ND4尸和NOPF,

:.NDAF=NDPF,

：.NO尸尸=45°,

又TOP是。。的直径，

二N0FP=9O。，

:.ZFDP=ZDPF=45°,

...△OFP是等腰直角三角形；

（2）①当AE：EC=1：2时，

'：AB//CD,

：.NDCE=ZPAE,NCDE=Z.APE,

:.△DCEsAPAE,

.DCCE

••=,

PAAE

•••±=_一2,

It1

解得，f=l;

当AE：EC=2：1时，

'：AB//CD,

：.NDCE=ZPAE,NCDE=ZAPE,

:.△DCEsAPAE,

.DC_CE

••一9

PAAE

•±_1

••一9

2t2

解得，f=4,

,••点产从点A到8,f的最大值是4+2=2,

.•.当t=4时不合题意，舍去；

由上可得，当f为1时，点E恰好为AC的一个三等分点;

②如右图所示，

■:ZDPF=90°,NDPF=NOPF,

.'.NOPf=90°,

：.ZDPA+ZQPB=90°,

'：ZDPA+ZPDA=90°,

：.ZPDA=ZQPB,

•.•点。落在BC上，

：.ZDAP=ZB=90°,

:.△DAPs^PBQ,

.DADP

••丽一所’

'：DA=AB=4,AP=2t,ZDAP=90°,

:.DP="2+⑵了=2“+*,PB=4-It,

设PQ=a,贝！IPE=a,DE=DP-a=2也+产-a,

■:XAEPsXCED,

*APPE

••一9

CDDE

2ta

'=^773?

解得，a=2g+J,

2+t

：.PQ=~t^+r,

2+t

4214+1

4-2f2fj4+产»

2+t

解得，fi=-6-1（舍去），0=V5-b

即，的值是6-1.

【点睛】

此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.

24、2.

【分析】先将三角函数值代入，再根据混合运算顺序依此计算可得.

【详解】原式=2X'+10XL-4X1

22

=2

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握各特殊角的三角函数值.

25、(1)y=-x2-2x+3,D的坐标为(一1,4)；(2)@A:=-②以A,F,O为顶点的三角形与A4BC相似，F点

-2;

的坐标为,4,或(-2,2).

【分析】⑴将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点

D(-1,4)；

⑵①由A、C、D三点的坐标求出AC=30，DC=拒，AD=2逐，可得△ACD为直角三角形，若CF=gAD,

则点F为AD的中点，可求出k的值；

②由条件可判断NDAC=/OBC,则/OAF=NACB,若以A,F,O为顶点的三角形与AABC相似，可分两种