等比数列的概念及通项公式课件

等比数列的概念及通项公式等比数列的概念如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比等于_________，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，通常用字母q表示(q≠0)．自学导引1．：常数列一定是等比数列吗？提示：不一定．当常数列为非零常数列时，此数列为等比数列，否则不是．2同一常数公比等比中项等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝______.2．等比中项3．a1qn－1：推导等比数列的通项公式有哪些方法？提示：等比数列的通项公式的推导有下列三种方法：归纳法：由等比数列的定义可以得到a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，归纳得an＝a1qn－1.迭代法：因为{an}是等比数列，所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a1qn－1，所以an＝a1qn－1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．名师点睛1．等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．2．3．题型一与等比数列通项公式有关的基本量的求解在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[思路探索]解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．【例1】由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.

a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.题型二

等比中项的应用(2)等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[思路探索]本题主要考查等比数列的基本运算和等比中项的求法．题型三

等比数列的判定(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求an.[思路探索](1)变形递推公式，按等比数列的定义证明；(2)求出{an－n}的通项公式，即可求出an.解

(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面证明{an－n}是等比数列：【例3】数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．题型四由递推公式构造等比数列求通项【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.通过观察图形特征，帮助学生发现图形所表示数的规律和特点．一方面，培养学生发现图形特征和规律的能力；另一方面，在单纯发现数列的规律比较困难的情况下，可以借助图形帮助解决；反之，在观察图形特征比较困难的情况下，也可以考虑从观察数列特点入手进行解决．图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……试求第n个图形的边长和周长．方法技巧

数形结合思想在等比数列中的应用【示例】[思路分析]关键是找到周长与n的关系，即找到由周长所构成的数列的通项公式．解设第n个图形的边长为an.要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数．第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形