2025届新高考数学精准冲刺复习计数原理与概率

2025届新高考数学精准冲刺复习计数原理与概率

考点梳理考情回顾高考预测统计图表与统

计量2023新高考Ⅰ卷第9题2021新高考Ⅰ卷第9题2021新高考Ⅱ卷第9题1.统计图表与统计量：通常

以频率分布直方图、条形图

等为背景，重点考查平均

数、方差、百分位数等.2.计数问题：重点考查两个

计数原理和二项式定理等.3.概率：重点考查事件的关

系，以及和事件、积事件、

互斥事件、相互独立事件的

概率.计数原理与二

项式定理2023新高考Ⅰ卷第13题2023新高考Ⅱ卷第3题2022新高考Ⅰ卷第13题2022新高考Ⅱ卷第5题事件的关系与

概率2023新高考Ⅱ卷第12题2022新高考Ⅰ卷第5题2021新高考Ⅰ卷第8题

1.（2022·新高考Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺

汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（

B

）A.12种B.24种C.36种D.48种2.（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个

数互质的概率为（

D

）BD3.（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类

知识.为了了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和

讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座

后问卷答题的正确率如图所示，则下列说法中正确的是（

B

）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后问卷答题的正确率的

标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前问卷答题的正确率的极

差答案：B4.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）有一组样本数据

x

1，

x

2，…，

x

6，其中

x

1是最小值，

x

6是最大值，则下列说法中，正确的是（

BD

）A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差

BD－28

1.统计量（1）

平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数

据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，

越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.（2）

百分位数的计算步骤第一步：按从小到大排列原始数据.第二步：计算

i

＝

n

×

p

％.第三步：若

i

不是整数而大于

i

的最小整数为

j

，则第

p

百分位数为

第

j

项数据；若

i

是整数，则第

p

百分位数为第

i

项与第（

i

＋1）项

数据的平均数.

3.事件的关系与概率（1）

和事件的概率：

P

（

A

＋

B

）＝

P

（

A

）＋

P

（

B

）－

P

（

AB

）；特别地，若两个事件互斥，则

P

（

A

＋

B

）＝

P

（

A

）＋

P

（

B

）.（2）

积事件的概率：

P

（

AB

）＝

P

（

A

）·

P

（

B

｜

A

）；特别地，若两个事件相互独立，则

P

（

AB

）＝

P

（

A

）

P

（

B

）.AB

BB（3）

全概率公式

热点1

计数原理与二项式定理[典例设计]例1（1）

（2023·衡阳联考）第22届国际足联世界杯于2022年11月20

日至2022年12月18日在卡塔尔举行.现要安排甲、乙等5名志愿者去A，

B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，且每人只能去一个

足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法共有（

C

）A.12种B.18种C.36种D.48种C

（2）

（2022·岳阳质检）将唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单共有

36

种（用数字作答）.[对点训练]1.（2023·内江模拟）现安排编号分别为1，2，3，4的四位志愿者去做

三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一

项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同

的安排方法共有（

C

）A.36种B.24种C.18种D.12种

C1234567891011121314151617181920212223242.如图，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、

右两侧，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧

没有算珠），记上、中、下每档的数字之和分别为

a

，

b

，

c

.若

a

，

b

，

c

成等差数列，则不同的分珠方法共有

种.32

[典例设计]

解：令

x

＝1，可得

a

0＋

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5＝35＝243.令

x

＝－1，可

得

a

0－

a

1＋

a

2－

a

3＋

a

4－

a

5＝1.所以（

a

0＋

a

2＋

a

4）2－（

a

1＋

a

3＋

a

5）2＝（

a

0＋

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5）（

a

0－

a

1＋

a

2－

a

3＋

a

4－

a

5）＝

243.

总结提炼

（1）

求多个二项展开式中特定项的方法对于几个多项式的积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式

连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地分类讨论，以免重

复或遗漏.（2）

赋值法研究二项展开式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（

ax

＋

b

）

n

（

cx

＋

d

）

m

（

a

，

b

，

c

，

d

∈R）的式子求其展开式的各项系数

之和，常用赋值法.[对点训练]3.在1＋（1＋

x

）＋（1＋

x

）2＋（1＋

x

）3＋（1＋

x

）4＋（1＋

x

）5＋

（1＋

x

）6的展开式中，含

x

3项的系数是

（

C

）A.25B.30C.35D.40

C4.（2023·武汉模拟）在（

x

2－2

x

－1）5的展开式中，含

x

3项的系数

为

⁠.

－40

热点2

统计图表与统计量[典例设计]例3（1）

（2023·浙江联考模拟）如图所示为我国跨境电商在2016～

2022年的交易规模与增速图，则下列结论中，正确的是（

D

）A.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B.这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越快C.这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D.图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％答案：D

（2）

（多选）（2023·铜陵三模）近年来，加强青少年体育锻炼，重视

体质已经在社会形成高度共识.某校为了了解学生的身体素质状况，举

行了一场体能测试.现随机抽取200名学生的测试成绩，进行适当分组

后，画出如下频率分布直方图，则下列说法中，正确的是（

ACD

）A.a＝0.020B.在被抽取的学生中，成绩在区间[80，100]内的学生有70人C.估计全校学生体能测试成绩的平均数是77.5分D.估计全校学生体能测试成绩的第69百分位数是84分答案：ACD

总结提炼

（1）

准确理解各类图表的含义在解决统计图表的相关问题中，需准确审图，弄清楚图表的含义和区

别是解决此类问题的关键，如条形图的高度表示频数，频率分布直方

图的面积表示频率，扇形统计图描述各部分占总体的百分比.（2）

准确理解频率分布直方图中的各种“数”①

众数：最高小矩形底边中点的横坐标；②

中位数：垂直于横轴且平

分频率分布直方图的面积的直线与横轴交点的横坐标；③

平均数：频

率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.[对点训练]5.（多选）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，

它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.

甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：千

米），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，下列说法中，正确的

是（

ABC

）A.甲走路里程的极差是11千米B.乙走路里程的中位数是27千米C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均

数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准

差答案：ABC

热点3

和事件、积事件的概率[典例设计]例4现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A，B两

个不透明的盒子中（A中3个红球、3个白球，B中3个红球、3个白

球），甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，

则将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则将取出的2个球全

部放入盒子B中.按上述规则取球两次后，盒子