第1章 平行线单元综合提优专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（浙教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。第1章平行线单元综合提优专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．（2021·浙江·七年级期中）小明和小亮在研究一道数学题，如图，，垂足分别为E、D，G在上．小明说：“如果，则能得到”；小亮说：“连接，如果，则能得到”．则下列判断正确的是（）A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误【标准答案】A【思路指引】由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案．【详解详析】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，若∠CDG=∠BFE，∵∠BCD=∠BFE，∴∠BCD=∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD=∠ACB，故小明说法正确；∵FG∥AB，∴∠B=∠GFC，故得不到∠GFC=∠ADG，故小亮说法错误，故选：A．【名师指路】本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定．2．（2021·浙江·七年级期中）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边，则翻折角与一定满足的关系是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】根据平行可得出∠DAB+∠CBA=180°，再根据折叠和平角定义可求出．【详解详析】解：由翻折可知，∠DAE=2，∠CBF=2，∵,∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠DAE+∠CBF=180°，即，∴，故选：B．【名师指路】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．3．（2021·浙江杭州·七年级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若，若，则的度数是（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】由折叠的性质可知∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°，根据BE∥AG，得到∠CFB=∠CAG=2∠1，从而根据平行线的性质得到∠CDB=2∠1，则∠2=180°-4∠1.【详解详析】解：由题意得：AG∥BE∥CD，CF∥BD，∴∠CFB=∠CAG，∠CFB+∠DBF=180°，∠DBF+∠CDB=180°∴∠CFB=∠CDB∴∠CAG=∠CDB由折叠的性质得∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°∴∠CAG=∠CDB=∠1+∠BAG=2α∴∠2=180°-2∠BDC=180°-4α故选D.【名师指路】本题主要考查了平行线的性质与折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·浙江·七年级期中）若的两边与的两边分别平行，且，那么的度数为（）A． B． C．或 D．或【标准答案】A【思路指引】根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案．【详解详析】解：当∠B的两边与∠A的两边如图一所示时，则∠B＝∠A，又∵∠B＝∠A＋20°，∴∠A＋20°＝∠A，∵此方程无解，∴此种情况不符合题意，舍去；当∠B的两边与∠A的两边如图二所示时，则∠A＋∠B＝180°；又∵∠B＝∠A＋20°，∴∠A＋20°＋∠A＝180°，解得：∠A＝80°；综上所述，的度数为80°，故选：A．【名师指路】本题考查了平行线的性质，本题的解题关键是明确题意，画出相应图形，然后分类讨论角度关系即可得出答案．5．（2021·浙江杭州·七年级期中）如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第3次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，…第n次平移将长方形的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2022，则n的值为（）A．403 B．404 C．405 D．406【标准答案】A【思路指引】根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+2求出n即可．【详解详析】解：∵AB=7，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+2=12，∴AB2的长为：5+5+7=17；∵AB1=2×5+2=12，AB2=3×5+2=17，∴ABn=（n+1）×5+2=2022，解得：n=403．故选：A．【名师指路】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5是解题关键．6．（2021·浙江·七年级期中）下列说法正确的是（）A．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等【标准答案】A【思路指引】根据平行线的判定和性质定理，角平分线的定义分别判断各选项即可．【详解详析】解：A、如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直；符合题意；如图所示：∵∠BGH+∠DHG=180°，PG平分∠BGH，PH平分∠DHG，∴∠PGH+∠PHG=×180°=90°，∴∠GPH=90°，∴PG⊥PH，故正确；B、如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行；不符合题意；如图所示：直线AB和CD被直线EF所截，∠BGE≠∠DHG，∵GM平分∠BGE，HN平分∠DHG，∴∠EGM≠∠GHN，∴GM与HN不平行，故错误；C、如果两条直线被第三条直线所载，那么内错角必相等；不符合题意；如图所示：直线AB和CD被直线EF所截，∠AGH≠∠DHG；D、如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等；不符合题意；理由如下：如图所示：AB∥DF，AC∥BD，∴∠A=∠DBE，∠DBE+∠D=180°，∴∠A+∠D=180°，即互补；故选A．【名师指路】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．7．（2021·浙江·七年级期中）已知，如图，点D是射线上一动点，连接，过点D作交直线于点E，若，，则的度数为（）A． B． C．或 D．或【标准答案】D【思路指引】分点D在线段AB上及点D在线段AB的延长线上两种情况考虑：当点D在线段AB上时，由DE∥BC可得出∠ADE的度数，结合∠ADC=∠ADE+∠CDE可求出∠ADC的度数；当点D在线段AB的延长线上时，由DE∥BC可得出∠ADE的度数，结合∠ADC=∠ADE-∠CDE可求出∠ADC的度数．综上，此题得解．【详解详析】解：当点D在线段AB上时，如图1所示．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=84°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°；当点D在线段AB的延长线上时，如图2所示．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=84°，∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°．综上所述：∠ADC=104°或64°．故选：D．【名师指路】本题考查了平行线的性质，分点D在线段AB上及点D在线段AB的延长线上两种情况，求出∠ADC的度数是解题的关键．8．（2021·浙江杭州·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，则下列结论中：①；②若平分，则有；③若平分，则有：④若，则；其中结论正确（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【标准答案】B【思路指引】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②和③都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．【详解详析】解：①如图，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2=90°；∴∠1=∠3，但不一定是45°，故①不正确；②∵AD平分∠CAB∴∠1=∠2=45°，∵∠1=∠3∴∠3=45°，又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B∴BC∥AE；故②正确；③∵AB平分∠DAE，∴∠2=∠3=45°∴∠3=∠B，∴BC∥AE；故③正确；④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，又∠E=30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4．故④正确．故选B．【名师指路】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．9．（2021·浙江长兴·七年级月考）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．16 B．24 C．30 D．40【标准答案】D【思路指引】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．【详解详析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，如图，∵图2中长方形的周长为48，∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∴AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故选：D．．【名师指路】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．10．（2021·浙江·七年级期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（）A．50°、130° B．都是10°C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对【标准答案】C【思路指引】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．【详解详析】解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补．设其中一角为x°，若这两个角相等，则x＝3x﹣20，解得：x＝10，∴这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x＝3x﹣20，解得：x＝50，∴这两个角的度数是50°和130°．∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C．【名师指路】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．二、填空题11．（2021·浙江·七年级期中）如图，，直线交于点E，交于点F，点G在上，点P在直线左侧，且在直线和之间，连接，，，若平分，，，则_________．【标准答案】【思路指引】先根据角平分线的定义可得，设，，从而可得，，，，再根据平行线的性质可得，，然后根据平角的定义可得，据此代入计算即可得．【详解详析】解：平分，，设，，则，，，，，，，，，，，解得，即，故答案为：．【名师指路】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、平角的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．12．（2021·浙江·七年级期中）已知直线，点分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转，若射线先转45秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为_____秒时，．【标准答案】15或63或135【思路指引】分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解详析】解：①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′=4t°，∠CQC′=45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′，即4t=45+t，解得，t=15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′=（4t）°-180°，∠CQC'=t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′=∠PED=180°-∠CQC′，即4t-180=180-（45+t），解得，t=63（s）；③当67.5s＜t≤135s时，如图4，则∠BPB′=（4t）°-360°，∠CQC′=t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′，即4t-360=t+45，解得，t=135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15或63或135．【名师指路】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．13．（2021·浙江·七年级期中）如图，将一副三角板按如图放置，，则①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是________________（填写序号）．【标准答案】①②③④【思路指引】根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据①的结论判断②；根据平行线的判定定理判断③和④，即可得出结论．【详解详析】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，故①正确；∵∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°，故②正确；∵∠2=30°，∴∠1=60°=∠E，∴AC∥DE，故③正确；∵∠2=45°，∴∠3=45°=∠B，∴BC∥AD，故④正确；故答案为：①②③④．【名师指路】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．14．（2021·浙江·七年级期中）如图．已知点为两条相互平行的直线之间一动点，和的角平分线相交于，若，则的度数为________．【标准答案】120°【思路指引】由角平分线的定义可得，，又由，得，；设，，则；再根据四边形内角和定理得到，最后根据即可求解．【详解详析】解：和的角平分线相交于，，，又，，，设，，，在四边形中，，，，，，，，故答案为：．【名师指路】本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（2021·浙江·七年级期中）一副直角三角板叠放如图①，．现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板（其中）绕顶点A顺时针旋转角．（1）如图②，当______度时，边和边所在的直线互相垂直；（2）当旋转角在的旋转过程中，使得两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）互相平行，此时符合条件的______．【标准答案】1560°或105°或135°【思路指引】（1）根据条件只需证BC⊥AE即可，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°；（2）分情况画出图形，根据平行线的性质计算即可．【详解详析】解：（1）在△ABC中，AC⊥BC，AE与AC重合，则AE⊥BC，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°，∴当α=15°时，BC⊥AE．故答案为15；（2）当BC∥AD时，∠C=∠CAD=90°，∴α=∠BAD=90°-30°=60°；如图，当AC∥DE时，∠E=∠CAE=90°，则α=∠BAD=45°+60°=105°，此时∠BAE=90°-30°=60°=∠B，则AE∥BC；如图，当AB∥DE时，∠E=∠BAE=90°，∴α=∠BAD=45°+90°=135°；综上：符合条件的α为60°或105°或135°，故答案为：（1）15；（2）60°或105°或135°．【名师指路】本题考查了平行线的性质，三角板的角度计算，正确确定△ABC旋转的过程中可以依次出现几次平行的情况是关键．16．（2021·浙江金东·七年级期中）如图，分别作和的角平分线交于点，称为第一次操作，则_______；接着作和的角平分线交于，称为第二次操作，继续作和的角平分线交于，称方第三次操作，如此一直操作下去，则______．【标准答案】90°【思路指引】过P1作P1Q∥AB，则P1Q∥CD，根据平行线的性质得到∠AEF+∠CFE=180°，∠AEP1=∠EP1Q，∠CFP1=∠FP1Q，结合角平分线的定义可计算∠EP1F，再同理求出∠P2，∠P3，总结规律可得．【详解详析】解：过P1作P1Q∥AB，则P1Q∥CD，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∠AEP1=∠EP1Q，∠CFP1=∠FP1Q，∵和的角平分线交于点，∴∠EP1F=∠EP1Q+∠FP1Q=∠AEP1+∠CFP1=（∠AEF+∠CFE）=90°；同理可得：∠P2=（∠AEF+∠CFE）=45°，∠P3=（∠AEF+∠CFE）=22.5°，...，∴，故答案为：90°，．【名师指路】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，规律性问题，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算求解．17．（2021·浙江杭州·七年级期中）如图，，平分，平分，若设，则______度（用x，y的代数式表示），若平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则_____度．【标准答案】【思路指引】过点P1作PG∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得，再根据角平分线的定义总结规律可得．【详解详析】解：过点作∥AB，可得∥CD，设，，∴，，∴；同理可得：，，...，∵平分，平分，∴，，...，∴，故答案为：，．【名师指路】本题考查了平行线性质的应用和角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．18．（2021·浙江·七年级期中）定义：两个几何图形距离指的是这两个几何图形中最近两个点的距离，如图，边长为4的正方形沿直线m平移，若平移后的正方形与原来的边距离为1，则正方形平移方法是_______．若向左平移后的正方形与原来的边距离小于等于1，则正方形平移方法是________．【标准答案】向右平移1个单位，或向左平移5个单位向左平移距离小于等于5个单位【思路指引】根据几何图形的距离，结合平移的定义判断即可．【详解详析】解：如图，若平移后的正方形与原来的边AB距离为1，则正方形平移方法是向右平移1个单位，或向左平移5个单位；若向左平移后的正方形与原来的AB距离小于等于1，则平移方法是向左平移距离小于等于5个单位．故答案为：向右平移1个单位，或向左平移5个单位；向左平移距离小于等于5个单位．【名师指路】本题考查了平移的性质，读懂题意，理解几何图形的距离是解题的关键．19．（2021·浙江·七年级期中）如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，BC（A在B的左侧），灯A发出的射线AC从AM开始以a度/秒的速度顺时针旋转至AN后立即回转，灯B发出的射线BD从BP开始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线AC第一次经过点B，此时，则________，两灯继续转动，射线AC与射线BD交于点E（如图2），在射线BD到达BQ之前，当，的度数为________．【标准答案】2或．【思路指引】（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC没到达AN时，；②射线AC到达AN后，返回旋转的过程中，；分别求出答案即可．【详解详析】解：（1）如图，射线AC第一次经过点B，∵，∴，∴，∴，解得：；故答案为：2．（2）①设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，由旋转的性质，则，，∵EF//MN//PQ，∴，，∵，∴，∴（秒），∴；②设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，此时AC为达到AN之后返回途中的图像；与①同理，∴，，∵，∴，解得：（秒）；∴；综合上述，的度数为：或；故答案为：或．【名师指路】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题．20．（2021·浙江·七年级期中）如图，，BC平分，设为，点E是射线BC上的一个动点，若，则的度数为__________．（用含的代数式表示）．【标准答案】或【思路指引】根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，列出等量关系求解即可得出结论．【详解详析】解：如图，若点E运动到l1上方，，，平分，，，又，，，解得；如图，若点E运动到l1下方，，，平分，，，又，，，解得．综上的度数为或．故答案为：或．【名师指路】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．三、解答题21．（2021·浙江柯桥·七年级期中）已知，直线，点P为平面内一点，连接与．（1）如图1，点P在直线、之间，若，，求的度数．（2）如图2，点P在直线、之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P在直线、下方，与的角平分线相交于点K，直接写出与之间的数量关系．【标准答案】（1）70°；（2），见解析；（3）【思路指引】（1）过点作∥，根据平行线的性质得到，，然后根据进行计算即可；（2）过作∥，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出与的数量关系；（3）过作∥，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出与的数量关系．【详解详析】解：（1）如图1，过P作，∵，∴，∴，，∴；（2）．理由：如图2，过K作，∵，∴，∴，，∴，过P作，同理可得，，∵与的角平分线相交于点K，∴，∴；（3）．理由：如图3，过作∥，∵∥，∴∥∥．∴，．∴．过作∥，同理可得，．∵与的平分线交于点，∴，∴．【名师指路】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．22．（2021·浙江乐清·七年级期末）如图，BF交DE于点C，，∠ABC＝∠ADC．（1）AD与BF平行吗？请说明理由．（2）若BD平分∠ABC，且∠1+∠2＝110°，求∠DCF的度数．【标准答案】（1）平行，理由见解析；（2）．【思路指引】（1）先根据平行线的性质得到，再根据等量代换得到，然后根据平行线的判定即可得出结论；（2）先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据邻补角的定义可得，从而可得，最后根据可求出的度数，由此即可得出答案．【详解详析】解：（1），理由如下：，，，，；（2）平分，，，，，，即，，，解得，．【名师指路】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．23．（2021·浙江杭州·七年级期中）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．（1）按小明的思路，易求得的度数为__________度：（直接写出答案）（2）问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系．【标准答案】（1）110；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）见解析【思路指引】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．【详解详析】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=α+β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，过点P作PE∥CD交ON于E，则PE∥AB，∴∠APE=α，∠CPE=β，∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β；如图所示，当P在DB延长线上时，过点P作PE∥CD交ON于E，则PE∥AB，∴∠CPE=β，∠APE=α，∴∠CPA=∠CPE-∠APE=β-α．【名师指路】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．24．（2021·浙江萧山·七年级期中）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．（1）请判断HG与AE的位置关系，并说明理由．（2）若∠CEG＝20°，请利用平行线相关知识求∠DHG的度数．【标准答案】（1）HG∥AE，理由见解析；（2）∠DHG＝70°．【思路指引】（1）根据折叠的性质得∠AEB=∠AEF，根据角平分线定义及垂直的定义得AE⊥EG，最后由平行的判定可得结论；（2）由余角的性质得∠AEB=70°，然后根据平行线的性质可得答案．【详解详析】解：（1）平行，理由如下：∵长方形沿AE折叠，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于点G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．【名师指路】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．25．（2021·浙江·七年级期中）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60°【思路指引】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论．【详解详析】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GH是∠BGM的平分线，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，过点H作HT∥GN，则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．【名师指路】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．26．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移，使点C平移到点D，点E，F分别是A，B的对应点．（1）在图1中请画出平移后的△DEF，此时，△DEF的面积为．（2）如图2，格点P是AB的中点，此时S△BCP＝，请在图2的网格中画出满足S△BCQ＝的所有格点三角形（除点P以外）．【标准答案】（1）图见解析，7；（2）见解析【思路指引】（1）利用点C、D的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点F、E；依据割补法进行计算，即可得到△DEF的面积；（2）把B点半平移到P点，则利用此平移规律平移C点得到Q1，画出P点关于B的对称点和Q1点关于C点的对称点得到Q2、Q3．【详解详析】解：（1）如图1，△DEF为所作；△DEF的面积＝4×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×4×2＝7；故答案为7；（2）如图2，点Q1、Q2、Q3为所作．【名师指路】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．27．（2021·浙江·杭州市采荷中学七年级期中）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．（1）求∠AEP的度数；（2）射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；②当EM∥PN时，直接写出t的值．【标准答案】（1）30°；（2）①30°或90°；②6秒或10秒【思路指引】（1）通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到∠PGE=90°，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）①当∠MEP=15°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由∠MEP=15°，计算出EM的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知∠FPE=120°可计算出∠EPN的度数；②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况，Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知∠AEM=15t°，∠FPN=30t°，再平行线的性质可得∠AEM=∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；Ⅱ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM=15t°，ME∥PN，∠GHP=15t°，可计算射线PN的转动度数180°+90°-15t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM=15t°，∠GPN=40（t-6）°，根据（1）中结论，∠PEG=30°，∠PGE=60，可计算出∠PEM与∠EPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．【详解详析】解：（1）延长FP与AB相交于点G，如图1，∵PF⊥CD，∴∠PFD=∠PGE=90°，∵∠EPF=∠PGE+∠AEP，∴∠AEP=∠EPF-∠PGE=120°-90°=30°；（2）①Ⅰ如图2，∵∠AEP=30°，∠MEP=15°，∴∠AEM=15°，∴射线ME运动的时间t==1秒，∴射线PN旋转的角度∠FPN=1×30°=30°，又∵∠EPF=120°，∴∠EPN=∠EPF-∠EPN=120°-30°=90°；Ⅱ如图3所示，∵∠AEP=30°，∠MEP=15°，∴∠AEM=45°，∴射线ME运动的时间t==3秒，∴射线PN旋转的角度∠FPN=3×30°=90°又∵∠EPF=120°，∴∠EPN=∠EPF-∠FPN=120°-90°=30；∴∠EPN的度数为90°或30°；②Ⅰ当PN由PF运动如图4时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，根据题意可知，经过t秒，∠AEM=15t°，∠FPN=30t°，∵EM∥PN，∴∠AEM=∠AHP=15t°，又∵∠FPN=∠EGP+∠AHP，∴30t°=90°+15t°，解得t=6（秒）；Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，根据题意可知，经过t秒，∠AEM=15t°，∵EM∥PN，∴∠GHP=15t°，∠GPH=90°-15t°，∴PN运动的度数可得，180°-∠GPH=30t°，解得t=6（秒）；Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，根据题意可知，经过t秒，∠AEM=15t°，∠GPN=30（t-6）°，∵∠AEP=30°，∠EPG=60°，∴∠PEM=15t°-30°，∠EPN=30（t-6）°-60°，又∵EM∥PN，∴∠PEM+∠EPN=180°，∴15t°-30°+30（t-6）°-60°=180°，解得t=10（秒），当t的值为6秒或10秒时，EM∥PN．【名师指路】本题主要考查平行线性质，一元一次方程的应用，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键．28．（2021·浙江上城·七年级期末）光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理．（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求．（3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）．【标准答案】（1）45°；（2）90°；（3）162°或（72+x）°【思路指引】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角可知：∠APC=∠BPD，即可解决问题；（2）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线a∥b，可知同内角互补，可得两法线垂直，从而求得a的度数；（3）分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用（2）结论；三次反射的情况画图进行分析即可．【详解详析】解：（1）∵平面镜成像原理入射角等于反射角，∴∠APC=∠BPD，∵∠CPD=90°，∴∠APC+∠BPD=90°，∴∠APC=45°；（2）如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，∵平面镜成像原理入射角等于反射角，∴∠