期中必刷真题03（解答易错60道提升练七下浙教）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】期中必刷真题03（解答易错60道提升练，七下浙教）一．解答题（共60小题）1．（2022春•兰溪市期中）已知x＝6，y＝﹣1与x＝﹣2，y＝﹣5都是方程y＝kx+b的解．（1）求k与b的值；（2）当x＝2时，求|y|的值．【分析】（1）根据题意可得关于k、b的方程组，解方程组即可得到答案；（2）由（1）可得y＝x﹣4，将x＝2代入可得答案．【详解】解：（1）根据题意可得：，解得：．（2）由（1）可得y＝x﹣4，将x＝2代入，得y＝﹣3，∴|y|＝3．【点睛】此题考查的是二元一次方程的解及绝对值，根据题意得方程组是解决此题关键．2．（2012春•临海市校级期中）解下列二元一次方程组：（1）；（2）．【分析】（1）采用代入法比较简单，可直接用代入消元法；（2）需要先化简，然后采用加减法即可．【详解】解：（1）把x＝y+3代入3x+2y＝14，得：3（y+3）+2y＝14，∴y＝1，∴x＝4，∴原方程组的解为；（2）原方程组整理得，由①×3﹣②×4，得：y＝4，∴x＝6，∴原方程组的解为．【点睛】此题考查了学生的计算能力，解题时要注意观察，选择适宜的解题方法会达到事半功倍的效果．3．（2022春•鄞州区校级期中）已知关于x、y的方程组有两组不同的实数解：和．求（1）实数b的取值范围．（2）y1+y2+b（x1+x2）的值．【分析】（1）根据判别式大于零即可求出b的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可求出y1+y2+b（x1+x2）的值．【详解】解：（1）由关于x、y的方程组，得2x+b＝4﹣x2，即x2+2x+b﹣4＝0．∵方程组有两组实数解，∴Δ＝22﹣4（b﹣4）＞0，解得：b＜5；（2）由（1）知，x2+2x+b﹣4＝0，则x1+x2＝﹣2．由2x﹣y+b＝0，得y＝2x+b．则y1+y2＝2x1+b+2x2+b＝2（x1+x2）+2b＝﹣4+2b．所以y1+y2+b（x1+x2）＝﹣4+2b﹣2b＝﹣4．【点睛】本题考查了高次方程及根的判别式，关键是根据根与系数的关系求（x1+x2）、（y1+y2）的值．4．（2022春•诸暨市期中）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把c看错了，得，试求出a，b，c的值．【分析】把，代入方程ax+by＝3即可得到一个关于a，b的方程组，即可求得a，b的值，把代入方程5x﹣cy＝1即可求得c的值．【详解】解：根据题意得：，解得：，把代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，解得：c＝3．故a＝3，b＝﹣1，c＝3．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键．5．（2021春•萧山区校级期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求（a+b）2020的值．【分析】把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值，代入其余的两个方程，得到关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，代入代数式求值即可．【详解】解：联立，解得：，把x，y的值代入其余的两个方程得：，解得：，则原式＝（1﹣2）2020＝（﹣1）2020＝1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值是解题的关键．6．（2021春•拱墅区校级期中）已知关于x，y的方程组，其中a是实数．（1）若x＝y，求a的值；（2）若方程组的解也是方程x﹣5y＝3的一个解，求（a﹣4）2019的值；（3）求k为何值时，代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．【分析】（1）把a看作已知数，利用加减消元法求出解即可；（2）把方程组的解代入方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值；（3）将代数式x2﹣kxy+9y2的配方＝（x﹣3y）2+6xy﹣kxy＝25+（6﹣k）xy，即可求解．【详解】解：（1）方程组，①×3+②得：5x＝15a﹣5，解得：x＝3a﹣1，把x＝3a﹣1代入①得：y＝a﹣2，则方程组的解为，令3a﹣1＝a﹣2，解得a＝；（2）把方程组代入方程得：3a﹣1﹣5a+10＝3，解得：a＝3，则（a﹣4）2019＝（﹣1）2019＝﹣1；（3）∵x2﹣kxy+9y2＝（x﹣3y）2+6xy﹣kxy＝25+（6﹣k）xy，且代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，∴当k＝6时，代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（2020春•金华期中）已知关于x，y的方程组的解满足4x+y＝3，求m的值．【分析】根据等式的性质，二元一次方程组的解法即可得到答案．【详解】解：由题意可得，解得，将代入mx+（m﹣1）y＝3，得m+（m﹣1）＝3，解得．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能够正确利用等式的性质解二元一次方程组是解题的关键．8．（2022春•北仑区期中）一批防疫物资要运往某地，准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如表：第一次第二次甲种货车辆数（辆）25乙种货车辆数（辆）36累计运货吨数（吨）1738现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批防疫物资，如果按每吨付运费80元计算，问这批物资应付运费多少元？【分析】设每辆甲种货车可运物资x吨，每辆乙种货车可运物资y吨，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．【详解】解：设每辆甲种货车可运物资x吨，每辆乙种货车可运物资y吨，由题意得：，解得：，∴这批物资应付运费为：（3×4+5×3）×80＝2160（元），答：这批物资应付运费2160元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（2022春•临海市期中）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）现租用该汽车公司甲种货车3辆，乙种货车4辆，刚好能一次运完这批货物．如果运费按每吨50元计算，那么货主应付运费多少元？【分析】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）结合（1）的结果，求出3辆甲种货车和4辆乙种货车一次刚好运完的吨数，再乘以50即得货主应付运费．【详解】解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物．可列出方程组：，解得，答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）（2×3+3×4）×50＝900元．答：货主应付运费900元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系是解题的关键．10．（2022春•绍兴期中）杂交水稻的发暖对解决世界粮台不足句题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如表：类型进价（元/袋）售价（元/袋）A种大米2030B种大米3045（1）该超市在3月份购进小、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元①求这两种大米各购进多少袋；②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元．（2）为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案．甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”：乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？【分析】（1）①设A种大米购进x袋，B种大米购进y袋，利用总价＝单价×数量，结合购进两种大米共70袋且进货款恰好为1800元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；②设3月份售出A种大米m袋，B种大米n袋，利用总价＝单价×数量，结合两种大米的销售总额为900元，列出m、n的二元一次方程，化简得2m+3n＝60，即可解决问题；（2）设4月份该超市购进A种大米3a袋，B种大米3b袋，则购进C种大米（a+2b）袋，利用总价＝单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数，即可得出各进货方案．【详解】解：（1）①设A种大米购进x袋，B种大米购进y袋，依题意得：，解得：，答：A种大米购进30袋，B种大米购进40袋．②设3月份售出A种大米m袋，B种大米n袋，依题意得：30m+45n＝900，化简得：2m+3n＝60，∴20m+30n＝10（2m+3n）＝10×60＝600．答：该超市3月份已售出大米的进货款为600元．（2）设4月份该超市购进A种大米3a袋，B种大米3b袋，则购进C种大米（a+2b）袋，依题意得：20×3a+30×3b+10（a+2b）＝2100，化简得：7a+11b＝210，∴a＝30﹣b，∵a、b均为正整数，∴或，∴时，a+2b＝33，时，a+2b＝36，∴购进三种大米有两种方案：①购进A种大米57袋，B种大米21袋，C种大米33袋；②购进A种大米24袋，B种大米42袋，C种大米36袋．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．11．（2022春•南湖区校级期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1～39套（含39套）40～79套（含79套）80套及以上每套服装的价格100元80元60元经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：（1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？（2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．【分析】（1）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是100元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付6600元，列方程组求解即可；（2）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，列出方程探讨答案即可．【详解】解：（1）设甲乐团有x名；乙乐团有y名，根据题意，得，解得，答：甲乐团有30名；乙乐团有45名；（2）由题意，得3a+5b＝65，变形得b＝13﹣a，，∵每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，∴或，∴共有两种方案：①从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；②从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．【点睛】本题考查二元一次方程组与二元一次方程解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键．12．（2022春•鹿城区校级期中）某单位计划购进A，B，C三种型号的礼品（每种型号至少1件），要求C型号礼品件数是A型号礼品件数的2倍，三种型号礼品的单价如下表：型号ABC单价（元/件）907075设购进x件A型号礼品，y件B型号礼品．（1）根据信息填表：ABC数量（件）xy2x费用（元）90x70y150x（2）①若购买三种型号的礼品总数为100件，共花费7600元，则三种型号的礼品分别购进多少件？②若购买三种型号的礼品共花费5600元，且A，B两种型号的礼品件数之和超过礼品总数的一半，则三种型号的礼品总数为77或74件（直接写出答案）．【分析】（1）由题意即可得出结论；（2）①由题意：购买三种型号的礼品总数为100件，共花费7600元，列出二元一次方程组，解方程组即可；②由题意购买三种型号的礼品共花费5600元，列出二元一次方程，求出正整数解，再由A，B两种型号的礼品件数之和超过礼品总数的一半，得y＞x，即可解决问题．【详解】解：（1）设购进x件A型号礼品，y件B型号礼品，则C型号礼品2x件，由题意得：购进B型号礼品的费用为70y元，购进C型号礼品的费用为75×2x＝150x（元），故答案为：2x，70y，150x；（2）①由题意得：，解得：，则2x＝40，答：购进型号礼品20件，B型号礼品40件，C型号礼品40件；②由题意得：90x+70y+150x＝5600，整理得：y＝80﹣x，∵x、y为正整数，∴或或，∵A，B两种型号的礼品件数之和超过礼品总数的一半，∴x+y＞（x+y+2x），解得：y＞x，∴或，∴x+y+2x＝7+56+14＝77或x+y+2x＝14+32+28＝74，即三种型号的礼品总数为77件或74件，故答案为：77或74．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．13．（2022春•鄞州区校级期中）某品牌童装专卖店新推出A、B、C三种款式的春装．四月的某个周末的销售量（单位：件）如表：ABC合计周六的销售量10﹣xy20+x﹣y30周日的销售量x2y4x5x+2y合计103y20+5x﹣y30+5x+2y（1）请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x、y的代数式表示）；（2）已知A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件．①求x，y的值；②已知三种款式的单价均为整数且高于100元，A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，那么B款式的单价可以是128元或119元或110元或101元．（写出所有可能的结果）【分析】（1）根据题意，补全表格中的划线部分即可；（2）①由题意：A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件．列出二元一次方程组，解方程组即可；②设B款式春装的单价为a元，C款式春装的单价为b元，则A款式春装的单价为3a元，由题意：A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，列出二元一次方程，再由三种款式的单价均为整数且高于100元，求出a、b的值即可．【详解】解：（1）由题意得：A款式的春装，周六的销售量为10﹣x，则A款式的春装，周六的销售量为30﹣（10﹣x）﹣y＝20+x﹣y，C款式的春装合计为20+x﹣y+4x＝20+5x﹣y，故答案为：10﹣x，20+x﹣y，20+5x﹣y；（2）①依题意得：，解得：，即x＝2，y＝4；②由①得：10﹣x＝8，20+x﹣y＝18，设B款式春装的单价为a元，C款式春装的单价为b元，则A款式春装的单价为3a元，依题意得：8×3a+4a+18b＝5600，整理得：14a+9b＝2800，则a＝200﹣b，∵三种款式的单价均为整数且高于100元，∴或或或，∴B款式春装的单价可能为128元或119元或110元或101元．故答案为：128元或119元或110元或101元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．14．（2022春•兰溪市期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．（1）若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？（2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．【分析】（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由题意：正方形纸板560张，长方形纸板940张，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设做成m个竖式纸盒，n个横式纸盒，则需要正方形纸板（m+2n）张，需要长方形的纸板（4m+3n）张，由题意得＝，则m＝3n，即可解决问题．【详解】解：（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由题意得：，解得：，答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；（2）设做成m个竖式纸盒，n个横式纸盒，则需要正方形纸板（m+2n）张，需要长方形的纸板（4m+3n）张，由题意得：＝，解得：m＝3n，∴＝3，即竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．（2022春•上城区校级期中）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，建兰中学欲购置规格分别为200mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10mL，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间＝免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；（3）设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将8.4L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗10ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论．【详解】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，依题意，得：10a+25b＝2500，∴2a+5b＝500，∴＝＝5．答：这批消毒液可使用5天．（3）设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，依题意，得：200m+500n+10（m+n）＝8400，∴m＝40﹣n．∵m，n均为正整数，∴和．∵要使分装时总损耗10（m+n）最小，∴，即分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．16．（2022春•长兴县期中）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元．十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个．为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份销售出这两款毛绒玩具的数量与十二月一样，求该旗舰店当月销售的利润．【分析】（1）设“冰墩敏”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价y元，然后根据售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，售出了“冰墩墩300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元列出方程组并求解即可；（2）根据“利润＝（售价﹣成本价）×销售数量”．【详解】解：（1）设“冰墩敏”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价y元，则．解方程组得．答：“冰墩敏”的销售单价为120元，“雪容融”的销售单价80元；（2）（120﹣120×10%﹣90）×300+（80﹣60）×200＝12100（元）．答：该旗舰店当月销售的利润为12100元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．17．（2022春•诸暨市期中）某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元．（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？（2）可以单独租一种车，也可以同时租两种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？（通过计算加以说明）【分析】（1）设初一年级人数有x人，原计划租45座客车y辆，由题意：原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设初一年级人数有x人，原计划租45座客车y辆，由题意得：，解得：，答：初一年级人数有240人，原计划租45座客车5辆；（2）①只租45座的客车的租金为：220×（5+1）＝1320（元），②只租60座的客车的租金为：300×（5﹣1）＝1200（元），③租45座的客车4辆、租60座的客车1辆，45×4+60＝240，正好每个学生都有座位，此时租金为：220×4+300×1＝1180（元），∵1320元＞1200元＞1180元，∴租45座的客车4辆、租60座的客车1辆更合算．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（2022春•拱墅区期中）某商场计划用9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A型1500元/台，B型2100元/台，C型2500元/台．（1）若该商场恰好用9万元从该厂家购进50台两种不同型号的电视机，请你研究一下该商场的进货方案；（2）已知该商场销售A型电视机可获利150元/台，销售B型电视机可获利200元/台，销售C型电视机可获利250元/台，在（1）条件下，你将选择哪种方案，使得销售获利最多？【分析】（1）根据两种电视是AB，BC，AC三种情况进行讨论，分别设出未知数，列出二元一次方程组求解即可；（2）分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案即可．【详解】解：（1）设购进A型电视机x台，B型电视机y台，由题意得：，解得：，即购进A型电视机25台，B型电视机25台；设购进B种电视机a台，C种电视机b台．由题意得：，解得：（不合题意，舍去此方案），设购进A种电视机m台，C种电视机n台．由题意得：，解得：，即购进A种电视机35台，C种电视机15台；∴商场有2种进货方案：①A、B两种型号的电视机各购25台；②A种型号的电视机购35台，C种型号的电视机购15台；（2）方案①获利为：25×150+25×200＝8750（元）；方案②获利为：35×150+15×250＝9000（元），∵8750＜9000，∴为使获利最多，应选择第②种进货方案：A种型号的电视机购35台，C种型号的电视机购15台．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19．（2022春•诸暨市期中）临近2022年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为300mL和500mL的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要61元，购买3瓶甲种和4瓶乙种消毒液需要154元．（1）求甲、乙两种消毒液的单价；（2）为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将11.2L的消毒液全部装入最大容量分别为300mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20mL，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．【分析】（1）设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要61元，购买3瓶甲种和4瓶乙种消毒液需要154元”，列出二元一次方程组，解之即可；（2）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将11.2L的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，列出二元一次方程，结合m，n均为非负整数得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可．【详解】解：（1）设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为y元，依题意得：，解得：，答：甲种消毒液的单价为18元，乙种消毒液的单价为25元；（2）设需要300ml的空瓶m个，500ml的空瓶n个，依题意得：（300+20）m+（500+20）n＝11200，∴m＝35﹣n，∵m，n均为非负整数，∴或或，当m＝35，n＝0时，总损耗为20（m+n）＝700（ml）；当m＝22，n＝8时，总损耗为20（m+n）＝600（ml）；当m＝9，n＝16时，总损耗为20（m+n）＝500（ml）；∵700＞600＞500，∴分装成300ml的9瓶，500ml的16瓶时，总损耗最小，此时需要300ml的空瓶9个，500ml的空瓶16个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．20．（2022春•萧山区期中）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？【分析】（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价＝单价×数量，结合用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数＝2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，依题意得：，解得：，答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒．（2）20×700+25×200＝14000+5000＝19000（个），2×900×10＝18000（个），∵19000＞18000，∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，求出购进口罩的总数量．21．（2022春•宁波期中）化简并求值：定义一种新的运算法则：＝ad﹣bc，请你化简式子：，若x＝2，y＝1，请计算上面这个式子的值．【分析】根据＝ad﹣bc，可以将化简，然后将x＝2，y＝1化简后的式子计算即可．【详解】解：∵＝ad﹣bc，∴＝5xy（3x﹣y）﹣（y2+3xy）•5x＝15x2y﹣5xy2﹣5xy2﹣15x2y＝﹣10xy2，当x＝2，y＝1时，原式＝﹣10×2×12＝﹣20．【点睛】本题考查整式的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．22．（2022春•义乌市期中）你会求（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…a2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…a2+a+1）＝a2013﹣1．利用上面的结论，求（2）22013+22012+22011+…22+2+1的值是22014﹣1．（3）求52013+52012+52011+…52+5+1的值．【分析】（1）根据题意得到（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…a2+a+1）＝a2013﹣1；（2）将得出的规律中的a换为2，计算即可得到结果；（3）将a换为5，计算即可得到结果．【详解】解：（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…a2+a+1）＝a2013﹣1；（2）∵（2﹣1）（22013+22012+22011+…22+2+1）＝22014﹣1，∴22013+22012+22011+…22+2+1的值是22014﹣1；（3）∵（5﹣1）（52013+52012+52011+…52+5+1）＝52014﹣1，∴52013+52012+52011+…52+5+1＝（52014﹣1）．故答案为：（1）a2013﹣1；（2）22014﹣1【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．23．（2020春•越城区校级期中）计算或化简：（1）（π﹣2）0+（﹣1）2019•（）﹣1（2）982﹣97×99．（3）（x+1）2﹣（x﹣2）（x+2）（4）2a3（3a2﹣5a）+（2a2）3÷a2【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方可以解答本题；（2）根据平方差公式可以解答本题；（3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题；（4）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题．【详解】解：（1）（π﹣2）0+（﹣1）2019•（）﹣1＝1+（﹣1）×2＝1+（﹣2）＝﹣1；（2）982﹣97×99＝982﹣（98﹣1）×（98+1）＝982﹣982+1＝1；（3）（x+1）2﹣（x﹣2）（x+2）＝x2+2x+1﹣x2+4＝2x+5；（4）2a3（3a2﹣5a）+（2a2）3÷a2＝6a5﹣10a4+8a6÷a2＝6a5﹣10a4+8a4＝6a5﹣2a4．【点睛】本题考查整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．24．（2019春•西湖区校级期中）化简（1）（﹣1）﹣3+（﹣）﹣3•（﹣3）2+（﹣3.14）0．（2）（﹣2a+b）（﹣2a+b）．（3）[（2x﹣y）2+（y﹣2x）（2x﹣4y）+（x﹣2y）2]÷（x+y）﹣1．【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的加法即可解答本题；（2）根据多项式乘多项式可以解答本题；（3）根据多项式乘多项式、完全平方公式可以解答本题．【详解】解：（1）（﹣1）﹣3+（﹣）﹣3•（﹣3）2+（﹣3.14）0＝（﹣1）+（﹣27）×9+1＝（﹣1）+（﹣243）+1＝﹣243；（2）（﹣2a+b）（﹣2a+b）＝4a2﹣4ab+b2．（3）[（2x﹣y）2+（y﹣2x）（2x﹣4y）+（x﹣2y）2]÷（x+y）﹣1＝（4x2﹣4xy+y2+2xy﹣4y2﹣4x2+8xy+x2﹣4xy+4y2）÷＝（x2+2xy+y2）•（x+y）＝x3+x2y+2x2y+2xy2+xy2+y3＝x3+3x2y+3xy2+y3．【点睛】本题考查整式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．25．（2022春•江干区校级期中）先化简，再求值：（1）（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝1；（2）已知y2﹣5y+3＝0，求2（y﹣1）（2y﹣1）﹣2（y+1）2+7的值．【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可；（2）先根据多项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，求出y2﹣5y＝﹣3，最后代入求出答案即可．【详解】解：（1）（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，＝4x2﹣1﹣（4x2﹣12x+9）＝4x2﹣1﹣4x2+12x﹣9＝12x﹣10，当x＝1时，原式＝12×1﹣10＝12﹣10＝2；（2）2（y﹣1）（2y﹣1）﹣2（y+1）2+7＝2（2y2﹣y﹣2y+1）﹣2（y2+2y+1）+7＝4y2﹣2y﹣4y+2﹣2y2﹣4y﹣2+7＝2y2﹣10y+7，∵y2﹣5y+3＝0，∴y2﹣5y＝﹣3，∴原式＝2（y2﹣5y）+7＝2×（﹣3）+7＝﹣6+7＝1．【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．26．（2022春•拱墅区期中）（1）已知a、b满足代数式：|a﹣2|+＝0，求代数式（a﹣3b）（3a+2b）﹣2b（5a﹣3b）的值．（2）已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值．【分析】（1）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，求出a、b的值，最后代入求出答案即可；（2）先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据已知化简后不会x2和常数项得出2a﹣1＝0且﹣12﹣b＝0，再求出a、b即可．【详解】解：（1）（a﹣3b）（3a+2b）﹣2b（5a﹣3b）＝3a2+2ab﹣9ab﹣6b2﹣10ab+6b2＝3a2﹣17ab，∵|a﹣2|+＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝3×22﹣17×2×（﹣1）＝12+34＝46；（2）（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b＝2ax2+4ax﹣6x﹣12﹣x2﹣b＝（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x+（﹣12﹣b），∵化简后不含x2项和常数项，∴2a﹣1＝0且﹣12﹣b＝0，解得：a＝＝﹣12．【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性和整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．27．（2022春•西湖区校级期中）先化简，再求值：3（4m﹣3）2﹣4（﹣2m+3）（2m+3）﹣32m（m2+m﹣1），其中m＝﹣．【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：3（4m﹣3）2﹣4（﹣2m+3）（2m+3）﹣32m（m2+m﹣1）＝3（16m2﹣24m+9）﹣4（9﹣4m2）﹣32m3﹣32m2+32m＝48m2﹣72m+27﹣36+16m2﹣32m3﹣32m2+32m＝﹣32m3+32m2﹣40m﹣9，当m＝﹣时，原式＝﹣32×（﹣）3+32×（﹣）2﹣40×（﹣）﹣9＝﹣32×（﹣）+32×+100﹣9＝500+200+100﹣9＝800﹣9＝791．【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．28．（2022春•长兴县期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）²，（a﹣b）²，ab之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．【分析】（1）利用线段关系得出正方形的边长，从而求出周长，（2）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，（3）用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．【详解】解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，故答案为：4a﹣4b；（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）²，大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）²，因此（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab，故答案为：（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab；（3）由（2）可知：（m+n）²＝（m﹣n）²+4mn，已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，所以（m+n）²＝16+4×（﹣3）＝4，所以m+n＝±2；故m+n的值为±2；（4）设AC＝a，BC＝b，因为AB＝8，S1+S2＝26，所以a+b＝8，a²+b²＝26，因为（a+b）²＝a²+b²+2ab，所以64＝26+2ab，解得ab＝19，由题意：∠ACF＝90°，所以S阴影＝ab＝．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质，利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解．29．（2022春•绍兴期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝16，ab＝40，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝76时，求出图3中阴影部分的面积S3．【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝16，ab＝40代入进行计算即可；（3）根据S3＝（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝76，即可得到阴影部分的面积S3．【详解】解：（1）由图可得，，；（2）∵，，∴，∵a+b＝16，ab＝40，∴；（3）由图可得，，∵，∴．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据图形之间的面积关系进行推导计算是解决问题的关键．30．（2022春•西湖区校级期中）（1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和．方法1：a2+b2；方法2：（a+b）2﹣2ab．（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，求（x﹣2022）2的值．【分析】（1）方法1；两个阴影部分的面积和就是边长为a的正方形，与边长为b的正方形的面积和，即a2+b2；方法2：从边长为a+b的正方形面积中减去两个长为a，宽为b的长方形面积即可；（2）由（1）可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）①利用（2）中的关系进行计算即可；②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，进而得出a﹣b＝2，a2+b2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，由（2）中的关系进行计算即可．【详解】解：（1）方法1：两个阴影部分的面积和就是边长为a的正方形，与边长为b的正方形的面积和，即a2+b2；方法2：两个阴影部分的面积和也可以看作从边长为a+b的正方形面积中减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab；故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）由（1）得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①∵m+n＝5，∴（m+n）2＝25＝m2+2mn+n2，∵m2+n2＝20，∴2mn＝5，即mn＝；（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝20﹣5＝15，答：mn＝，（m﹣n）2＝15；②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，则a﹣b＝2，a2+b2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，所以ab＝＝＝35，即（x﹣2021）（x﹣2023）＝35，所以[（x﹣2022）+1][（x﹣2022）﹣1]＝（x﹣2022）2﹣1＝35，即（x﹣2022）2＝36．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示阴影部分的面积是解决问题的关键．31．（2022春•西湖区校级期中）用四块相同的宽为a，长为b的小长方形，拼成一个“回形”正方形．（1）观察如图，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）根据（1）中的结论，如果a+b＝，ab＝﹣1，求出（a﹣b）2的值．（3）在（2）的条件下，求出a2﹣b2的值．（4）根据以上结论，如果（2021﹣m）2﹣（m﹣2022）2＝7，求（2021﹣m）（m﹣2022）的值．【分析】（1）用代数式表示图形中各个部分的面积，由各个部分面积之间的关系得出答案；（2）代入计算即可；（3）求出a﹣b的值，利用平方差公式进行计算即可；（4）设a＝2021﹣m，b＝m﹣2022，得出a+b＝﹣1，由（2021﹣m）2﹣（m﹣2022）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7，求出a﹣b的值，再利用（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab进行计算即可．【详解】解：（1）大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，图中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，图中空白长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab，由图形中各个部分面积之间的关系可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）∵a+b＝，ab＝﹣1，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝5+4＝9；（3）由（2）得，a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3，所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣3；（4）设a＝2021﹣m，b＝m﹣2022，则a+b＝﹣1，∴（2021﹣m）2﹣（m﹣2022）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7，∵∴a﹣b＝﹣7，∴（2021﹣m）（m﹣2022）＝ab＝＝﹣12．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是正确解答的前提，理解各个部分面积之间的关系是得出正确答案的关键．32．（2022春•新昌县期中）图①是一个长为m，宽为4n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．（1）观察图②，可得：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn；（2）若m﹣n＝7，mn＝6，求（m+n）2的值．（3）当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2的值．【分析】（1）利用正方形的面积公式以及大正方形的面积减去小正方形的面积就是四个矩形的面积就可以列式求解；（2）利用（1）的结论即可求解，即可求解；（3）利用（1）的结论变形即可求解，即可求解．【详解】解：（1）（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn；故答案为：4mn；（2）由（1）得（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn∴（m+n）2＝72+4×6＝73；（3）（2x﹣30）2＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2＝[（x﹣10）+（20﹣x）]2﹣4（x﹣10）（20﹣x）＝102﹣4×8＝68．【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．33．（2022春•海曙区期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1a2+2ab+b2＝（a+b）2，图2a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，图3（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当a+b＝5，ab＝﹣6时，求a﹣b的值．【分析】（1）观察题图，根据阴影部分的面积不变得结论；（2）通过计算阴影部分的面积，发现三组量间关系；（3）把已知代入（2）的结论，先求出（a﹣b）2，再求a﹣b．【详解】解：（1）图一、阴影部分的面积：a2+2ab+b2＝（a+b）2；图2、阴影部分的面积：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；图3、阴影部分的面积：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（2）∵S阴＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，S阴＝（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（3）∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×（﹣6）＝25+24＝49．∴a﹣b＝±7．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式及变形，看懂和理解题图是解决本题的关键．34．（2022春•嵊州市期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝20，求x﹣2020的值．【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的关系；（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a＝x﹣2020，从而得到a+1＝x﹣2019，a﹣1＝x﹣2021，代入计算即可．【详解】解：（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab；因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）∵（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，故答案为：3；（3）①∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝5，a2+b2＝11，∴25＝11+2ab，∴ab＝7，即ab的值为7；②令a＝x﹣2020，∴x﹣2019＝[x﹣（2020﹣1）]＝x﹣2020+1＝a+1，x﹣2021＝[x﹣（2020+1）]＝x﹣2020﹣1＝a﹣1，∵（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝20，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝20，解得a2＝9．∴（x﹣2020）2＝9，∴x﹣2020＝±3．【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．35．（2022春•娄底期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝20代入进行计算即可；（3）根据S3＝（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积S3．【详解】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝10，ab＝20，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，∴S3＝×30＝15．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．36．（2022春•拱墅区期中）如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1＝4b2﹣4ab+a2S2＝a2﹣2ab+b2，S3＝2b2﹣ab．（2）若a+b＝10，ab＝24，求2S1﹣3S3的值；（3）若S1＝12，S2＝10，S3＝18，求出图③中的阴影部分面积．【分析】（1）按照题目准确写出图①、图②中阴影部分图形的边长，再求面积；（2）化简整理2S1﹣3S3，使其能用a+b和ab的代数式来表示即可；（3）构造以a为宽，（a+b）为长的矩形，使用割补法求出图中阴影部分的面积即可．【详解】解：（1）由题意得：S1＝（2b﹣a）2＝4b2﹣4ab+a2S2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2S3＝（2b﹣a）b＝2b2﹣ab故答案为：4b2﹣4ab+a2，a2﹣2ab+b2，2b2﹣ab．（2）2S1﹣3S3＝2（4b2﹣4ab+a2）﹣3（2b2﹣ab）＝8b2﹣8ab+2a2﹣6b2+3ab＝2（a2+b2）﹣5ab＝2（a+b）2﹣9ab把a+b＝10，ab＝24代入上式：2（a+b）2﹣9ab＝﹣16答：2S1﹣3S3的值是﹣16．（3）阴影部分面积：S＝a（a+b）﹣a2﹣b（a+b）﹣b（a﹣b）＝，∵S1＝（2b﹣a）2＝12，，S3＝（2b﹣a）b＝18，∴a2＝76，b2＝34，ab＝50，∴S＝a（a+b）﹣a2﹣b（a+b）﹣b（a﹣b）＝＝＝38．答：图③中的阴影部分面积是38．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景和应用．理解完全平方公式的几何背景，灵活应用完全平方公式是解决这类题目的关键．37．（2021春•余姚市校级期中）若满足（7﹣x）（x﹣4）＝2，求（x﹣7）2+（4﹣x）2的值．设7﹣x＝a，x﹣4＝b，则（7﹣x）（x﹣4）＝ab＝2，a+b＝（7﹣x）+（x﹣4）＝3，所以（x﹣7）2+（4﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．（1）若x满足（9﹣x）（x﹣3）＝3，求（x﹣9）2+（x﹣3）2的值；（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别为AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝4，长方形EMFD的面积是28，分别以MF，DF为边做正方形，求阴影部分面积．【分析】（1）设9﹣x＝a，x﹣3＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设9﹣x＝a，x﹣3＝b，则（9﹣x）（x﹣3）＝ab＝3，a+b＝（9﹣x）+（x﹣3）＝6，∴（x﹣9）2+（x﹣3）2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×3＝30；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝4，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣4，∴（x﹣1）•（x﹣4）＝28，∴（x﹣1）﹣（x﹣4）＝3，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣4）2；设x﹣1＝a，x﹣4＝b，则（x﹣1）（x﹣4）＝ab＝28，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣4）＝3，∴a＝7，b＝4，a+b＝11，∴（x﹣1）2﹣（x﹣4）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝11×3＝33，即阴影部分的面积是33．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．38．（2022春•南湖区校级期中）如图，AC∥EF，∠1+∠3＝180°．（1）判断AF与DC平行吗？请说明理由；（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝80°，求∠BCD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得∠1+∠2＝180°，根据角之间的关系得∠2＝∠3，即可得；（2）根据题意得∠2＝∠CAD，等量代换得∠3＝∠CAD，根据∠4＝∠3+∠CAD得80°＝2∠3，计算得∠3＝40°，根据EF⊥BE，EF∥AC，得∠FEC＝90°，∠ACB＝90°，即可得∠BCD＝50°．【详解】解：（1）结论：AF//CD．理由：∵AC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝∠3，∴AF//CD；（2）∵AC平分∠FAB，∴∠2＝∠CAD，又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠CAD，又∵∠4＝∠3+∠CAD，∴80°＝2∠3，∴∠3＝40°，∵EF⊥BE，EF//AC，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点．39．（2022春•富阳区期中）如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，点E、F在线段BC上，满足∠FOB＝∠FBO＝α，OE平分∠COF．（1）OC与AB是否平行？请说明理由．（2）用含有α的代数式表示∠COE的度数；（3）若左右平移线段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此时α的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由平行线的性质，通过等量代换证明∠COA+∠OAB＝180°，即可证明OC∥AB；（2）先求出∠CFO＝2α，推出∠COF＝180°﹣2α﹣100°＝80°﹣2α，再利用角平分线的定义求解即可；（3）因为∠COE＝∠EOF＝40°﹣α，∠FOB＝∠FBO＝α，推出∠EOB＝40°，可得∠ABO＝∠CEO＝∠EOB+∠FBO＝40°+α，根据∠ABC＝80°，构建方程解决问题即可．【详解】解：（1）OC∥AB，理由如下：∵BC∥OA，∴∠COA+∠C＝180°，∵∠C＝∠OAB，∴∠COA+∠OAB＝180°，∴OC∥AB；（2）∵∠CFO＝∠FOB+∠FBO，∠FOB＝∠FBO＝α，∴∠CFO＝2α，∴∠COF＝180°﹣2α﹣100°＝80°﹣2α，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠COF＝40°﹣α；（3）存在∠OEC＝∠OBA，理由如下：∵∠COE＝∠EOF＝40°﹣α，∠FOB＝∠FBO＝α，∴∠EOB＝40°，∵∠CEO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠CEO＝∠EOB+∠FBO＝40°+α，∵AB∥OC，∴∠C+∠ABC＝180°，∵∠C＝100°，∴∠ABC＝80°，∴40°+α+α＝80°，∴α＝20°．【点睛】此题考查平移的性质，平行线的性质、角平分线的概念、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．40．（2022春•海曙区校级期中）（1）如图1，点E在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．①求证：AB∥CD；②若∠B＝40°，∠ACB＝2∠BCD，则∠A＝60°；（2）如图2，AB∥CD，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，且BP∥DN，作EG∥BP，若∠PBM＝30°，求∠DEB的度数；（3）如图3，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于点H，若∠DEB比∠DHB大60°，则∠DEB的度数为100°．【分析】（1）①延长DE交AB于点F，先证明AC∥DF，再推导出∠DFB＝∠D，即可证明AB∥CD；②分别求出∠BCD＝∠B＝40°，∠ACB＝80°，再由∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB求解即可；（2）过点E作EH∥AB，设∠KBP＝α，求出∠GEB＝120°﹣α，再由平行推导出∠NDE＝∠DEG，延长BP与CF交于点Q，得到∠DQB＝∠PBK＝α，∠CDN＝∠DQB＝α，即可求∠EDB＝α+120°﹣α＝120°；（3）作EM∥CD，HN∥CD，由已知推导出∠ABE+∠β＝∠FDH，∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），则∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，设∠DEB＝∠α，由∠α＝180°﹣2∠β，∠DEB比∠DHB大60°，可得∠α﹣60°＝∠β，则∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°），从而求出∠α＝100°．【详解】（1）①证明：如图1，延长DE交AB于点F，∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，∴∠ACB＝∠CED，∴AC∥DF，∴∠A＝∠DFB，∵∠A＝∠D，∴∠DFB＝∠D，∴AB∥CD；②解：∵AB∥CD，∠B＝40°，∴∠BCD＝∠B＝40°，∵∠ACB＝2∠BCD，∴∠ACB＝2×40°＝80°，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°；故答案为：60；（2）过点E作EH∥AB，设∠KBP＝α，∵∠PMB＝30°，BM∥∠EBK，∴∠EBM＝∠MBK＝30°+α，∵EG∥BP，∴∠GEB＝120°﹣α，∵DN平分∠CDE，∴∠CDN＝∠NDE，∵EG∥BP，∴EG∥DN，∴∠NDE＝∠DEG，延长BP与CF交于点Q，∵CD∥AB，∴∠DQB＝∠PBK＝α，∵BP∥DN，∴∠CDN＝∠DQB＝α，∴∠EDB＝α+120°﹣α＝120°；（3）如图3，作EM∥CD，HN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥HN∥CD，∴∠DEM+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，∵BG平分∠ABE，∴∠ABG＝∠ABE，∵AB∥HN，∴∠NHG＝∠ABG，∵CF∥HN，∴∠NHG+∠β＝∠FDH，∴∠ABE+∠β＝∠FDH，∵DH平分∠EDF，∴∠FDH＝∠EDF，∴∠ABE+∠β＝∠EDF，∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，设∠DEB＝∠α，∵∠α＝∠DEM+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，∵∠DEB比∠DHB大60°，∴∠α﹣60°＝∠β，∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°），解得∠α＝100°∴∠DEB的度数为100°，故答案为：100．【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．41．（2022春•萧山区期中）已知：如图①，点E在AB上，且CE平分ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．（探究）已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD求证：∠1＝∠2．（应用）如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．【分析】【探究】由角平分线的定义得∠2＝∠DCE，再由平行线的性质得∠A＝∠DCE，即可得出结论；【应用】由角平分线的定义得∠ABE＝∠CBE，再由平行线的性质得∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，然后求出∠ABC＝80°，则∠CBE＝40°，即可求解．【详解】【探究】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE，∴∠1＝∠2；【应用】解：∵BE平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，∵AE∥BC，∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，∵∠ABC：∠BAE＝4：5，∴∠ABC＝80°，∴∠CBE＝40°，∴∠E＝∠CBE＝40°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．42．（2022春•上城区校级期中）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．（1）当∠FDC+∠ABC＝180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC＝130°，求∠DFB的度数．（2）当∠C＝α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；（2）作CG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°﹣2∠DFB，即可得到结论．【详解】解：（1）①AD∥BC，理由如下：∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分线，∴∠EDF＝∠ADC，∴∠DAB＝∠ADC，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，∴∠FBC＝65°，∵AD∥BC，∴∠DFB＝180°﹣∠FBC＝115°；（2）作CG∥AB，∵AB∥DE，∴CG∥AB∥DE，∴∠1＝180°﹣∠EDC，∠2＝180°﹣∠ABC，∴∠BCD＝∠1+∠2＝180°﹣∠EDC+180°﹣∠ABC＝180°﹣2∠EDA+180°﹣2∠ABF＝180°﹣2∠DAB+180°﹣2∠ABF＝360°﹣2（∠DAB+∠ABF）＝360°﹣2∠DFB＝α，∴∠DFB＝180°﹣α．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．43．（2022春•温州期中）如图，已知AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠3＝40°，∠D﹣∠CBD＝40°，则∠D＝90°．（请直接写出答案）【分析】（1）根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，可得AE∥FG，再利用平行线的性质和判定解决问题即可．（2）利用平行线的性质可得∠C＝40°，再根据三角形的内角和建立方程即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝40°，∵∠D﹣∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠D﹣40°，∵∠C+∠CBD+∠D＝180°，∴40°+（∠D﹣40°）+∠D＝180°，解得∠D＝90°．故答案为：90．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．44．（2022春•拱墅区期中）如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC和BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）若∠A＝40°时，则∠ABN＝140度，∠CBD＝70度．（2）点P在射线AM上运动，若∠A＝α，①设∠A的度数为α，问∠CBD与∠A之间有何数量关系？请说明理由．②当点P运动到使∠ACB+∠ABD＝180°时，求∠A的度数．【分析】（1）根据平行线的性质及角的平分线定义求解即可；（2）①根据平行线的性质及角的平分线定义求解即可；②根据平行线的性质及角的平分线定义求解即可．【详解】解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，又∵∠A＝40°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝140°，∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝70°，故答案为：140；70；（2）①∠CBD＝，理由如下：∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝180°﹣∠A，∴∠CBD＝；②∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴设∠ABC＝∠PBC＝m，∠PBD＝∠NBD＝n，∵∠ACB+∠ABD＝180°，∴∠ACB+∠ABD＝180°﹣∠A﹣m+n+2m＝180°，∴∠A＝m+n，∴∠A+∠ABN＝（m+n）+2m+2n＝180°，∴3（m+n）＝180°，∴m+n＝60°，∴∠A＝m+n＝60°．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．45．（2021春•柯桥区期中）已知，直线AB∥DC，点P为平面内一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，若∠BAP＝50°，∠DCP＝20°，求∠APC的度数．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P在直线AB、CD下方，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，直接写出∠AKC与∠APC之间的数量关系．【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠AP