函数的奇偶性 高一上学期数学北师大版（2019）必修1

（第1课时）函数的奇偶性生活中的对称美以上图形可以分成两类：一类是轴对称图形，一类是中心对称图形.xyoxyo将风车的对称中心与坐标原点重合，会发现它关于坐标原点对称.将麦当劳图标的对称轴与y轴重合，会发现它关于y轴对称；挑战老师两者在一个足够大的圆内依次放等大的圆形棋子，先超出边界者为输。若老师先放，则老师一定会赢，你敢挑战吗？知识迁移在数学函数中，这种对称美也有体现.比如以下函数：实例分析

x...-3-2-10123...f(x)=x2...9410149...

抽象概括

yx-12

以下这个函数是偶函数吗？思考探究

实例分析

x...-3-2-10123...f(x)=x³...-27-8-101827...

抽象概括

Oyx-221

思考探究1.以下这个函数是奇函数吗？

2.以下这个函数是奇函数吗？-22Oyx

①不对称，则为非奇非偶函数；(1)确定函数的定义域②对称(2)看定义域是否关于原点对称用定义判断函数奇偶性的方法若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，则为非奇非偶函数；若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则既是奇函数也是偶函数.若f(-x)=-f(x)，则为奇函数；若f(-x)=f(x)，则为偶函数；即时巩固例：

根据定义，判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝－2x5；（2）h（x）＝

；

（3）m（x）＝

;

类型一：用定义判断函数的奇偶性解：（1）函数

f（x）＝－2x5定义域为R，关于原点对称，对任意x∈R，有

f（－x）＝2（－x）5＝－2x5，－f（x）＝－2x5．即

f（－x）＝－f（x），所以函数

f（x）为奇函数．

即

h（－x）＝

h（x），所以函数h（x）为偶函数．（2）函数

h（x）＝定义域为｛x｜x≠0｝，关于原点对称，

（3）函数

m（x）＝

定义域为｛x｜x≠－2｝，

所以函数

m（x）既不是奇函数也不是偶函数．它的定义域不关于原点对称，

可得定义域为｛－1，1｝，关于原点对称，此时有

f（x）＝0，满足

f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），所以函数既是奇函数又是偶函数．课堂练习根据定义，判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=2-|x|(4)f(x)=x|x2-1|(3)f(x)=

（2）f（x）＝x4＋2解：（1）函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

对任意的x∈R,有f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x)，

所以f(x)为偶函数.（2）函数

g（x）＝x4＋2定义域为R，关于原点对称，对任意x∈R，有

g（－x）＝（－x）4＋2＝x4＋2，即

g（－x）＝g（x），所以函数

g（x）为偶函数．（4）函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

对任意的x∈R,有f(-x)=-x|(-x)2-1|=-x|x2-1|=-f(x)，

所以f(x)为奇函数.(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，它不关于原点对称，

所以f(x)是非奇非偶函数.类型二：用图象判断函数的奇偶性例：根据图象，判断下列函数的奇偶性：(2)oxy(3)oxy(4)oxy偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数(1)oxy下列图象表示的函数具有奇偶性的是（）其他选项的函数图象都不具有奇偶性．解：B选项函数图象关于y轴对称，所以该函数是偶函数；课堂练习例：已知偶函数f(x)的一部分图象如图所示，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小.类型三：函数奇偶性的简单应用解：f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以在y轴另一侧的图象如图所示：

由图象知，f(2)<f(4).设奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______.312-5/2课堂练习观察可得f(x)<0的解集为(-2，0)∪(2，5].解：函数f(x)在[-5，0]上的图象与在[0，5]上的图象关于原点对称，画出函数f(x)在[-5，0]上的图象如图所示：-3-15/2课堂小结1.知识清单：

(1)偶函数、奇