向量数量积的坐标运算第2课时高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

向量数量积的坐标运算第2课时新知探究问题1

向量数量积的坐标运算公式是什么？如何利用坐标运算公式求向量的模、向量夹角？两点间的距离公式呢？如果A（x1，y2），B（x2，y2），则设

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），则新知探究问题2如何利用向量数量积的坐标运算公式证明垂直呢？设

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），则初步应用例1

如图所示，已知点A（2，1），将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标．又因为由图可知x＜0，所以B（－1，2）．yxBAO解答：由已知可得：又因为

＝（2，1），设B（x，y），则

＝（x，y），从而有解得或初步应用例2

在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF

DE．证明：以A为直角坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系．不妨设正方形ABCD边长为2，则A（0，0），E（1，0），F（2，1），D（0，2），所以AF

DE．所以＝（2，1），

＝（1，－2），

＝2×1＋1×（－2）＝0，ABCDEF初步应用例3

在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），且△ABC的一个内角为直角，求k值．解答：A

＝90

时，∴2×1＋3×k

＝0∴当B

＝90

时，＝（1

2，k

3）＝（

1，k

3）∴2×（

1）＋3×（k

3）＝0∴当C

＝90

时，∴

1＋k（k

3）＝0∴综上，或或初步应用例4

已知a＝（1，2），b＝（1，λ），分别确定实数λ的取值范围，使得：解答：a·b＝（1，2）·（1，λ）＝1＋2λ．（1）因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，（1）a与b的夹角为直角；（2）a与b的夹角为钝角；（3）a与b的夹角为锐角．即1＋2λ＝0，所以λ＝初步应用例4

已知a＝（1，2），b＝（1，λ），分别确定实数λ的取值范围，使得：（2）因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0，且a与b不反向．（1）a与b的夹角为直角；（2）a与b的夹角为钝角；（3）a与b的夹角为锐角．所以cosθ＜0，且cosθ≠－1，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜所以λ的取值范围为（－∞，

）．初步应用例4

已知a＝（1，2），b＝（1，λ），分别确定实数λ的取值范围，使得：（3）因为a与b的夹角为锐角，所以a·b＞0且a，b不同向．（1）a与b的夹角为直角；（2）a与b的夹角为钝角；（3）a与b的夹角为锐角．所以cosθ＞0，且cosθ≠1，由a与b同向得λ＝2．由a·b＞0，得λ＞所以λ的取值范围为（

，2）∪（2，＋∞）．初步应用例5

如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF，求证：DP⊥EF．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，由已知，可设P（a，a），其中0＜a＜1，则E（a，0），F（1，a），ABCDEFPyxO则A（0，0），B（1，0），D（0，1），从而

＝（1，0），

＝（0，1）．所以，因此DP⊥EF．又因为

＝a（1－a）＋（a－1）a＝0，因此＝（a，a－1），

＝（1－a，a）初步应用建立合理的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题．利用向量处理几何问题的一般步骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论．练习1B在△ABC中，A（4，6），B（－4，10），C（2，4），则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：因为

＝（4，6）－（2，4）＝（2，2）＝（－4，10）－（2，4）＝（－6，6）所以

＝（2，2）·（－6，6）＝2×（－6）＋2×6＝0．因此，即∠ACB＝90°，故△ABC是直角三角形．练习解答：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A（2，0），B（1，h）．2在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求的最小值．ABCPyxD设P（0，y）（0≤y≤h），则＝（2，－y），＝（1，h－y），∴当且仅当3h＝4y，即DP＝DC时，等号成立．故

的最小值为5．练习练习3：教科书练习A：5．归纳小结向量数量积的坐标运算向量坐标表示两个向量垂直的充要条件向量的坐标使向量“代数身份”得以充分显现，更是利用向量的“坐标法”解决几何问题的基础．在实际解题的过程中，我们可以结合题目的图形特征（比如：正方形、长方形、直角三角形），选定正交基底，建立平面直角坐标系，利用向量的“坐标”体现题目的几何特征（垂直、共线、角度）代数化的特点．作业布置作业：教科书练习B：5，6．1目标检测如图，以原点和A（5，2）为顶点作等腰直角△OAB，使

B

＝90

，求点B和向量的坐标．解答：设B点坐标（x，y），则＝（x，y），＝（x

5，y

2）∵∴x（x

5）＋y（y

2）＝0即：x2

＋y2

5x

2y

＝0又∵∴x2

＋y2

＝（x

5）2

＋（y

2）2即：10x

＋4y

＝29AByxO由∴B点坐标或；2目标检测已知＝（2，0），＝（3，1）．（1）当k为何值时，与垂直；（2）若且A，B，C三点共线，求m的值．解答：（1）因为＝（2，0），＝（3，1），所以＝（2k－3，－1）与＝（8，2），由与垂直，得8（2k－3）＋2（－1）＝0，所以2目标检测已知＝（2，0），＝（3，1）．（1）当k为何值时，与垂直；（2）若