圆锥曲线的方程范围最值问题课件高三数学二轮复习

第4讲圆锥曲线的综合问题专题一

函数与导数考情分析1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值

问题，定点、定直线、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大.母题突破1范围、最值问题

(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝

.(1)求p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，

＝0，求△MFN面积的最小值.母题思路分析❶联立方程利用弦长求p❷设直线MN：x＝my＋n和点M，N的坐标❸利用

＝0，得m，n的关系❹写出S△MFN的面积❺利用函数性质求S△MFN面积的最小值(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去).(2)由(1)知y2＝4x，所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，设点F到直线MN的距离为d，所以△MFN的面积

(2023·武汉模拟)已知椭圆C：

＋y2＝1，椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为

，求△APQ面积的最大值.子题1易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，故可设直线PQ：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，即4k2＋1>m2，化简可得20(kx1＋m)(kx2＋m)＝(x1－2)(x2－2)，即20k2x1x2＋20km(x1＋x2)＋20m2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4，整理得6k2＋mk－m2＝0，所以m＝－2k或m＝3k，所以直线PQ：y＝k(x－2)或y＝k(x＋3)，因为直线PQ不经过点A(2,0)，所以直线PQ经过定点(－3,0)，即m＝3k.所以直线PQ的方程为y＝k(x＋3)，易知k≠0，因为Δ>0，且m＝3k，

(2023·深圳模拟)已知双曲线C：x2－y2＝1，设点A为C的左顶点，若过点(3,0)的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2＋y2＝1分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求

的取值范围.子题2如图所示，设直线lPQ的方程为x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得(t2－1)y2＋6ty＋8＝0，因为直线l与双曲线C的右支交于两点，解得－1<t<1，设AP：x＝m1y－1，AQ：x＝m2y－1，且|m1|>1，|m2|>1，即m1·m2＝－2，所以|m1|·|m2|＝2，因为f(n)在区间[4,5)上单调递增，所以f(n)的取值范围为[9，＋∞)，规律方法求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.1.(2023·佛山模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，

，N(1,0)，Q为线段MN上异于M，N的一动点，点P满足(1)求点P的轨迹E的方程；

跟踪演练∴|PM|＝2|QM|，|PN|＝2|QN|，∴|PM|＋|PN|＝2(|QM|＋|QN|)＝2|MN|＝4，∴点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，∴b2＝a2－c2＝3，(2)点A，C是曲线E上两点，且在x轴上方，满足AM∥NC，求四边形AMNC面积的最大值.如图所示，连接CO，并延长交椭圆E于点B，连接BM，AN，CM，由椭圆对称性可知|OC|＝|OB|，又|OM|＝|ON|，∴四边形CMBN为平行四边形，∴CN∥BM，|CN|＝|BM|，∴S△BOM＝S△CON且A，M，B三点共线，∴四边形AMNC的面积S＝S△ACM＋S△COM＋S△CON＝S△ACM＋S△COM＋S△BOM＝S△ABC，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，又AM∥NC，∴点C到直线AB的距离即为点N到直线AB的距离，2.(2023·温州模拟)已知抛物线C1：y2＝4x－4与双曲线C2：

＝1(1<a<2)相交于A，B两点，F是C2的右焦点，直线AF分别交C1，C2于C，D(不同于A，B点)两点，直线BC，BD分别交x轴于P，Q两点.(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，求证：y1y2是定值；由A(x1，y1)，C(x2，y2)是直线AF与抛物线C1：y2＝4x－4的两个交点，显然直线AF不垂直于y轴，点F(2,0)，故设直线AF的方程为x＝my＋2，所以y1y2＝－4为定值.由(1)知B(x1，－y1)，直线BC的斜率为令y＝0，得点P的横坐标消去x得(4m2－m2a2－a2)y2＋4m(4－a2)y＋(4－a2)2＝0，4m2－m2a2－a2≠0，且Δ＝16m2(4－a2)2－4(4－a2)2·(4m2－m2a2－a2)＝4a2(m2＋1)(4－a2)2>0，专题强化练12(1)求椭圆C的标准方程；12设椭圆C的半焦距为c>0，12(2)过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，求|PQ|的取值范围.12当直线l的斜率不存在时，则l：x＝0，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，消去y得(2k2＋1)x2＋4kx－4＝0，12则Δ＝(4k)2－4(2k2＋1)×(－4)＝16(3k2＋1)>0，12122.(2023·郑州模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线E：

＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，离心率为2，且过点P(2,3).(1)求双曲线E的标准方程；12①②又c2＝a2＋b2，③12(2)设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值.12由双曲线的对称性，知OA＝OC，OB＝OD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以S四边形ABCD＝4