高考二轮复习理科数学课件培优拓展14双变量问题的转化

培优拓展双变量问题的转化在解决函数与导数综合题时,我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题,由于两个变量都在变动,因此不知把哪个变量当成自变量进行函数研究,从而无法展开思路,造成无从下手的感觉,正因为如此,这样的问题往往穿插在高考试卷压轴题的某些步骤之中,是考生感到困惑的难点问题之一,这时针对不同的题设条件给出处理双变量问题的相应策略,希望给同学们以帮助和启发.一、等价转化为函数的最值或值域问题规律方法双变量存在性或任意性问题的基本类型与“等价转化”策略存在性或任意性问题的基本类型等价转化成的问题对∀x1∈A,都∃x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立f(x)的值域是g(x)的值域的子集∃x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立f(x)的值域和g(x)的值域的交集不为空集对∀x1∈A及x2∈B,都有f(x1)<g(x2)成立[f(x)]max<[g(x)]min∃x1∈A及x2∈B,使f(x1)<g(x2)成立[f(x)]min<[g(x)]max对∀x1∈A,都∃x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立[f(x)]max<[g(x)]max对点训练1已知函数f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x.(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数c的取值范围;(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求实数c的取值范围;(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数c的取值范围.解

令k(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c,x∈[-3,3],k'(x)=-6x2+6x+12=0,得x1=-1,x2=2.x[-3,-1)-1(-1,2)2(2,3]k'(x)-0+0-k(x)↘极小值↗0↘k(-3)=45-c,k(3)=9-c,k(-1)=-7-c,k(2)=20-c,∴最大值为45-c,最小值为-7-c,(1)∵对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,∴45-c≤0,即c≥45.(2)∵存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,∴-7-c≤0,即c≥-7.(3)f(x)=7x2-28x-c=7(x-2)2-28-c,x∈[-3,3],即有f(x)的最大值为f(-3)=147-c,g(x)=2x3+4x2-40x.g'(x)=6x2+8x-40,x∈[-3,3],可得g(x)在(-3,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增,得出g(x)的最小值为g(2)=-48,∵对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),∴147-c≤-48,即有c≥195.二、寻找两变量的关系转化为单变量函数问题例2(2022全国甲,理21)已知函数f(x)=-lnx+x-a.(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)min=f(1)=e+1-a.要使得f(x)≥0恒成立,即满足f(x)min=e+1-a≥0,∴a≤e+1.故a的取值范围为(-∞,e+1].规律方法求二元函数的最小值或证明二元的某种关系,通过二元之间的关系或二元之间的函数的关系,运用转化的思想进行消元,化归为熟悉的一元问题,再通过研究一元问题使原问题得到解决.对点训练2(2023江西赣州二模)已知函数f(x)=x2-3x+lnx.(1)求函数f(x)的极值;(2)对于任意的x1,x2∈[1,2],当x1<x2时,不等式x1x2[f(x1)-f(x2)]-m(x1-x2)>0恒成立,求实数m的取值范围.三、从双变量问题等价变换中构造函数求解规律方法若题设条件中含有一个双变量的恒等式,通过对该恒等式进行等价变形,使恒等式两边的两个变量对应的代数式结构相同,就可以构造出一个函数,从而利用此函数求解得出结论.对点训练3四、利用换元法将两个变量转换成一个变量例4(2023四川乐山二模)已知函数f(x)=aex-x2有两个极值点x1,x2(x1<x2).(1)求a的取值范围;(2)若ex1+(e-2)x2≥λx1x2,求λ的取值范围.在(1,+∞)上单调递增,又由p'(1)<0,p'(e)>0,则存在t0∈(1,e),使得p'(t0)=0,当t∈(1,t0)时,p'(t)<0,p(t)单调递减;当t∈(t0,+∞)时,p'(t)>0,p(t)单调递增,又φ'(1)=0,φ'(e)>0,∴存在t1∈(1,e),使得φ'(t)=0,当t∈(1,t1)时,φ'(t)<0,则φ(t)单调递减;当t∈(t1,+∞)时,φ'(t)>0,则φ(t)单调递增,又φ(1)-φ(e)=0,∴当t∈(1,e)时,φ(t)<0,则h'(t)<0,h(t)单调递减;当t∈(e,+∞)时,φ(t)>0,则h'(t)>0,h(t)单调递增,∴当t=e时,h(t)min=h(e)=(e-1)2,∴