高考二轮复习文科数学课件高考小题突破5空间点直线平面的位置关系

高考小题突破5空间点、直线、平面的位置关系考点一空间直线、平面位置关系的判断例1(1)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是(

)A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ B.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n D.若m∥α,n∥α,则m∥nB解析

若α⊥β,β⊥γ,则α,γ可以平行、相交,故A错误;若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故B正确;由α⊥β,m⊂α,n⊂β推不出m⊥n,故C错误;若m∥α,n∥α,则m,n可以平行、相交、异面,故D错误.故选B.(2)(2020全国Ⅱ,文16)设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是

.

①p1∧p4

②p1∧p2

③(¬p2)∨p3④(¬p3)∨(¬p4)①③④解析

∵p1,p4为真命题,p2,p3为假命题,∴¬p2,¬p3为真命题,∴p1∧p4为真命题,p1∧p2为假命题,(¬p2)∨p3为真命题,(¬p3)∨(¬p4)为真命题.故填①③④.解题技巧

判断空间位置关系的三种方法

定理法借助空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理进行逻辑推理判断反证法当从正面入手较难时,可用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断模型法借助空间几何体模型,如借助长方体、正四面体等几何体模型观察线面关系,结合有关定理进行肯定或否定C解析A选项,当n∥l时,直线m可能不垂直于平面α,A错误;B选项显然错误;C选项,由线面垂直的性质可知,当m∥n,n⊥α时,必有m⊥α,C正确;D选项,当m∥α,n⊂α时,显然也可以有m⊥n,D错误.故选C.(2)(2023江西九江二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是BC1的中点,则直线DM与A1C的位置关系是(

)A.异面垂直

B.相交垂直C.异面不垂直

D.相交不垂直B解析

如图,连接B1C,A1D.因为A1B1∥CD,且A1B1=CD,所以四边形A1B1CD为平行四边形,故B1C∥A1D.又M∈B1C,则DM与A1C共面且相交.设DM与A1C相交于点E.设正方体的棱长为2,则考点二求空间角例2(1)(2023吉林长春统考三模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1D与D1C所成的角为(

)C解析

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1B,则A1B∥D1C,所以A1D与A1B所成的角等于异面直线A1D与D1C所成的角.连接BD,因为△A1BD为正三角形,所以A1D与A1B所成的角为

.故选C.(2)(2023陕西榆林二模)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,2BB1=3AB,D是棱BC的中点,点E在棱CC1上,且CC1=3CE,则异面直线A1D与B1E所成角的余弦值是(

)B解析

(方法一)取BB1靠近点B的三等分点F,取B1C1的中点H,取B1F的中点G,连接A1H,DH,A1F,DF.由已知CE=CC1=BB1=B1G,又CE∥B1G,所以四边形CEB1G是平行四边形,所以B1E∥CG.同时可得点F是BG的中点,而点D是BC的中点,所以DF∥CG.所以DF∥B1E,则∠A1DF是异面直线A1D与B1E所成的角或其补角.又DH∥CC1,CC1⊥平面A1B1C1,则DH⊥平面A1B1C1.因为A1H⊂平面A1B1C1,则DH⊥A1H.设AB=4,则BB1=6,从而规律方法

1.求异面直线所成角的思路是通过平移把空间角转化为平面角.2.平移线段的方法有:利用三角形的中位线平移;利用平行四边形平移;利用补形平移;利用平行线分线段成比例的推论的逆定理平移.对点训练2(1)(2023陕西商洛一模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=5,E为B1C1的中点,则异面直线BD与CE所成角的余弦值为(

)C解析

取C1D1的中点F,连接EF,CF,B1D1,易知EF∥B1D1∥BD,所以∠CEF为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为(2)(2023安徽江南十校联考一)在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1,CC1的中点,过D1,E,F三点的平面与平面ABCD的交线为l,则直线l与直线AD1所成的角为(

)A解析

如图所示,在平面AA1D1D中,连接D1E与DA交于点H,则HA=AD.在平面CC1D1D中,连接