【讲与练】高中物理人教版(2019)必修3：9.3 电场电场强度第2课时习题课场强叠加带电粒子(体)运动分析学案

第2课时习题课场强叠加带电粒子(体)运动分析探究电场强度的计算与叠加要点提炼电场强度表达式的适用条件，E＝eq\f(F,q)适用于一切电场，E＝keq\f(Q,r2)适用于真空中的点电荷。电场强度是矢量，在一般情况下可由上述公式计算电场强度，但在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的电场强度时，上述公式无法直接应用。这时，如果转换思维角度，灵活运用叠加法、对称法、补偿法、微元法、等效法等方法，可以化难为易。1．对称法(1)题型简述：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。(2)方法突破：对称法是指在研究物理问题时，利用研究对象的对称特性来分析和处理问题的方法。对称法解题就是采用对物理问题中出现的各种对称特性(如：物理过程的对称性、运动轨迹的对称性、镜像的对称性、几何形状的对称性等)进行分析和推理，可以避免烦琐的物理分析和数学推导，而直接利用事物之间的对称关系得出结论，从而快速解题，事半功倍。典例剖析典题1(2023·浙江高二期末)硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为－q的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电荷量突变成＋q，则圆心O点处的电场强度为(B)A.eq\f(2kq,R2)，方向沿半径指向P点B.eq\f(2kq,R2)，方向沿半径背离P点C.eq\f(3kq,R2)，方向沿半径指向P点D.eq\f(3kq,R2)，方向沿半径背离P点解析：当P点的电荷量为－q时，根据电场的对称性，可得在O点的电场强度为0，当P点的电荷为＋q时，可由－q和＋2q两个电荷等效替代，故O点电场可以看作均匀带电圆环和＋2q产生的两个电场的叠加，故O点的电场强度为E＝0＋keq\f(2q,R2)，电场方向为＋2q在O点的电场方向，即方向沿半径背离P点，故B正确，A、C、D错误。故选B。对点训练❶下列选项中的各eq\f(1,4)圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各eq\f(1,4)圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是(B)解析：根据对称性和矢量叠加，D项O点的场强为零，C项等效为第二象限内电荷在O点产生的电场，大小与A项的相等，B项正、负电荷在O点产生的场强大小相等，方向互相垂直，合场强是其中一个的eq\r(2)倍，也是A、C项场强的eq\r(2)倍，因此B项正确。2．补偿法(1)题型简述：求解有缺口的均匀带电圆环、均匀带电球体等的场强问题时，可用补偿法解决。(2)方法突破：有些物理问题根据已有条件不能建立完整的模型，这时就需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型，这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。这就是补偿法。典例剖析典题2均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为(A)A.eq\f(kq,2R2)－E B．eq\f(kq,4R2)C.eq\f(kq,4R2)－E D．eq\f(kq,4R2)＋E解析：左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷量为2q的整个球面的电场和带电荷量为－q的右半球面的电场的合电场，则E＝keq\f(2q,(2R)2)－E′，E′为带电荷量为－q的右半球面在M点产生的场强大小。带电荷量为－q的右半球面在M点的场强大小与带正电荷量为q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝keq\f(2q,(2R)2)－E＝eq\f(kq,2R2)－E，A正确。题型技法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想。对点训练❷已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝eq\f(4,3)πr3，则A点处场强的大小为(B)A.eq\f(5kQ,36R2) B．eq\f(7kQ,36R2)C.eq\f(7kQ,32R2) D．eq\f(3kQ,16R2)解析：先把挖去的空腔补上，由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的场强E整＝eq\f(kQ,(2R)2)＝eq\f(kQ,4R2)。挖出的小球半径为eq\f(R,2)，因为电荷均匀分布，其带电荷量Q′＝eq\f(\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3,\f(4,3)πR3)Q＝eq\f(Q,8)。则其在A点产生的场强E挖＝eq\f(kQ′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)R＋R))2)＝eq\f(k·\f(Q,8),\f(9,4)R2)＝eq\f(kQ,18R2)。所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强E＝E整－E挖＝eq\f(kQ,4R2)－eq\f(kQ,18R2)＝eq\f(7kQ,36R2)，故B正确。3．微元法(1)题型简述：求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。(2)方法突破：微元法就是将研究对象分割成若干微小的单元，或从研究对象上选取某一“小单元”加以分析，从而可以化繁为简，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速解决，使所求的问题简单化。在电场中，当一个带电体体积较大，已不能视为点电荷时，可把带电体利用微元法的思想分成很多小块，每块可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算这个带电体的场强。典例剖析典题3(2023·江西宜春上高二中高二上月考)如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上。圆心为O点，过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一检验电荷＋q，则＋q在A点所受的电场力大小为eq\f(\r(2)kQq,4R2)，方向_竖直向上_，A点的电场强度大小为eq\f(\r(2)kQ,4R2)。解析：将带电圆环等分成n个极小段，取其中一段，设其电荷量为Δq，到A点距离为r，则其对A处的检验电荷库仑力大小为ΔF＝keq\f(q·Δq,r2)，其中r＝eq\r(R2＋R2)＝eq\r(2)R，Δq＝eq\f(Q,n)，圆环上各段对检验电荷的库仑力在水平方向的分力抵消，竖直向上的分力叠加，设A点与圆环上某一小段连线与竖直方向夹角为θ，故检验电荷受到的电场力大小为F＝n·ΔF·cosθ＝keq\f(q·nΔq,r2)cosθ＝eq\f(kQq,2R2)cosθ，其中cosθ＝eq\f(R,r)＝eq\f(\r(2),2)，解得F＝eq\f(\r(2)kQq,4R2)，方向竖直向上，则A点的电场强度大小为E＝eq\f(F,q)＝eq\f(\r(2)kQ,4R2)。对点训练❸如图所示，半径为R的圆环，均匀分布电荷量为Q的正电荷。现从环上截取Δs的一小段(Δs≤R)，则圆环剩余部分的电荷在环心O处产生的场强大小是多少？方向如何？答案：见解析解析：应用微元法，将整个圆环分割成很多小段，每段长度设为Δs(可视为点电荷)，截取之前，每一小段圆环过环心一定能找到和它对应的另一小段圆环，二者产生的电场强度正好大小相等方向相反，合场强为零。进而推广到整个圆环，所以整个圆环在环心O处的合场强为零。而Δs上的电荷在环心O处产生的场强为E1＝keq\f(ΔsQ,2πR3)，圆环剩余部分的电荷在环心O处产生的场强则为E2＝E1＝keq\f(ΔsQ,2πR3)，方向沿Δs与O的连线指向Δs。4．等效法在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。典例剖析典题4如图甲所示，MN为很大的薄金属板(可理解为无限大)，金属板原来不带电。在金属板的右侧，距金属板距离为d的位置上放入一个带正电、电荷量为q的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布，P在点电荷右侧，与点电荷之间的距离也为d，几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的，图乙中两异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线，由此他们分别求出了P点的电场强度大小，一共有以下四个不同的答案(k为静电力常量)，其中正确的是(A)A.eq\f(8kq,9d2) B．eq\f(kq,d2)C．eq\f(3kq,4d2) D．eq\f(10kq,9d2)解析：两异号点电荷电荷量的大小均为q，根据点电荷的场强公式E＝eq\f(kQ,r2)，其中电场方向向右为正，正电荷q在P点产生的场强为E1＝eq\f(kq,d2)，负电荷q在P点产生的场强为E2＝－eq\f(kq,(3d)2)，根据场强的叠加原理可得P点的电场强度为E＝E1＋E2＝eq\f(8kq,9d2)。对点训练❹如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z＝eq\f(h,2)处的场强大小为(k为静电力常量)(D)A．keq\f(4q,h2) B．keq\f(4q,9h2)C．keq\f(32q,9h2) D．keq\f(40q,9h2)解析：该电场可等效为分别在z轴h处与－h处的等量异种电荷产生的电场，如图所示，则在z＝eq\f(h,2)处的场强大小E＝keq\f(q,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2)＋keq\f(q,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3h,2)))2)＝keq\f(40q,9h2)，故D正确。探究电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析要点提炼1.带电粒子做曲线运动时，合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向。2．分析方法：由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向；由电场力和电场线的方向可判断带电粒子所带电荷的正负；由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断带电粒子加速度的大小。典例剖析典题5(多选)在光滑绝缘的水平桌面上，存在着方向水平向右的匀强电场，电场线如图中实线所示。一初速度不为零的带电小球从桌面上的A点开始运动，到C点时，突然受到一个外加的水平恒力F作用而继续运动到B点，其运动轨迹如图中虚线所示，v表示小球经过C点时的速度，则(AB)A．小球带正电B．恒力F的方向可能水平向左C．恒力F的方向可能与v方向相反D．在A、B两点小球的速率不可能相等解析：由小球从A点到C点的轨迹可得，小球受到的电场力方向向右，带正电，选项A正确；小球从C点到B点，所受合力指向轨迹凹侧，当水平恒力F水平向左时，合力可能向左，符合要求，当恒力F的方向与v方向相反时，合力背离轨迹凹侧，不符合要求，选项B正确，C错误；小球从A点到B点，由动能定理，当电场力与恒力F做功的代数和为零时，在A、B两点小球的速率相等，选项D错误。对点训练❺(2023·四川达州高二期末)如图所示，在点电荷＋Q产生的电场中，实线为电场线，虚线AB是一个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹。下列说法正确的是(D)A．粒子可能带正电也可能带负电B．点电荷＋Q可能处于图中电场线的左侧C．粒子从A到B的过程一定做减速运动D．粒子在A处所受电场力大于在B处所受电场力解析：点电荷＋Q产生的电场发出电场线是发散向外，则场源在右侧区域，粒子的轨迹凹侧向左，故粒子一定受斥力故带正电，故AB错误；粒子从A到B的过程速度沿轨迹切线，电场力指向凹侧，两者夹角为锐角，则粒子做加速运动，故C错误；电场线的疏密描述电场强度的大小，则有EA>EB，根据F＝qE可知，粒子在A处所受电场力大于在B处所受电场力，故D正确。1．(2023·陕西渭南市尚德中学高二阶段测试)A、B是一条电场线上的两个点，一带正电的微粒仅在电场力作用下以一定初速度从A点沿电场线运动到B点，其速度—时间图像如图所示。则这一电场可能是下图中(C)ABCD解析：由v－t图像知从A到B微粒的速度在减小，加速度在增大，则所受电场力增大，则电场力方向与运动方向相反，且B点的电场强度大于A点的电场强度，结合选项可知C正确，A、B、D错误。2．如图所示，电荷量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有(D)A．体中心、各面中心和各边中点B．体中心和各边中点C．各面中心和各边中点D．体中心和各面中心解析：本题考查的是点电荷的电场强度及电场强度的叠加，意在考查考生对上述规律的应用及对称思维能力。由点电荷的场强公式及电荷的对称分布，可推断出在正方体范围内电场强度为零的点为体中心和各面中心。3．(多选)(2023·江西省宜春市高二上学期期末)如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为α、β，且β＞α。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，则(AB)A．a球的质量比b球的大B．a、b两球同时落地C．a球的电荷量比b球的大D．a、b两球飞行的水平距离相等解析：对小球受力分析，根据平衡条件有：mag＝eq\f(F库,tanα)，mbg＝eq\f(F库,tanβ)，由于β＞α，所以ma＞mb，故A正确；ma＞mb，因此水平方向上，a的加速度小于b的加速度，竖直方向上做自由落体运动，根据运动的独立性可知，两球同时落地，故B正确；a球的电荷量和b球的电荷量大小无法判断，故C错误；由于a的加速度小于b的加速度，因此a球水平飞行的距离比b球小，故D错误。故选AB。4．(多选)(2023·河南许昌高二上月考)如图所示，在两等量同种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、c关于MN对称，b是两电荷连线的中点，d位于两电荷的连线上，e、f位于MN上。以下判断正确的是(BD)A．b点场强大于d点场强B．b点场强小于d点场强C．正试探电荷q在a、c两点所受电场力相同D．f点场强可能大于e点场强解析：由等量同种点电荷产生的电场的电场线可知，在两等量同种点电荷连线上，中点电场强度为零(最小)，则Ed>Eb＝0，A错误，B正确；由于两等量同种点电荷电场的电场线关于中垂线对称，则a、c两点场强大小相等，但方向不同，故正试探电荷q在a、c两点所受电场力大小相等、方向不同，C错误；在两等量同种点电荷连线的中垂线上，中点电场强度为零(最小)，无穷远处电场强度也为零(最小)，则中点到无穷远处电场强度应先增大后减小，但不知道e、f在电场中的具体位置关系数据，则f点场强可能大于e点场强，D正确